continuación analítica

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la continuación analítica es una técnica para extender el dominio de definición de una función analítica dada . La continuación analítica a menudo logra definir valores adicionales de una función, por ejemplo, en una nueva región donde la representación en serie infinita que inicialmente definía la función diverge .

Sin embargo, la técnica de continuación por pasos puede presentar dificultades. Estas pueden ser de naturaleza esencialmente topológica, lo que lleva a inconsistencias (definiendo más de un valor). Alternativamente, pueden estar relacionadas con la presencia de singularidades . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no tienen por qué ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de haces .

Supongamos que f es una función analítica definida en un subconjunto abierto no vacío U del plano complejo .${\displaystyle \mathbb {C} }$. Si V es un subconjunto abierto más grande de${\displaystyle \mathbb {C} }$, que contiene U , y F es una función analítica definida en V tal que

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

Entonces, F se denomina continuación analítica de f . En otras palabras, la restricción de F a U es la función f con la que comenzamos.

Las continuaciones analíticas son únicas en el siguiente sentido: si V es el dominio conexo de dos funciones analíticas F ₁ y F ₂ tales que U está contenido en V y para todo z en U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

entonces

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

en todo V. Esto se debe a que F ₁  − F ₂ es una función analítica que se anula en el dominio abierto y conexo U de f y, por lo tanto, debe anularse en todo su dominio. Esto se deduce directamente del teorema de identidad para funciones holomorfas . 

Una forma común de definir funciones en análisis complejo consiste en especificar primero la función solo en un dominio pequeño y luego extenderla mediante continuación analítica.

En la práctica, esta continuación se suele realizar estableciendo primero alguna ecuación funcional en el dominio pequeño y luego utilizando esta ecuación para extender el dominio. Ejemplos de ello son la función zeta de Riemann y la función gamma .

El concepto de recubrimiento universal se desarrolló inicialmente para definir un dominio natural para la continuación analítica de una función analítica . La idea de encontrar la continuación analítica máxima de una función, a su vez, condujo al desarrollo del concepto de superficies de Riemann .

La continuación analítica se utiliza en variedades riemannianas , en el contexto de soluciones de las ecuaciones de Einstein . Por ejemplo, las coordenadas de Schwarzschild pueden continuarse analíticamente en coordenadas de Kruskal-Szekeres . ^{[ 1 ]}

Comience con una función analítica particular.${\displaystyle f}$En este caso, viene dada por una serie de potencias centrada en${\displaystyle z=1}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _ {k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

Por el teorema de Cauchy-Hadamard , su radio de convergencia es 1. Es decir,${\displaystyle f}$está definido y es analítico en el conjunto abierto${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$que tiene límite${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$De hecho, la serie diverge en${\displaystyle z=0\in \partial U}$.

Finjamos que no lo sabemos${\displaystyle f(z)=1/z}$(porque es una serie geométrica ), y centrarse en recentrar la serie de potencias en un punto diferente.${\displaystyle a\in U}$:

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(za)^{k}.}$$

Calcularemos el${\displaystyle a_{k}}$y determinar si esta nueva serie de potencias converge en un conjunto abierto.${\displaystyle V}$que no está contenido en${\displaystyle U}$Si es así, habremos continuado analíticamente${\displaystyle f}$a la región${\displaystyle U\cup V}$que es estrictamente mayor que${\displaystyle U}$.

La distancia desde${\displaystyle a}$a${\displaystyle \partial U}$es${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$. Llevar${\displaystyle 0<r<\rho }$; dejar${\displaystyle D}$sea ​​el disco de radio${\displaystyle r}$alrededor${\displaystyle a}$; y deja${\displaystyle \partial D}$sea ​​su límite. Entonces${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$. Usando la fórmula de diferenciación de Cauchy para calcular los nuevos coeficientes, se tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{nm}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{nm}r^{mk}\int _{0}^{2\pi }e^{i(mk)\theta }d\theta \\\end{aligned}}}$$

La integral tiende a cero siempre que${\displaystyle m\neq k}$Entonces podemos suponer${\displaystyle m=k}$sin afectar la suma, lo que lleva a$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}$$

La última suma resulta de la k -ésima derivación de la serie geométrica , que da la fórmula $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

que tiene radio de convergencia${\displaystyle |a|}$alrededor${\displaystyle a}$. Si elegimos${\displaystyle a\in U}$con${\displaystyle |a|>1}$, entonces${\displaystyle V}$no es un subconjunto de${\displaystyle U}$y en realidad es más grande en área que${\displaystyle U}$. El gráfico muestra el resultado para${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

Podemos continuar el proceso: seleccionar${\displaystyle b\in U\cup V}$, recentrar la serie de potencias en${\displaystyle b}$y determinar dónde converge la nueva serie de potencias. Si la región contiene puntos que no están en${\displaystyle U\cup V}$, entonces habremos continuado analíticamente${\displaystyle f}$aún más. Este en particular${\displaystyle f}$puede continuarse analíticamente hasta todo el plano complejo perforado${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

En este caso particular, los valores obtenidos de${\displaystyle f(-1)}$son iguales cuando los centros sucesivos tienen una parte imaginaria positiva o una parte imaginaria negativa. Esto no siempre es así; en particular, no es el caso para el logaritmo complejo , la antiderivada de la función anterior.

La serie de potencias definida a continuación se generaliza mediante la idea de un germen . La teoría general de la continuación analítica y sus generalizaciones se conoce como teoría de haces . Sea

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

sea ​​una serie de potencias que converge en el disco D _r ( z ₀ ), r > 0, definida por

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<r\}} .

