Función zeta prima

La integral sobre la función zeta prima generalmente se ancla en el infinito, porque el polo en${\displaystyle s=1}$prohíbe definir una cota inferior agradable en algún entero finito sin entrar en una discusión sobre cortes de rama en el plano complejo :

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

Los valores destacables son, de nuevo, aquellos en los que las sumas convergen lentamente:

La primera derivada es

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

Los valores interesantes son, de nuevo, aquellos en los que las sumas convergen lentamente:

Como la función zeta de Riemann es una suma de potencias inversas sobre los enteros y la función zeta prima una suma de potencias inversas de los números primos, la${\displaystyle k}$-primos (los enteros que son producto de${\displaystyle k}$(no necesariamente primos distintos) definen una especie de sumas intermedias:

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}},}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es el número total de factores primos .

Cada número entero en el denominador de la función zeta de Riemann${\displaystyle \zeta }$puede clasificarse por su valor del índice ⁠${\displaystyle k}$⁠ , que descompone la función zeta de Riemann en una suma infinita de las ⁠${\displaystyle P_{k}}$:​

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

Dado que sabemos que la serie de Dirichlet (en algún parámetro formal ⁠${\displaystyle u}$) satisface

${\displaystyle P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},}$

Podemos usar fórmulas para las variantes polinómicas simétricas con una función generadora del tipo del lado derecho. Es decir, tenemos la identidad coeficiente a coeficiente que${\displaystyle P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$cuando las secuencias corresponden a${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$dónde${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$denota la función característica de los primos . Usando las identidades de Newton , tenemos una fórmula general para estas sumas dada por

${\displaystyle P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).}$

Entre los casos especiales se incluyen las siguientes expansiones explícitas:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}}$

Construir la suma no sobre todos los primos sino solo sobre los primos que están en la misma clase de módulo introduce otros tipos de series infinitas que son una reducción de la función L de Dirichlet .