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Articulo de referencia

Capacidad analítica

En la disciplina matemática del análisis complejo , la capacidad analítica de un subconjunto compacto K del plano complejo es un número que indica "cuán grande" puede llegar a s...

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En la disciplina matemática del análisis complejo , la capacidad analítica de un subconjunto compacto K del plano complejo es un número que indica "cuán grande" puede llegar a ser una función analítica acotada en C \ K. En términos generales, γ ( K ) mide el tamaño de la bola unitaria del espacio de funciones analíticas acotadas fuera de K.  

Fue introducido por primera vez por Lars Ahlfors en la década de 1940 mientras estudiaba la posibilidad de eliminar singularidades de funciones analíticas acotadas.

Definición

Sea K ⊂ C compacto . Entonces su capacidad analítica se define como

γ(K)=sorber{|F′(∞)|; F∈H∞(do∖K), ‖F‖∞≤1, F(∞)=0}{\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}

Aquí,H∞(U){\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}denota el conjunto de funciones analíticas acotadas U → C , siempre que U sea un subconjunto abierto del plano complejo . Además,

F′(∞):=límitez→∞z(F(z)−F(∞)){\displaystyle f'(\infty):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)}
F(∞):=límitez→∞F(z){\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)}

Tenga en cuenta queF′(∞)=gramo′(0){\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}, dóndegramo(z)=F(1/z){\displaystyle g(z)=f(1/z)}Sin embargo, normalmenteF′(∞)≠límitez→∞F′(z){\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)}.

De forma equivalente, la capacidad analítica puede definirse como [ 1 ].

γ(K)=sorber|12π∫doF(z)dz|{\displaystyle \gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|}

donde C es un contorno que encierra a K y el supremo se toma sobre f que satisface las mismas condiciones que arriba: f es analítica acotada fuera de K , la cota es uno, yF(∞)=0.{\displaystyle f(\infty )=0.}

Si A ⊂ C es un conjunto arbitrario, entonces definimos

γ(A)=sorber{γ(K):K⊂A,K compacto}.{\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compacto}}\}.}

Juegos desmontables y el problema de Painlevé

El conjunto compacto K se denomina removible si, siempre que Ω sea un conjunto abierto que contenga a K , toda función acotada y holomorfa en el conjunto Ω  \ K tiene una extensión analítica a todo Ω. Según el teorema de Riemann para singularidades removibles , todo conjunto unitario es removible. Este resultado motivó a Paul Painlevé a plantear la pregunta en 1880: "¿Qué subconjuntos de C son removibles?". 

Es fácil ver que K es removible si y solo si γ ( K ) = 0. Sin embargo, la capacidad analítica es un concepto puramente analítico complejo, y se necesita mucho más trabajo para obtener una caracterización más geométrica.

Función de Ahlfors

Para cada K ⊂ C compacto , existe una única función extremal, es decirF∈H∞(do∖K){\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)}de tal manera que‖F‖≤1{\displaystyle \|f\|\leq 1}, f (∞) = 0 y f′ (∞) = γ ( K ). Esta función se llama función de Ahlfors de K . Su existencia se puede demostrar utilizando un argumento de familia normal que involucra el teorema de Montel .

Capacidad analítica en términos de la dimensión de Hausdorff

Sea dim H la dimensión de Hausdorff y H 1 la medida de Hausdorff unidimensional . Entonces H 1 ( K ) = 0 implica γ ( K ) = 0, mientras que dim H ( K ) > 1 garantiza γ ( K ) > 0. Sin embargo, el caso en que dim H ( K ) = 1 y H 1 ( K ) ∈ (0, ∞] es más difícil.

