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toro angeniente

En geometría diferencial , el toro de Angenent es una incrustación suave del toro en el espacio euclidiano tridimensional , con la propiedad de que permanece autosimilar a medid...

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En geometría diferencial , el toro de Angenent es una incrustación suave del toro en el espacio euclidiano tridimensional , con la propiedad de que permanece autosimilar a medida que evoluciona bajo el flujo de curvatura media . Su existencia demuestra que, a diferencia del flujo de acortamiento de curvas unidimensional (para el cual toda curva cerrada incrustada converge a un círculo al contraerse hasta un punto), el flujo de curvatura media bidimensional tiene superficies incrustadas que forman singularidades más complejas a medida que colapsan.

Historia

El toro de Angenent recibe su nombre de Sigurd Angenent , quien publicó una prueba de su existencia en 1992. [ 1 ] Sin embargo, ya en 1990, Gerhard Huisken escribió que Matthew Grayson le había hablado de "evidencia numérica" ​​de su existencia. [ 2 ] [ 3 ]

Existencia

Para demostrar la existencia del toro de Angenent, este postula primero que debe ser una superficie de revolución . Dicha superficie puede describirse mediante su sección transversal, una curva en un semiplano (donde la línea límite del semiplano es el eje de revolución de la superficie). Siguiendo las ideas de Huisken, [ 2 ] Angenent define una métrica riemanniana en el semiplano, con la propiedad de que las geodésicas de esta métrica son exactamente las secciones transversales de superficies de revolución que permanecen autosimilares y colapsan al origen después de una unidad de tiempo. Esta métrica es altamente no uniforme, pero posee una simetría de reflexión, cuyo eje de simetría es la semirrecta que pasa por el origen perpendicularmente al límite del semiplano. [ 1 ]

Al considerar el comportamiento de las geodésicas que pasan perpendicularmente por este eje de simetría de reflexión, a diferentes distancias del origen, y aplicando el teorema del valor intermedio , Angenent halla una geodésica que pasa perpendicularmente por el eje en un segundo punto. Esta geodésica y su reflexión se unen para formar una geodésica cerrada simple para la métrica en el semiplano. Cuando esta geodésica cerrada se utiliza para construir una superficie de revolución, se forma el toro de Angenent.

Otras geodésicas conducen a otras superficies de revolución que permanecen autosimilares bajo el flujo de curvatura media, incluyendo esferas, cilindros, planos y (según evidencia numérica pero no prueba rigurosa) esferas topológicas inmersas con múltiples autointersecciones. [ 1 ] Kleene y Møller (2014) demuestran que las únicas superficies de rotación completamente lisas e incrustadas que permanecen autosimilares bajo el flujo de curvatura media son planos, cilindros, esferas y toros topológicos. Conjeturan con mayor fuerza que el toro de Angenent es el único toro con esta propiedad. [ 4 ]

Aplicaciones

El toro de Angenent puede utilizarse para demostrar la existencia de otros tipos de singularidades del flujo de curvatura media. Por ejemplo, si una superficie con forma de mancuerna , que consiste en un delgado "cuello" cilíndrico que conecta dos grandes volúmenes, puede tener su cuello rodeado por un toro de Angenent disjunto, entonces las dos superficies de revolución permanecerán disjuntas bajo el flujo de curvatura media hasta que una de ellas alcance una singularidad; si los extremos de la mancuerna son lo suficientemente grandes, esto implica que el cuello debe colapsar, separando las dos esferas entre sí, antes de que el toro que lo rodea colapse. [ 1 ] [ 5 ]

Cualquier forma que se mantenga autosimilar pero se contraiga bajo el flujo de curvatura media constituye una solución antigua para dicho flujo, una que puede extrapolarse hacia atrás para siempre. Sin embargo, lo contrario no es cierto. En el mismo artículo en el que publicó el toro de Angenent, Angenent también describió los óvalos de Angenent ; estos no son autosimilares, pero son las únicas curvas cerradas simples en el plano, aparte de un círculo, que proporcionan soluciones antiguas al flujo de acortamiento de curvas . [ 1 ] [ 6 ]

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 Angenent, Sigurd B. (1992), "Donas que se encogen" (PDF) , Ecuaciones de difusión no lineales y sus estados de equilibrio, 3 (Gregynog, 1989) , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol.  7, Boston, MA: Birkhäuser, pp. 21–38 , MR 1167827  .
  2. 1 2 Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media" , Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299 , doi : 10.4310/jdg/1214444099 , hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CFE-3 , MR 1030675 .
  3. ↑ Mantegazza, Carlo (2011), Lecture notes on mean curvature flow , Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, p. 14, doi : 10.1007/978-3-0348-0145-4 , ISBN   978-3-0348-0144-7, MR 2815949 .
  4. ↑ Kleene, Stephen; Møller, Niels Martin (2014), "Autoencogimientos con simetría rotacional", Transactions of the American Mathematical Society , 366 (8): 3943–3963 , arXiv : 1008.1609 , doi : 10.1090/S0002-9947-2014-05721-8 , MR 3206448 .
  5. ↑ Ecker, Klaus (2004), Regularity theory for mean curvature flow , Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 57, Boston, MA: Birkhäuser, p. 29, doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1 , ISBN  0-8176-3243-3, MR 2024995 .
  6. ↑ Daskalopoulos, Panagiota ; Hamilton, Richard ; Sesum, Natasa (2010), "Clasificación de soluciones antiguas compactas para el flujo de acortamiento de curvas" , Journal of Differential Geometry , 84 (3): 455–464 , arXiv : 0806.1757 , Bibcode : 2008arXiv0806.1757D , doi : 10.4310/jdg/1279114297 , MR 2669361 .
  • Toroide de Angenent , visualización realizada por Dongsun Lee del Departamento de Ciencias Matemáticas de UNIST.