Anillo analíticamente irreducible

En álgebra, un anillo analíticamente irreducible es un anillo local cuya completación no tiene divisores de cero . Geométricamente, esto corresponde a una variedad con una sola rama analítica en un punto.

Zariski (1948) demostró que si un anillo local de una variedad algebraica es un anillo normal , entonces es analíticamente irreducible. Existen muchos ejemplos de anillos locales reducidos e irreducibles que son analíticamente reducibles, como el anillo local de un nodo de una curva irreducible, pero es difícil encontrar ejemplos que también sean normales. Nagata ( 1958 , 1962 , Apéndice A1, ejemplo 7) proporcionó un ejemplo de un anillo local noetheriano normal que es analíticamente reducible. 

Supongamos que K es un cuerpo de característica distinta de 2, y K [[ x , y]] es el anillo formal de series de potencias sobre K en 2 variables. Sea R el subanillo de K [[ x , y]] generado por x , y y los elementos z _n y localizado en estos elementos, donde

${\displaystyle w=\sum _{m>0}a_{m}x^{m}}$es trascendental sobre K ( x )

${\displaystyle z_{1}=(y+w)^{2}}$

${\displaystyle z_{n+1}=(z_{1}-(y+\sum _{0<m<n}a_{m}x^{m})^{2})/x^{n}}$.

Entonces R [ X ]/( X ² – z ₁ ) es un anillo local noetheriano normal que es analíticamente reducible.

• Nagata, Masayoshi (1958), "Un ejemplo de un anillo local normal que es analíticamente reducible" , Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A Math. , 31 : 83–85 , MR 0097395 
• Nagata, Masayoshi (1962), Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol.  13, Nueva York-Londres: Interscience Publishers
• Zariski, Oscar (1948), "Irreducibilidad analítica de variedades normales", Ann. of Math. , 2, 49 (2): 352– 361, doi : 10.2307/1969284 , JSTOR 1969284 , MR 0024158  
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1960], Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876