Teorema de Anderson

En matemáticas , el teorema de Anderson es un resultado del análisis real y la geometría que afirma que la integral de una función integrable, simétrica, unimodal y no negativa f sobre un cuerpo convexo n- dimensional K no disminuye si K se traslada hacia el origen. Esta afirmación es natural, ya que la gráfica de f puede considerarse como una colina con un único pico sobre el origen; sin embargo, para n ≥ 2, la demostración no es del todo obvia, ya que puede haber puntos x del cuerpo K donde el valor f ( x ) sea mayor que en la traslación correspondiente de x .

El teorema de Anderson, que lleva el nombre de Theodore Wilbur Anderson , también tiene una aplicación interesante en la teoría de la probabilidad .

Sea K un cuerpo convexo en el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ que es simétrico con respecto a la reflexión en el origen, es decir, K = − K . Sea f : R ⁿ → R una función no negativa , simétrica y globalmente integrable; es decir,    

• f ( x ) ≥ 0 para todo x  ∈ R ⁿ ; 
• f ( x ) = f ( − x ) para todo x  ∈ R ⁿ ; 
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

Supongamos también que los conjuntos de supernivel L ( f , t ) de f , definidos por 

${\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},}$

son subconjuntos convexos de R ⁿ para todo t  ≥  0. (Esta propiedad a veces se denomina unimodal ). Entonces, para cualquier 0  ≤ c ≤ 1 e y ∈ R ⁿ ,     

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.}$

Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr), supongamos que X  :  Ω  → R ⁿ es una variable aleatoria con valores en R ⁿ y función de densidad de probabilidad f : R ⁿ → [0, +∞) y que Y : Ω → R ⁿ es una variable aleatoria independiente . Las funciones de densidad de probabilidad de muchas distribuciones de probabilidad bien conocidas son p - cóncavas para algún p , y por lo tanto unimodales. Si también son simétricas (por ejemplo, las distribuciones de Laplace y normal ), entonces se aplica el teorema de Anderson, en cuyo caso          

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

para cualquier cuerpo convexo simétrico respecto al origen K  ⊆ R ⁿ . 

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .