Paquete de líneas amplio

Dado un morfismo${\displaystyle f\colon X\to Y}$de esquemas , un haz vectorial${\displaystyle p\colon E\to Y}$(o más generalmente un haz coherente en${\displaystyle Y}$) tiene un retroceso a${\displaystyle X}$,${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$donde la proyección${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$es la proyección sobre la primera coordenada (ver Haz de módulos#Operaciones ). El retroceso de un fibrado vectorial es un fibrado vectorial del mismo rango. En particular, el retroceso de un fibrado lineal es un fibrado lineal. (En resumen, la fibra de${\displaystyle f^{*}E}$en un punto${\displaystyle x\in X}$es la fibra de${\displaystyle E}$en${\displaystyle f(x)\in Y}$.)

Las nociones descritas en este artículo están relacionadas con esta construcción en el caso de un morfismo al espacio proyectivo.

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

con${\displaystyle E={\mathcal {O}}(1)}$el fibrado de líneas en el espacio proyectivo cuyas secciones globales son los polinomios homogéneos de grado 1 (es decir, funciones lineales) en variables${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$. El paquete de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$También se puede describir como el fibrado de líneas asociado a un hiperplano en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$(porque el conjunto cero de una sección de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$es un hiperplano). Si${\displaystyle f}$es una inmersión cerrada, por ejemplo, se deduce que el retroceso${\displaystyle f^{*}O(1)}$¿es el paquete de líneas en?${\displaystyle X}$asociado a una sección hiperplana (la intersección de${\displaystyle X}$con un hiperplano en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$).

Dejar${\displaystyle X}$ser un plan sobre un campo${\displaystyle k}$(por ejemplo, una variedad algebraica) con un fibrado de líneas${\displaystyle L}$(Un fibrado lineal también puede llamarse haz invertible ). Sea${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$ser elementos de la${\displaystyle k}$- espacio vectorial${\displaystyle H^{0}(X,L)}$de secciones globales de${\displaystyle L}$. El conjunto cero de cada sección es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$; dejar${\displaystyle U}$sea ​​el subconjunto abierto de puntos en los que al menos uno de${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$no es cero. Entonces estas secciones definen un morfismo

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

En más detalle: para cada punto${\displaystyle x}$de${\displaystyle U}$, la fibra de${\displaystyle L}$encima${\displaystyle x}$es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo residual${\displaystyle k(x)}$Elegir una base para esta fibra hace que${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$en una secuencia de${\displaystyle n+1}$Los números no son todos cero, y por lo tanto, se trata de un punto en el espacio proyectivo. Al cambiar la base elegida, todos los números se escalan por la misma constante distinta de cero, por lo que el punto en el espacio proyectivo es independiente de dicha base.

Además, este morfismo tiene la propiedad de que la restricción de${\displaystyle L}$a${\displaystyle U}$es isomorfo al retroceso${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$. ^{[ 1 ]}

El lugar geométrico base de un haz de líneas${\displaystyle L}$en un plan${\displaystyle X}$es la intersección de los conjuntos cero de todas las secciones globales de${\displaystyle L}$Un paquete de líneas${\displaystyle L}$Se denomina libre de punto base si su lugar base está vacío. Es decir, para cada punto${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$Hay una sección global de${\displaystyle L}$que es distinto de cero en${\displaystyle x}$. Si${\displaystyle X}$es apropiado sobre un campo${\displaystyle k}$, entonces el espacio vectorial${\displaystyle H^{0}(X,L)}$de secciones globales tiene dimensión finita; la dimensión se llama${\displaystyle h^{0}(X,L)}$. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, un haz de líneas sin punto base${\displaystyle L}$determina un morfismo${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$encima${\displaystyle k}$, dónde${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$, dado por la elección de una base para${\displaystyle H^{0}(X,L)}$. Sin hacer una elección, esto puede describirse como el morfismo

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

de${\displaystyle X}$al espacio de hiperplanos en${\displaystyle H^{0}(X,L)}$, asociado canónicamente al fibrado de líneas sin punto base${\displaystyle L}$. Este morfismo tiene la propiedad de que${\displaystyle L}$es el retroceso${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$.

