Teselado aperiódico

En las matemáticas de las teselaciones , un teselado no periódico es aquel que carece de simetría traslacional . Un conjunto aperiódico de prototeselas es un conjunto de tipos de teselas que pueden formar teselados, pero solo de forma no periódica. Los teselados producidos por uno de estos conjuntos de prototeselas pueden denominarse teselados aperiódicos . ^{[ 1 ]}

Los teselados de Penrose son un ejemplo bien conocido de teselados aperiódicos. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En marzo de 2023, cuatro investigadores, David Smith , Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss , anunciaron la prueba de que la tesela descubierta por David Smith es una monoteca aperiódica , es decir, una solución al problema de Einstein , un problema que busca la existencia de cualquier tesela aperiódica de forma única. ^{[ 4 ]} En mayo de 2023, los mismos autores publicaron una monoteca aperiódica quiral con restricciones similares pero más estrictas. ^{[ 5 ]}

Los teselados aperiódicos sirven como modelos matemáticos para los cuasicristales , sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman ^{[ 6 ],} quien posteriormente ganó el Premio Nobel en 2011. ^{[ 7 ]} Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales aún no se comprende bien.

Se conocen varios métodos para construir teselaciones aperiódicas.

Consideremos un teselado periódico mediante cuadrados unitarios (que se asemeja a un papel cuadriculado infinito ). Ahora, dividimos un cuadrado en dos rectángulos. El teselado resultante no es periódico: no existe ningún desplazamiento distinto de cero que lo deje fijo. Sin embargo, este ejemplo resulta mucho menos interesante que el teselado de Penrose. Para descartar ejemplos tan aburridos, definimos un teselado aperiódico como aquel que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.

Un teselado se denomina aperiódico si su envoltura contiene únicamente teselados no periódicos. La envoltura de un teselado${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{d}}$contiene todas las traslaciones T + x de T , junto con todos los teselados que pueden aproximarse mediante traslaciones de T. Formalmente, este es el cierre del conjunto${\displaystyle \{T+x\,:\,x\in \mathbb {R} ^{d}\}}$en la topología local. ^{[ 8 ]} En la topología local (respectivamente, la métrica correspondiente) hay dos teselaciones.${\displaystyle \varepsilon }$-cerrar si están de acuerdo en una bola de radio${\displaystyle 1/\varepsilon }$alrededor del origen (posiblemente después de desplazar uno de los mosaicos en una cantidad menor que${\displaystyle \varepsilon }$).

Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, consideremos un teselado unidimensional T de la línea que se ve como ... aaaaaabaaaaa ... donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos. Por lo tanto, el teselado T consta de infinitas copias de a y una copia de b (con centro 0, por ejemplo). Ahora bien, todas las traslaciones de T son los teselados con un b en algún lugar y un a en otro. La secuencia de teselados donde b está centrado en${\displaystyle 1,2,4,\ldots ,2^{n},\ldots }$converge – en la topología local – al teselado periódico que consiste en un s solamente. Por lo tanto, T no es un teselado aperiódico, ya que su envoltura contiene el teselado periódico ... aaaaaa ....

Para teselaciones bien comportadas (por ejemplo, teselaciones de sustitución con un número finito de patrones locales) se cumple: si una teselación no es periódica y es repetitiva (es decir, cada parche aparece de forma uniformemente densa en toda la teselación), entonces es aperiódica. ^{[ 8 ]}

Se han observado mosaicos aperiódicos en decoraciones islámicas en lugares como el santuario Darb-i Imam en Irán. ^{[ 9 ]} Se cree que pudieron haber sido construidos utilizando técnicas de mosaico girih aperiódico similares a las del mosaico Penrose. ^{[ 9 ]}

