Panal uniforme convexo

En geometría , un panal uniforme convexo es una teselación uniforme que llena el espacio euclidiano tridimensional con celdas poliédricas uniformes convexas que no se superponen .

Se conocen veintiocho de estos panales:

• el conocido panal cúbico y 7 truncamientos del mismo;
• el panal cúbico alternado y 4 truncamientos del mismo;
• 10 formas prismáticas basadas en los teselados planos uniformes (11 si se incluye el panal cúbico);
• 5 modificaciones de algunas de las anteriores mediante elongación y/o giro.

Pueden considerarse el análogo tridimensional de los recubrimientos uniformes del plano .

El diagrama de Voronoi de cualquier red forma un panal uniforme convexo en el que las celdas son zonohedros .

• 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares con celdas regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , incluyendo un panal cúbico regular y dos formas semirregulares con tetraedros y octaedros.
• 1905 : Alfredo Andreini enumeró 25 de estas teselaciones.
• 1991 : El manuscrito Uniform Polytopes de Norman Johnson identificó la lista de 28. ^{[ 1 ]}
• 1994 : Branko Grünbaum , en su artículo « Teselaciones uniformes del espacio tridimensional» , también enumeró de forma independiente las 28 formas, tras descubrir errores en la publicación de Andreini. Encontró que el artículo de 1905, que enumeraba 25, tenía una forma incorrecta y faltaban cuatro . Grünbaum afirma en este artículo que Norman Johnson merece prioridad por haber logrado la misma enumeración en 1991. También menciona que I. Alexeyev, de Rusia, se había puesto en contacto con él en relación con una supuesta enumeración de estas formas, pero que Grünbaum no pudo verificarla en aquel momento.
• 2006 : George Olshevsky, en su manuscrito Uniform Panoploid Tetracombs , además de repetir la lista derivada de 11 teselaciones uniformes convexas y 28 panales uniformes convexos, amplía una lista derivada adicional de 143 tetracombs uniformes convexos (Panales de 4-politopos uniformes en el espacio de 4 dimensiones). ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Solo 14 de los poliedros uniformes convexos aparecen en estos patrones:

• tres de los cinco sólidos platónicos (el tetraedro , el cubo y el octaedro ),
• seis de los trece sólidos arquimedianos (los que tienen simetría tetraédrica o octaédrica reflectiva), y
• cinco de la familia infinita de prismas (los prismas de 3, 4, 6, 8 y 12 gonales; el prisma de 4 gonales duplica el cubo).

El icosaedro , el cubo truncado y el antiprisma cuadrado aparecen en algunas alternancias, pero esos panales no se pueden realizar con todos los bordes de longitud unitaria.

Los grupos de Coxeter infinitos fundamentales para el espacio tridimensional son:

1. El${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [4,3,4], cúbico, (8 formas únicas más una alternancia)
2. El${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$, [4,3 ^1,1 ], cúbica alternada, (11 formas, 3 nuevas)
3. El${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$grupo cíclico, [(3,3,3,3)] o [3 ^[4] ], (5 formas, una nueva)

Existe una correspondencia entre las tres familias. Quitar un espejo de${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$produce${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$y quitando un espejo de${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$produce${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$Esto permite realizar múltiples construcciones del mismo panal. Si las celdas se colorean según su posición única dentro de cada construcción de Wythoff, se pueden mostrar estas diferentes simetrías.

Además, existen 5 estructuras de panal especiales que no poseen simetría de reflexión pura y que están construidas a partir de formas de reflexión con operaciones de elongación y giro .

En total, hay 18 panales únicos.

Las pilas prismáticas de los grupos de Coxeter infinitos para el espacio tridimensional son:

1. El${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$, grupo prismático [4,4,2,∞], (2 nuevas formas)
2. El${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$, [6,3,2,∞] grupo prismático, (7 formas únicas)
3. El${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$, grupo prismático [(3,3,3),2,∞], (Sin nuevas formas)
4. El${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$, [∞,2,∞,2,∞] grupo prismático, (Todos estos se convierten en un panal cúbico )

Además, existe una forma alargada especial del panal prismático triangular.

