Teselación arquitectónica y catóptrica

En geometría , John Horton Conway define las teselaciones arquitectónicas y catóptricas como las teselaciones uniformes (o panales ) del espacio euclidiano tridimensional con grupos espaciales primos y sus duales , como análogo tridimensional del teselado platónico, arquimediano y catalán del plano. La figura singular del vértice de una teselación arquitectónica es la dual de la celda de la teselación catóptrica correspondiente , y viceversa. El cubillo es la única teselación platónica (regular) del espacio tridimensional y es autodual. Existen otros panales uniformes construidos como giros o pilas prismáticas (y sus duales) que quedan excluidos de estas categorías.

Enumeración

A continuación se enumeran los pares de teselaciones arquitectónicas y catóptricas con su grupo de simetría . Estas teselaciones representan únicamente cuatro grupos espaciales de simetría , todos ellos dentro del sistema cristalino cúbico . Muchas de estas teselaciones pueden definirse en múltiples grupos de simetría, por lo que en cada caso se expresa la simetría más alta.

Figuras de vértice

A continuación se muestran las figuras de los vértices de todos los panales arquitectónicos y las celdas duales de todos los panales catópteros, a la misma escala y con la misma orientación:

Simetría

Estos cuatro grupos de simetría se denominan de la siguiente manera:

Referencias

↑ Para referencias cruzadas de sólidos arquitectónicos, se proporcionan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2, 9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) y Grünbaum (1-28). Los nombres de Coxeters se basan en δ₄ como un panal cúbico , hδ₄ como un panal cúbico alternado y qδ₄ como un cuarto de panal cúbico .
↑ Hestenes, David; Holt, Jeremy (27 de febrero de 2007). "Grupos espaciales cristalográficos en álgebra geométrica" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 48 (2). AIP Publishing LLC: 023514. doi : 10.1063/1.2426416 . ISSN 1089-7658 .

Lecturas adicionales

Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), págs. 54-55. 12 empaquetamientos de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica.
Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). «21. Nomenclatura de poliedros y teselaciones arquimedianas y catalanas». Las simetrías de las cosas . AK Peters, Ltd. págs. 292–298 . ISBN 978-1-56881-220-5.
Inchbald, Guy (julio de 1997). "Los duales de panal de Arquímedes". The Mathematical Gazette . 81 (491). Leicester: The Mathematical Association: 213–219 . doi : 10.2307/3619198 . JSTOR 3619198 .
Branko Grünbaum , (1994) Teselaciones uniformes del espacio tridimensional. Geombinatorics 4, 49 – 56.
Norman Johnson (1991) Politopos uniformes , manuscrito
A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF
George Olshevsky, (2006) Tetracombas panoploides uniformes , Manuscrito PDF
Pearce, Peter (1980). La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño . The MIT Press. págs. 41–47 . ISBN 978-0-262-66045-7.
Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
(Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] Véase pág. 318

[1] Para referencias cruzadas de sólidos arquitectónicos, se proporcionan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2, 9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) y Grünbaum (1-28). Los nombres de Coxeters se basan en δ₄ como un panal cúbico , hδ₄ como un panal cúbico alternado y qδ₄ como un cuarto de panal cúbico .

[2] Hestenes, David; Holt, Jeremy (27 de febrero de 2007). "Grupos espaciales cristalográficos en álgebra geométrica" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 48 (2). AIP Publishing LLC: 023514. doi : 10.1063/1.2426416 . ISSN 1089-7658 .