La primera aparición específica de teselaciones aperiódicas surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang intentó determinar si el problema del dominó es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototiles admite una teselación del plano. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de teselas que no pueden teselar el plano y los conjuntos de teselas que lo teselan periódicamente; con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si todo conjunto finito de prototiles que admite una teselación del plano también admite una teselación periódica. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototiles a partir del cual demostró que el problema de la teselación no es decidible. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requería 20 426 teselas de Wang. Posteriormente, Berger redujo su conjunto a 104, y Hans Läuchli encontró posteriormente un conjunto aperiódico que requería solo 40 teselas de Wang. ^{[ 12 ]} Un conjunto más pequeño, de seis teselas aperiódicas (basadas en teselas de Wang), fue descubierto por Raphael M. Robinson en 1971. ^{[ 13 ]} Roger Penrose descubrió tres conjuntos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de teselas necesarias a dos, y Robert Ammann descubrió varios conjuntos nuevos en 1977. ^{[ 14 ]} El número de teselas requeridas fue reducido a una en 2023 por David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 15 ]}

Los teselados de Penrose aperiódicos pueden generarse no solo mediante un conjunto aperiódico de prototeselados, sino también mediante una sustitución y un método de corte y proyección . Tras el descubrimiento de los cuasicristales, los teselados aperiódicos fueron objeto de un intenso estudio por parte de físicos y matemáticos. El método de corte y proyección de N. G. de Bruijn para los teselados de Penrose resultó ser, con el tiempo, un ejemplo de la teoría de los conjuntos de Meyer . ^{[ 16 ] [ 17 ]} Actualmente existe una gran cantidad de literatura sobre teselados aperiódicos. ^{[ 8 ]}

Un einstein ( del alemán : ein Stein , una piedra) es un mosaico aperiódico que utiliza una sola forma. El primer mosaico de este tipo se descubrió en 2010: el mosaico Socolar-Taylor , que, sin embargo, no está conectado en una sola pieza. En 2023 se descubrió un mosaico conectado, que utiliza una forma denominada "sombrero". ^{[ 18 ]}

Se conocen algunas construcciones de teselaciones aperiódicas. Algunas se basan en familias infinitas de conjuntos aperiódicos de teselas. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Las teselaciones encontradas hasta ahora se construyen principalmente de pocas maneras, sobre todo imponiendo algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de ello, la indecidibilidad del problema del dominó garantiza que deben existir infinitos principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de teselas para los que no se puede demostrar su aperiodicidad.

Sin embargo, existen tres principios de construcción que se han utilizado predominantemente para conjuntos finitos de prototipos hasta 2023: ^{[ 21 ]}

• reglas de coincidencia,
• reglas de sustitución y expansión y
• el método de cortar y proyectar.

Para algunos teselados, solo se conoce una de las construcciones que produce ese teselado. Otros pueden construirse mediante los tres métodos clásicos, por ejemplo, los teselados de Penrose . ^{[ 21 ]}

Goodman-Straus demostró que todos los teselados generados por reglas de sustitución y que satisfacen una condición técnica pueden generarse mediante reglas de emparejamiento. La condición técnica es leve y suele cumplirse en la práctica. Se requiere que las teselas admitan un conjunto de aristas hereditarias tal que el teselado de sustitución sea arista-hermana-a-arista . ^{[ 19 ]}

Teselaciones jerárquicas aperiódicas mediante emparejamiento

Para que un teselado sea correcto, las copias congruentes de las teselas originales deben cubrir todo el plano euclidiano sin solapamientos (excepto en los límites) y sin dejar piezas sin cubrir. Por lo tanto, los límites de las teselas que forman el teselado deben coincidir geométricamente. Esto se cumple generalmente para todos los teselados, tanto aperiódicos como periódicos. En ocasiones, esta condición de coincidencia geométrica es suficiente para que un conjunto de teselas sea aperiódico; este es el caso, por ejemplo, de los teselados de Robinson, que se analizan más adelante.

En ocasiones , se requieren reglas de coincidencia adicionales . Estas suelen implicar colores o marcas que deben coincidir en varias fichas, incluso en los límites. Las fichas Wang suelen requerir este tipo de reglas adicionales.