Por el contrario, para cualquier morfismo${\displaystyle f}$de un plan${\displaystyle X}$a un espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$encima${\displaystyle k}$, el conjunto de líneas de retroceso${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$es libre de punto base. De hecho,${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$es libre de punto base en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$, porque por cada punto${\displaystyle y}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$hay un hiperplano que no contiene${\displaystyle y}$. Por lo tanto, para cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, hay una sección${\displaystyle s}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$encima${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$eso no es cero en${\displaystyle f(x)}$y el retroceso de${\displaystyle s}$es una sección global de${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$eso no es cero en${\displaystyle x}$En resumen, los haces de líneas sin punto base son precisamente aquellos que pueden expresarse como el retroceso de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$mediante algún morfismo a un espacio proyectivo.

El grado de un fibrado de líneas L sobre una curva propia C sobre k se define como el grado del divisor ( s ) de cualquier sección racional no nula s de L. Los coeficientes de este divisor son positivos en los puntos donde s se anula y negativos donde s tiene un polo. Por lo tanto, cualquier fibrado de líneas L sobre una curva C tal que${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$tiene grado no negativo (porque las secciones de L sobre C , a diferencia de las secciones racionales, no tienen polos). ^{[ 3 ]} En particular, todo fibrado de líneas sin base sobre una curva tiene grado no negativo. Como resultado, un fibrado de líneas sin base L sobre cualquier esquema propio X sobre un cuerpo es nef , lo que significa que L tiene grado no negativo en toda curva (irreducible) en X . ^{[ 4 ]}

De manera más general, un haz F de${\displaystyle O_{X}}$Se dice que un conjunto de módulos en un esquema X se genera globalmente si existe un conjunto I de secciones globales.${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$de tal manera que el morfismo correspondiente

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

de haces es sobreyectiva. ^{[ 5 ]} Un fibrado de líneas es globalmente generado si y solo si no tiene punto base.

Por ejemplo, todo haz cuasi-coherente en un esquema afín es globalmente generado. ^{[ 6 ]} Análogamente, en geometría compleja , el teorema A de Cartan dice que todo haz coherente en una variedad de Stein es globalmente generado.

Un fibrado lineal L en un esquema propio sobre un cuerpo es semiamplio si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial${\displaystyle L^{\otimes r}}$es libre de punto base. Un fibrado de líneas semi-amplio es nef (por el hecho correspondiente para fibrados de líneas libres de punto base). ^{[ 7 ]}

Un paquete de líneas${\displaystyle L}$en un plan adecuado${\displaystyle X}$sobre un campo${\displaystyle k}$Se dice que es muy amplio si no tiene punto base y el morfismo asociado

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

es una inmersión. Aquí${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$. De forma equivalente,${\displaystyle L}$es muy amplio si${\displaystyle X}$puede estar incrustado en un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle L}$es la restricción del paquete de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$a${\displaystyle X}$. ^{[ 8 ]} Esta última definición se utiliza para definir la amplitud muy grande para un fibrado de líneas en un esquema propio sobre cualquier anillo conmutativo . ^{[ 9 ]}

El nombre "muy amplio" fue introducido por Alexander Grothendieck en 1961. ^{[ 10 ]} Anteriormente se habían utilizado varios nombres en el contexto de sistemas lineales de divisores .

Para un paquete de líneas muy amplio${\displaystyle L}$en un plan adecuado${\displaystyle X}$sobre un campo con morfismo asociado${\displaystyle f}$, el grado de${\displaystyle L}$en una curva${\displaystyle C}$en${\displaystyle X}$es el grado de${\displaystyle f(C)}$como una curva en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Entonces${\displaystyle L}$tiene grado positivo en cada curva en${\displaystyle X}$(porque toda subvariedad de espacio proyectivo tiene grado positivo). ^{[ 11 ]}

Los haces de líneas amplios se utilizan con mayor frecuencia en esquemas adecuados, pero pueden definirse con una generalidad mucho mayor.

Sea X un esquema, y ​​sea${\displaystyle {\mathcal {L}}}$sea ​​un haz invertible en X. Para cada${\displaystyle x\in X}$, dejar${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$denotemos el haz ideal del subesquema reducido soportado solo en x .${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$, definir $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ De forma equivalente, si${\displaystyle \kappa (x)}$denota el campo residual en x (considerado como un haz rascacielos soportado en x ), entonces $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ dónde${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$es la imagen de s en el producto tensorial.