Longitud positiva pero capacidad analítica nula

Dada la correspondencia parcial entre la medida de Hausdorff unidimensional de un subconjunto compacto de C y su capacidad analítica, podría conjeturarse que γ ( K ) = 0 implica H1 ( K ) = 0. Sin embargo, esta conjetura es falsa. AG Vitushkin dio un contraejemplo por primera vez , y John B. Garnett uno mucho más simple en su artículo de 1970. Este último ejemplo es el conjunto de Cantor lineal de cuatro esquinas , construido de la siguiente manera:

Sea K 0  := [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario. Entonces, K 1 es la unión de 4 cuadrados de lado 1/4 y estos cuadrados están ubicados en las esquinas de K 0 . En general, K n es la unión de 4 n cuadrados (denotados porQnortej{\displaystyle Q_{n}^{j}}) de lado de longitud 4 − n , cada unoQnortej{\displaystyle Q_{n}^{j}}estar en la esquina de algunosQnorte−1k{\displaystyle Q_{n-1}^{k}}. Consideremos K como la intersección de todos los K n entoncesH1(K)=2{\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}pero γ ( K ) = 0.

La conjetura de Vitushkin

Sea K ⊂ C un conjunto compacto. Anatoli Vitushkin conjeturó que

γ(K)=0 ⟺ ∫0πH1(proyectoθ⁡(K))dθ=0{\displaystyle \gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}

dóndeproyectoθ⁡(incógnita,y):=incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ{\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }denota la proyección ortogonal en la dirección θ. Según los resultados descritos anteriormente, la conjetura de Vitushkin es cierta cuando dim H K ≠ 1.

Guy David publicó en 1998 una demostración de la conjetura de Vitushkin para el caso dim H K = 1 y H 1 ( K ) < ∞. En 2002, Xavier Tolsa demostró que la capacidad analítica es semiaditiva numerable. Es decir, existe una constante absoluta C > 0 tal que si K ⊂ C es un conjunto compacto yK=⋃i=1∞Ki{\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}donde cada K i es un conjunto de Borel , entoncesγ(K)≤do∑i=1∞γ(Ki){\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})}.

Los teoremas de David y Tolsa implican conjuntamente que la conjetura de Vitushkin es verdadera cuando K es H 1 - sigma-finito .

En el caso no H 1 -sigma-finito, Pertti Mattila demostró en 1986 [ 2 ] que la conjetura es falsa, pero su demostración no especificó qué implicación de la conjetura falla. El trabajo posterior de Jones y Muray [ 3 ] produjo un ejemplo de un conjunto con longitud de Favard cero y capacidad analítica positiva, refutando explícitamente una de las direcciones de la conjetura. Hasta 2023, se desconoce si la otra implicación se cumple, pero Chang y Tolsa [ 4 ] han avanzado hacia una respuesta afirmativa.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Solomentsev, ED (2001) [1994], "Capacity" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  2. ↑ Mattila, Pertti (1986). "Smooth Maps, Null-Sets for Integralgeometric Measure and Analytic Capacity" . Annals of Mathematics . 123 (2): 303– 309. doi : 10.2307/1971273 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1971273 .  
  3. ^ Jones, Peter W.; Murai, Takafumi (1988). "Capacidad analítica positiva pero probabilidad nula de aguja Buffon" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 133 (1): 99– 114. doi : 10.2140/pjm.1988.133.99 .
  4. ↑ Chang, Alan; Tolsa, Xavier (2020-10-05). "Capacidad analítica y proyecciones" . Journal of the European Mathematical Society . 22 (12): 4121– 4159. arXiv : 1712.00594 . doi : 10.4171/JEMS/1004 . ISSN 1435-9855 . 
  • Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
  • Pajot, Hervé (2002). Capacidad analítica, rectificabilidad, curvatura de Menger e integral de Cauchy . Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
  • J. Garnett, Longitud positiva pero capacidad analítica cero, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
  • G. David, Los 1-conjuntos irreductibles tienen capacidad analítica evanescente, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
  • Dudziak, James J. (2010). La conjetura de Vitushkin para conjuntos removibles . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
  • Tolsa, Xavier (2014). Capacidad analítica, la transformada de Cauchy y la teoría no homogénea de Calderón-Zygmund . Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.