En algunos casos, ha sido posible reemplazar las reglas de emparejamiento por condiciones de emparejamiento geométrico modificando los prototeselos en sus límites. El teselado de Penrose (P1) consta originalmente de cuatro prototeselos junto con algunas reglas de emparejamiento. Uno de los cuatro teselos es un pentágono. Este prototeselo pentagonal puede reemplazarse por tres formas pentagonales distintas con protuberancias y hendiduras adicionales en el límite, creando así tres teselos distintos. Junto con los otros tres prototeselos con límites adecuadamente adaptados, se obtiene un conjunto de seis prototeselos que, en esencia, crean los mismos teselados aperiódicos que los cuatro teselos originales, pero para estos seis teselos no se necesitan reglas de emparejamiento adicionales; la condición de emparejamiento geométrico es suficiente.

Cabe señalar también que los perfiles de Robinson que se muestran a continuación vienen equipados con marcas para facilitar el reconocimiento visual de la estructura, pero estas marcas no añaden más reglas de coincidencia a las piezas, ya que estas ya están establecidas mediante los límites geométricos.

Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un teselado tiene una estructura jerárquica; sin embargo, es evidente que los teselados de sustitución la poseen, al igual que los teselados de Berger, Knuth , Läuchli , Robinson y Ammann . Al igual que el término "teselado aperiódico", el término " teselado jerárquico aperiódico " es una forma abreviada conveniente que significa algo así como "un conjunto de teselas que solo admite teselados no periódicos con una estructura jerárquica".

En el caso de los teselados aperiódicos, tanto si intervienen reglas de emparejamiento adicionales como si no, las condiciones de emparejamiento imponen una estructura jerárquica a los teselados que, a su vez, imposibilita las estructuras periódicas.

Cada uno de estos conjuntos de teselas, en cualquier teselado que admitan, impone una estructura jerárquica particular. (En muchos ejemplos posteriores, esta estructura puede describirse como un sistema de teselado por sustitución; esto se describe más adelante). Ningún teselado admitido por dicho conjunto de teselas puede ser periódico, simplemente porque ninguna traslación individual puede dejar invariante toda la estructura jerárquica. Consideremos las teselas de Robinson de 1971:

Cualquier recubrimiento con estas teselas solo puede mostrar una jerarquía de redes cuadradas: el centro de cualquier cuadrado naranja es también una esquina de un cuadrado naranja más grande, y así sucesivamente hasta el infinito. Cualquier traslación debe ser menor que cierto tamaño del cuadrado, por lo que no puede dejar ningún recubrimiento invariante.

Robinson demuestra que estas teselas deben formar esta estructura de forma inductiva; en efecto, las teselas deben formar bloques que, a su vez, encajen entre sí como versiones más grandes de las teselas originales, y así sucesivamente. Esta idea —la de encontrar conjuntos de teselas que solo admiten estructuras jerárquicas— se ha utilizado en la construcción de la mayoría de los conjuntos de teselas aperiódicas conocidos hasta la fecha.

Sin embargo, el teselado producido de esta manera no es único, ni siquiera hasta las isometrías del grupo euclidiano , por ejemplo, traslaciones y rotaciones . Un teselado completo del plano construido a partir de las teselas de Robinsion puede o no tener fallas (también llamadas corredores ) que se extienden hasta el infinito en hasta cuatro brazos y hay opciones adicionales que permiten la codificación de palabras infinitas de Σ ^ω para un alfabeto Σ de hasta cuatro letras. ^{[ 14 ]} En resumen, hay incontables teselados diferentes no relacionados por isometrías euclidianas, todos ellos necesariamente no periódicos, que pueden surgir de las teselas de Robinsion.

Sustituciones

Los sistemas de teselado por sustitución constituyen una rica fuente de teselados aperiódicos. Se dice que un conjunto de teselas que fuerza la aparición de una estructura de sustitución impone dicha estructura. Por ejemplo, las teselas de silla que se muestran a continuación admiten una sustitución, y una parte de un teselado por sustitución se muestra a la derecha. Estos teselados por sustitución son necesariamente no periódicos, exactamente de la misma manera que se describió anteriormente, pero la tesela de silla en sí no es aperiódica; es fácil encontrar teselados periódicos a partir de teselas de silla sin marcar que satisfacen las condiciones de correspondencia geométrica.