Arreglar${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$. Para cada s , la restricción${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$es gratis${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo trivializado por la restricción de s , es decir, el morfismo de multiplicación por s${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$es un isomorfismo. El conjunto${\displaystyle X_{s}}$siempre está abierto, y el morfismo de inclusión${\displaystyle X_{s}\to X}$es un morfismo afín. A pesar de esto,${\displaystyle X_{s}}$no tiene por qué ser un esquema afín. Por ejemplo, si${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, entonces${\displaystyle X_{s}=X}$es abierto en sí mismo y afín consigo mismo, pero generalmente no afín.

Supongamos que X es cuasicompacto. Entonces${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es suficiente si, para cada${\displaystyle x\in X}$, existe un${\displaystyle n\geq 1}$y un${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$de tal manera que${\displaystyle x\in X_{s}}$y${\displaystyle X_{s}}$es un esquema afín. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, el fibrado de líneas trivial${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es amplio si y solo si X es cuasi-afín . ^{[ 13 ]}

En general, no es cierto que cada${\displaystyle X_{s}}$es afín. Por ejemplo, si${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$para algún punto O , y si${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es la restricción de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$a X , entonces${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$tienen las mismas secciones globales y el lugar no evanescente de una sección de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es afín si y solo si la sección correspondiente de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$contiene O.​

Es necesario permitir poderes de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$en la definición. De hecho, para cada N , es posible que${\displaystyle X_{s}}$no es afín para cada${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$con${\displaystyle n\leq N}$. En efecto, supongamos que Z es un conjunto finito de puntos en${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$,${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$, y${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$. Los lugares de desaparición de las secciones de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$son curvas planas de grado N. Si tomamos Z como un conjunto suficientemente grande de puntos en posición general , podemos asegurar que ninguna curva plana de grado N (y por lo tanto de ningún grado inferior) contiene todos los puntos de Z. En particular, sus lugares geométricos no nulos son todos no afines.

Definir${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$. Dejar${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$denotan el morfismo estructural. Existe un isomorfismo natural entre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$homomorfismos de álgebra${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$y endomorfismos del anillo graduado S. El endomorfismo identidad de S corresponde a un homomorfismo.${\displaystyle \varepsilon }$. Aplicando el${\displaystyle \operatorname {Proj} }$El functor produce un morfismo a partir de un subesquema abierto de X , denotado${\displaystyle G(\varepsilon )}$, a${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$.

La caracterización básica de haces invertibles amplios establece que si X es un esquema cuasi-compacto cuasi-separado y${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Si es un haz invertible en X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[ 14 ]}

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es suficiente.
2. Los conjuntos abiertos${\displaystyle X_{s}}$, dónde${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$y${\displaystyle n\geq 0}$, forman una base para la topología de X .
3. Los conjuntos abiertos${\displaystyle X_{s}}$con la propiedad de ser afín, donde${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$y${\displaystyle n\geq 0}$, forman una base para la topología de X .
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$es una inmersión abierta dominante.
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$es un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de X con su imagen.
6. Para cada haz cuasi coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en X , el mapa canónico${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$es sobreyectiva.
7. Para cada haz cuasi coherente de ideales${\displaystyle {\mathcal {J}}}$en X , el mapa canónico${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$es sobreyectiva.
8. Para cada haz cuasi coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tipo finito en X , existe un entero${\displaystyle n_{0}}$de tal manera que para${\displaystyle n\geq n_{0}}$,${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$es generado por sus secciones globales.
9. Para cada haz cuasi coherente${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tipo finito en X , existen enteros${\displaystyle n>0}$y${\displaystyle k>0}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es isomorfo a un cociente de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$.
10. Para cada haz cuasi coherente de ideales${\displaystyle {\mathcal {J}}}$de tipo finito en X , existen enteros${\displaystyle n>0}$y${\displaystyle k>0}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {J}}}$es isomorfo a un cociente de${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$.

Cuando X es separado y de tipo finito sobre un esquema afín, un haz invertible${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es amplio si y solo si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$es muy amplio. ^{[ 15 ] [ 16 ]} En particular, un esquema propio sobre R tiene un fibrado lineal amplio si y solo si es proyectivo sobre R . A menudo, esta caracterización se toma como la definición de amplitud.