Nótese que, sin pérdida de generalidad , aquí y en adelante, siempre asumiremos que se eligió un r máximo, incluso si ese r es infinito. Nótese también que sería equivalente comenzar con una función analítica definida en algún conjunto abierto pequeño. Decimos que el vector

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

es un germen de f . La base g ₀ de g es z ₀ , el tallo de g es (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...) y la parte superior g ₁ de g es α ₀ . La parte superior de g es el valor de f en z ₀ .

Cualquier vector g = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) es un germen si representa una serie de potencias de una función analítica alrededor de z ₀ con algún radio de convergencia r > 0. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad del conjunto de gérmenes.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Sean g y h gérmenes . Si${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$donde r es el radio de convergencia de g y si las series de potencias definidas por g y h especifican funciones idénticas en la intersección de los dos dominios, entonces decimos que h es generada por (o compatible con) g , y escribimos g ≥ h . Esta condición de compatibilidad no es transitiva, simétrica ni antisimétrica. Si extendemos la relación por transitividad , obtenemos una relación simétrica , que por lo tanto también es una relación de equivalencia en gérmenes (pero no un orden). Esta extensión por transitividad es una definición de continuación analítica. La relación de equivalencia se denotará${\displaystyle \cong }$.

Podemos definir una topología en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. Sea r > 0, y sea

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

Los conjuntos U _r ( g ), para todo r > 0 y${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$definir una base de conjuntos abiertos para la topología en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Un componente conectado de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(es decir, una clase de equivalencia ) se llama haz . También observamos que el mapa definido por${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$donde r es el radio de convergencia de g , es una carta . El conjunto de tales cartas forma un atlas para${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, por eso${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una superficie de Riemann .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$A veces se la denomina función analítica universal .

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

es una serie de potencias correspondiente al logaritmo natural cerca de z = 1. Esta serie de potencias se puede convertir en un germen

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

Este germen tiene un radio de convergencia de 1, por lo que existe un haz S que le corresponde. Este es el haz de la función logaritmo.

El teorema de unicidad para funciones analíticas también se extiende a haces de funciones analíticas: si el haz de una función analítica contiene el germen cero (es decir, el haz es uniformemente cero en algún entorno), entonces todo el haz es cero. Con este resultado, podemos ver que si tomamos cualquier germen g del haz S de la función logaritmo, como se describió anteriormente, y lo convertimos en una serie de potencias f ( z ), entonces esta función tendrá la propiedad de que exp( f ( z )) = z . Si hubiéramos decidido usar una versión del teorema de la función inversa para funciones analíticas, podríamos construir una amplia variedad de inversas para la función exponencial, pero descubriríamos que todas están representadas por algún germen en S. En ese sentido, S es la "única inversa verdadera" de la función exponencial.

En la literatura antigua, los haces de funciones analíticas se denominaban funciones multivaluadas . Véase el término «haz» para el concepto general.

Supongamos que una serie de potencias tiene un radio de convergencia r y define una función analítica f dentro de ese disco. Consideremos puntos en el círculo de convergencia. Un punto para el cual existe un entorno en el cual f tiene una extensión analítica es regular ; de lo contrario, es singular . El círculo es una frontera natural si todos sus puntos son singulares.

De manera más general, podemos aplicar la definición a cualquier dominio abierto conexo en el que f sea analítica, y clasificar los puntos del límite del dominio como regulares o singulares: el límite del dominio es entonces un límite natural si todos los puntos son singulares, en cuyo caso el dominio es un dominio de holomorfía .

El teorema de la monodromía proporciona una condición suficiente para la existencia de una continuación analítica directa (es decir, una extensión de una función analítica a una función analítica en un conjunto mayor).

Suponer${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$es un conjunto abierto y f una función analítica en D. Si G es un dominio simplemente conexo que contiene a D , de tal manera que f tiene una continuación analítica a lo largo de cada camino en G , comenzando desde algún punto fijo a en D , entonces f tiene una continuación analítica directa a G.

En el lenguaje anterior , esto significa que si G es un dominio simplemente conexo y S es un haz cuyo conjunto de puntos base contiene a G , entonces existe una función analítica f en G cuyos gérmenes pertenecen a S.

Para una serie de potencia

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

con

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

El círculo de convergencia es una frontera natural. Dicha serie de potencias se denomina lacunar . Este teorema ha sido generalizado sustancialmente por Eugène Fabry (véase el teorema de la brecha de Fabry ) y George Pólya .

Dejar

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

Sea una serie de potencias. Entonces existen ε _k ∈ {−1, 1} tales que

${\displaystyle g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

tiene como límite natural el disco de convergencia de f alrededor de z _{0 .}

La demostración de este teorema utiliza el teorema de la brecha de Hadamard.

• Estrella Mittag-Leffler
• Cálculo funcional holomorfo
• Continuación analítica numérica
• Teorema de Shire de Polya

• Lars Ahlfors (1979). Análisis complejo (3.ª  ed.). McGraw-Hill. págs.  172, 284.
• Ludwig Bieberbach (1955). Fortaleza analítica . Springer-Verlag.
• P. Dienes (1957). La serie de Taylor: una introducción a la teoría de funciones de una variable compleja . Nueva York: Dover Publications, Inc. Bibcode : 1957tsai.book.....D .

• "Continuación analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Continuación analítica en MathPages
• Weisstein, Eric W. "Continuación analítica" . MathWorld .