El número total de panales prismáticos únicos mencionados anteriormente (excluyendo los cúbicos contados previamente) es 10.

Al combinar estos recuentos, 18 y 10 nos da un total de 28 panales uniformes.

Si se permite que las celdas sean teselaciones uniformes , se pueden definir panales más uniformes:

Familias:

• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [4,4,2] Panales de abeja cúbicos (3 formas)
• ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [6,3,2] Panales de losas trihexagonales (8 formas: estas y la familia anterior forman los prismas de los once teselados uniformes convexos del plano euclidiano)
• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [(3,3,3),2] Panales de losas triangulares (Sin nuevas formas)
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,2] = Panales de abejas de columna cúbica (1 forma)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$: [p,2,∞] Panales de columnas poligonales (análogos a los duoprismas : estos parecen una única torre infinita de prismas p-gonales, con el espacio restante lleno de prismas apeirogonales )
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - = (Igual que la familia de panal de abeja de losa cúbica)

Las dos primeras formas mostradas arriba son semirregulares (uniformes con solo facetas regulares) y fueron catalogadas por Thorold Gosset en 1900 como el semi-check 3-ico y el semi-check tetractaédrico , respectivamente . ^{[ 4 ]}

Un panal escaliforme es transitivo en los vértices , como un panal uniforme , con caras poligonales regulares, mientras que las celdas y los elementos superiores solo deben ser orbiformes , equiláteros, con sus vértices situados sobre hiperesferas. Para panales 3D, esto permite un subconjunto de sólidos de Johnson junto con los poliedros uniformes. Algunos escaliformes pueden generarse mediante un proceso de alternancia, dejando, por ejemplo, huecos en forma de pirámide y cúpula . ^{[ 5 ]}

Existen 9 familias de grupos de Coxeter de panales compactos uniformes en el espacio hiperbólico tridimensional , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin para cada familia.

A partir de estas 9 familias, se generan un total de 76 panales únicos:

• [3,5,3]  : - 9 formas
• [5,3,4]  : - 15 formas
• [5,3,5]  : - 9 formas
• [5,3 ^1,1 ]  : - 11 formas (7 se superponen con la familia [5,3,4], 4 son únicas)
• [(4,3,3,3)]  : - 9 formas
• [(4,3,4,3)]  : - 6 formas
• [(5,3,3,3)]  : - 9 formas
• [(5,3,4,3)]  : - 9 formas
• [(5,3,5,3)]  : - 6 formas

Se conocen varias formas no wythoffianas fuera de la lista de 76; se desconoce cuántas hay.

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 21, Nomenclatura de los poliedros y teselaciones arquimedianas y catalanas, teselaciones arquitectónicas y catóptricas, págs. 292-298, incluye todas las formas no prismáticas)
• Branko Grünbaum , (1994) Teselaciones uniformes del espacio tridimensional. Geombinatorics 4, 49 - 56.
• Norman Johnson (1991) Politopos uniformes , manuscrito
• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

(Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado del espacio)

• Critchlow, Keith (1970). Orden en el espacio: Un libro de referencia sobre diseño . Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter , Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos espaciales uniformes)
• A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF
• DMY Sommerville , (1930) Introducción a la geometría de n dimensiones. Nueva York, EP Dutton, 196 págs. (Edición de Dover Publications, 1958) Capítulo X: Los politopos regulares
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: Un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 5. Unión de poliedros
• Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), págs.  54-55. 12 empaquetamientos de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica.

• Weisstein, Eric W. "Panal de abejas" . MathWorld .
• Panales uniformes en modelos VRML de 3 espacios
• Panales elementales: panales que llenan el espacio con celdas no uniformes y que son transitivos en los vértices.
• Particiones uniformes del espacio tridimensional, sus variantes y su incrustación , 1999
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros
• animación de armadura de octeto
• Reseña: AF Wells, Redes tridimensionales y poliedros, HSM Coxeter (Fuente: Bull. Amer. Math. Soc. Volumen 84, Número 3 (1978), 466-470).
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 3D" .
• (secuencia A242941 en el OEIS )