El resto de este artículo se centrará en la amplitud de esquemas propios sobre un cuerpo, ya que este es el caso más importante. Un fibrado de líneas amplio sobre un esquema propio X sobre un cuerpo tiene grado positivo en cada curva de X , según la afirmación correspondiente para fibrados de líneas muy amplios.

Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema propio X sobre un cuerpo k es amplio si el fibrado de líneas O ( D ) correspondiente es amplio. (Por ejemplo, si X es liso sobre k , entonces un divisor de Cartier puede identificarse con una combinación lineal finita de subvariedades cerradas de codimensión 1 de X con coeficientes enteros).

Debilitar la noción de "muy amplio" a "amplio" da como resultado un concepto flexible con una amplia variedad de caracterizaciones diferentes. Un primer punto es que tensorializar potencias altas de un fibrado de líneas amplio con cualquier haz coherente da como resultado un haz con muchas secciones globales. Más precisamente, un fibrado de líneas L en un esquema propio X sobre un cuerpo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano ) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , existe un entero s tal que el haz${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$se genera globalmente para todos${\displaystyle r\geq s}$. Aquí s puede depender de F . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Otra caracterización de la amplitud, conocida como el teorema de Cartan - Serre - Grothendieck , se basa en la cohomología de haces coherentes . Es decir, un fibrado lineal L sobre un esquema propio X sobre un cuerpo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano) es amplio si y solo si para cada haz coherente F sobre X , existe un entero s tal que

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

a pesar de${\displaystyle i>0}$y todo${\displaystyle r\geq s}$. ^{[ 19 ] [ 18 ]} En particular, las altas potencias de un fibrado lineal amplio matan la cohomología en grados positivos. Esta implicación se llama el teorema de anulación de Serre , demostrado por Jean-Pierre Serre en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents .

Para determinar si un fibrado de líneas dado en una variedad proyectiva X es amplio, los siguientes criterios numéricos (en términos de números de intersección) suelen ser los más útiles. Es equivalente a preguntar cuándo un divisor de Cartier D en X es amplio, lo que significa que el fibrado de líneas asociado O ( D ) es amplio. El número de intersección${\displaystyle D\cdot C}$se puede definir como el grado del fibrado de líneas O ( D ) restringido a C . En la otra dirección, para un fibrado de líneas L en una variedad proyectiva, la primera clase de Chern${\displaystyle c_{1}(L)}$significa el divisor de Cartier asociado (definido salvo equivalencia lineal), el divisor de cualquier sección racional no nula de L.

Sobre una curva proyectiva suave X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , un fibrado de líneas L es muy amplio si y solo si${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$para todos los puntos k - racionales x , y en X. ^{[ 23} ] Sea g el género de X. Por el teorema de Riemann-Roch ^, todo fibrado de líneas de grado al menos 2g +  1  satisface esta condición y, por lo tanto, es muy amplio. Como resultado, un fibrado de líneas sobre una curva es amplio si y solo si tiene grado positivo. ^{[ 24 ]}

Por ejemplo, el fibrado canónico${\displaystyle K_{X}}$de una curva X tiene grado 2 g − 2, y por lo tanto es amplia si y solo si  ${\displaystyle g\geq 2}$. Las curvas con fibrado canónico amplio forman una clase importante; por ejemplo, sobre los números complejos, estas son las curvas con una métrica de curvatura negativa . El fibrado canónico es muy amplio si y solo si${\displaystyle g\geq 2}$y la curva no es hiperelíptica . ^{[ 25 ]}

El criterio de Nakai-Moishezon (llamado así por Yoshikazu Nakai (1963) y Boris Moishezon (1964)) establece que un fibrado de líneas L sobre un esquema propio X sobre un cuerpo es amplio si y solo si${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$para cada subvariedad cerrada ( irreducible ) Y de X ( Y no puede ser un punto). ^{[ 26 ]} En términos de divisores, un divisor de Cartier D es amplio si y solo si${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$para cada subvariedad (no cero-dimensional) Y de X. Para X una curva, esto dice que un divisor es amplio si y solo si tiene grado positivo. Para X una superficie, el criterio dice que un divisor D es amplio si y solo si su número de autointersección${\displaystyle D^{2}}$es positivo y cada curva C en X tiene${\displaystyle D\cdot C>0}$.

Para enunciar el criterio de Kleiman (1966), sea X un esquema proyectivo sobre un cuerpo.${\displaystyle N_{1}(X)}$sea ​​el espacio vectorial real de 1-ciclos (combinaciones lineales reales de curvas en X ) módulo equivalencia numérica, lo que significa que dos 1-ciclos A y B son iguales en${\displaystyle N_{1}(X)}$si y solo si cada fibrado lineal tiene el mismo grado en A y en B. Por el teorema de Néron-Severi , el espacio vectorial real${\displaystyle N_{1}(X)}$tiene dimensión finita. El criterio de Kleiman establece que un fibrado lineal L sobre X es amplio si y solo si L tiene grado positivo en cada elemento no nulo C de la clausura del cono de curvas NE( X ) en${\displaystyle N_{1}(X)}$. (Esto es ligeramente más fuerte que decir que L tiene grado positivo en cada curva.) Equivalentemente, un fibrado de líneas es amplio si y solo si su clase en el espacio vectorial dual${\displaystyle N^{1}(X)}$está en el interior del cono nef . ^{[ 27 ]}

El criterio de Kleiman falla en general para esquemas propios (en lugar de proyectivos) X sobre un cuerpo, aunque se cumple si X es liso o, más generalmente, Q -factorial. ^{[ 28 ]}

Un fibrado de líneas sobre una variedad proyectiva se denomina estrictamente nef si tiene grado positivo en cada curva. Nagata (1959) y David Mumford construyeron fibrados de líneas sobre superficies proyectivas lisas que son estrictamente nef pero no amplios. Esto demuestra que la condición${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$no puede omitirse en el criterio de Nakai-Moishezon, y es necesario usar el cierre de NE( X ) en lugar de NE( X ) en el criterio de Kleiman. ^{[ 29 ]} Todo fibrado de líneas nef en una superficie tiene${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$y los ejemplos de Nagata y Mumford tienen${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$.

CS Seshadri demostró que un fibrado de líneas L en un esquema propio sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es amplio si y solo si existe un número real positivo ε tal que deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) para todas las curvas (irreducibles) C en X , donde m ( C ) es el máximo de las multiplicidades en los puntos de C . ^{[ 30 ]}

Varias caracterizaciones de amplitud se cumplen de forma más general para fibrados de líneas en un espacio algebraico propio sobre un cuerpo k . En particular, el criterio de Nakai-Moishezon es válido en esa generalidad. ^{[ 31 ]} El criterio de Cartan-Serre-Grothendieck se cumple aún más de forma general, para un espacio algebraico propio sobre un anillo noetheriano R. ^{[ 32 ]} (Si un espacio algebraico propio sobre R tiene un fibrado de líneas amplio, entonces es de hecho un esquema proyectivo sobre R. ) El criterio de Kleiman falla para espacios algebraicos propios X sobre un cuerpo, incluso si X es liso. ^{[ 33 ]}

En un esquema proyectivo X sobre un cuerpo, el criterio de Kleiman implica que la amplitud es una condición abierta sobre la clase de un R -divisor (una combinación R -lineal de divisores de Cartier) en${\displaystyle N^{1}(X)}$, con su topología basada en la topología de los números reales. (Un R -divisor se define como amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios. ^{[ 34 ]} ) Un caso especial elemental es: para un divisor amplio H y cualquier divisor E , existe un número real positivo b tal que${\displaystyle H+aE}$es suficiente para todos los números reales a de valor absoluto menor que b . En términos de divisores con coeficientes enteros (o haces de líneas), esto significa que nH + E es suficiente para todos los enteros positivos suficientemente grandes n .

La amplitud es también una condición abierta en un sentido bastante diferente, cuando la variedad o el fibrado de líneas se varía en una familia algebraica. Es decir, sea${\displaystyle f\colon X\to Y}$Sea X un morfismo propio de esquemas, y sea L un fibrado lineal en X. Entonces el conjunto de puntos y en Y tales que L es amplio en la fibra${\displaystyle X_{y}}$es abierto (en la topología de Zariski ). Más fuertemente, si L es amplio en una fibra${\displaystyle X_{y}}$, entonces existe un entorno abierto afín U de y tal que L es amplio en${\displaystyle f^{-1}(U)}$sobre U. ^{[ 35 ]}​

Kleiman también demostró las siguientes caracterizaciones de amplitud, que pueden considerarse pasos intermedios entre la definición de amplitud y los criterios numéricos. Es decir, para un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo, lo siguiente es equivalente: ^{[ 36 ]}

• L es suficiente.
• Para cada subvariedad (irreducible)${\displaystyle Y\subset X}$de dimensión positiva, hay un entero positivo r y una sección${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$que no es idénticamente cero sino que se desvanece en algún punto de Y.
• Para cada subvariedad (irreducible)${\displaystyle Y\subset X}$De dimensión positiva, las características de Euler holomorfas de las potencias de L en Y tienden al infinito:

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$como${\displaystyle r\to \infty }$.

Robin Hartshorne definió un fibrado vectorial F sobre un esquema proyectivo X sobre un cuerpo como amplio si el fibrado lineal${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$en el espacio${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$de hiperplanos en F es amplio. ^{[ 37 ]}

Varias propiedades de los haces de líneas amplios se extienden a los haces de vectores amplios. Por ejemplo, un haz de vectores F es amplio si y solo si las altas potencias simétricas de F eliminan la cohomología.${\displaystyle H^{i}}$de haces coherentes para todos${\displaystyle i>0}$. ^{[ 38 ]} Además, la clase Chern${\displaystyle c_{r}(F)}$de un haz vectorial amplio tiene grado positivo en cada subvariedad r -dimensional de X , para${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$. ^{[ 39 ]}

Un debilitamiento útil de la amplitud, especialmente en geometría birracional , es la noción de fibrado de líneas grande . Se dice que un fibrado de líneas L en una variedad proyectiva X de dimensión n sobre un cuerpo es grande si existe un número real positivo a y un entero positivo${\displaystyle j_{0}}$de tal manera que${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$a pesar de${\displaystyle j\geq j_{0}}$. Esta es la tasa de crecimiento máxima posible para los espacios de secciones de potencias de L , en el sentido de que para cada fibrado lineal L en X hay un número positivo b con${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$para todo j > 0. ^{[ 40 ]}

Hay varias otras caracterizaciones de los haces de líneas grandes. Primero, un haz de líneas es grande si y solo si hay un entero positivo r tal que la aplicación racional de X a${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$dado por las secciones de${\displaystyle L^{\otimes r}}$es birracional sobre su imagen. ^{[ 41 ]} Además, un fibrado de líneas L es grande si y solo si tiene una potencia tensorial positiva que es el producto tensorial de un fibrado de líneas amplio A y un fibrado de líneas efectivo B (lo que significa que${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$). ^{[ 42 ]} Finalmente, un paquete de líneas es grande si y solo si su clase en${\displaystyle N^{1}(X)}$está en el interior del cono de divisores efectivos. ^{[ 43 ]}

La grandeza puede considerarse un análogo birracionalmente invariante de la amplitud. Por ejemplo, si${\displaystyle f\colon X\to Y}$Si existe una aplicación racional dominante entre variedades proyectivas suaves de la misma dimensión, entonces la imagen inversa de un fibrado de líneas grande en Y es grande en X. (A primera vista, la imagen inversa es solo un fibrado de líneas en el subconjunto abierto de X donde f es un morfismo, pero esto se extiende de forma única a un fibrado de líneas en todo X ). Para fibrados de líneas amplios, solo se puede decir que la imagen inversa de un fibrado de líneas amplio por un morfismo finito es amplia. ^{[ 20 ]}

Ejemplo: Sea X la explosión del plano proyectivo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$en un punto sobre los números complejos. Sea H el retroceso a X de una línea en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$y sea E la curva excepcional de la explosión${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$Entonces, el divisor H + E es grande pero no amplio (o incluso nef) en X , porque

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Esta negatividad también implica que el lugar base de H + E (o de cualquier múltiplo positivo) contiene la curva E. De hecho, este lugar base es igual a E.

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Variedad de Fano : una variedad cuyo paquete canónico es anti-amplio.
• El gran teorema de Matsusaka
• Esquema divisorio : un esquema que admite una amplia familia de haces de líneas.

• fibrado vectorial holomorfo
• Teorema de incrustación de Kodaira : en una variedad compleja compacta, la amplitud y la positividad coinciden.
• Teorema de desaparición de Kodaira
• Teorema del hiperplano de Lefschetz : un divisor amplio en una variedad proyectiva compleja X es topológicamente similar a X.