Sin embargo, las teselas que se muestran a continuación obligan a que surja la estructura de sustitución de sillas, y por lo tanto son aperiódicas. ^{[ 22 ]}

Las teselas de Penrose, y poco después los diversos conjuntos de teselas de Amman , ^{[ 23 ]} fueron el primer ejemplo basado en forzar explícitamente la aparición de una estructura de teselado de sustitución. Joshua Socolar , ^{[ 24 ] [ 25 ]} Roger Penrose , ^{[ 26 ]} Ludwig Danzer , ^{[ 27 ]} y Chaim Goodman-Strauss ^{[ 22 ]} han encontrado varios conjuntos posteriores. Shahar Mozes dio la primera construcción general, mostrando que todo producto de sistemas de sustitución unidimensionales puede ser impuesto por reglas de coincidencia. ^{[ 20 ]} Charles Radin encontró reglas que imponen el sistema de teselado de sustitución de Conway-pinwheel . ^{[ 28 ]} En 1998, Goodman-Strauss demostró que se pueden encontrar reglas de coincidencia locales para forzar cualquier estructura de teselado de sustitución, sujeta a algunas condiciones leves. ^{[ 19 ]}

Método de corte y proyección

Los recubrimientos no periódicos también pueden obtenerse mediante la proyección de estructuras de mayor dimensión en espacios de menor dimensión, y en ciertas circunstancias pueden existir teselas que imponen esta estructura no periódica y, por lo tanto, son aperiódicas. Las teselas de Penrose son el primer y más famoso ejemplo de esto, como se señaló por primera vez en el trabajo pionero de de Bruijn . ^{[ 29 ]} Aún no existe una caracterización completa (algebraica) de los recubrimientos de corte y proyección que puedan imponerse mediante reglas de correspondencia, aunque se conocen numerosas condiciones necesarias o suficientes. ^{[ 30 ]}

Los recubrimientos aperiódicos se consideraron artefactos matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de una fase de una aleación de aluminio-manganeso que producía un difractograma nítido con una simetría quíntuple inequívoca ^{[ 6 ]} , por lo que debía tratarse de una sustancia cristalina con simetría icosaédrica. En 1975, Robert Ammann ya había extendido la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En estos casos, el término «recubrimiento» se entiende como «rellenar el espacio». Los dispositivos fotónicos se construyen actualmente como secuencias aperiódicas de diferentes capas, siendo así aperiódicos en una dirección y periódicos en las otras dos. Las estructuras cuasicristalinas de Cd-Te parecen consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en un patrón planar aperiódico. A veces, se produce un mínimo energético o un máximo de entropía para dichas estructuras aperiódicas. Steinhardt ha demostrado que los decágonos superpuestos de Gummelt permiten la aplicación de un principio extremal y, por lo tanto, proporcionan el vínculo entre las matemáticas del teselado aperiódico y la estructura de los cuasicristales. ^{[ 36 ]} Se ha observado que las ondas de Faraday forman grandes parches de patrones aperiódicos. ^{[ 37 ]} La física de este descubrimiento ha reavivado el interés en las estructuras y frecuencias inconmensurables, sugiriendo vincular los teselados aperiódicos con fenómenos de interferencia . ^{[ 38 ]}

El término aperiódico se ha utilizado de diversas maneras en la literatura matemática sobre teselaciones (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes). Con respecto a las teselaciones, el término aperiódico se usaba a veces como sinónimo de no periódico. Una teselación no periódica es simplemente aquella que no está determinada por ninguna traslación no trivial. En ocasiones, el término describía —implícita o explícitamente— una teselación generada por un conjunto aperiódico de prototeselas. Con frecuencia, el término aperiódico se usaba simplemente de forma vaga para describir las estructuras en cuestión, refiriéndose a sólidos físicos aperiódicos, es decir, cuasicristales, o a algo no periódico con algún tipo de orden global. ^{[ 39 ]}

El uso del término «teselado» también resulta problemático, a pesar de su definición sencilla. Por ejemplo, no existe un único teselado de Penrose : los rombos de Penrose admiten infinitos teselados (que no se pueden distinguir localmente). Una solución común consiste en utilizar los términos con cuidado en la redacción técnica, pero reconociendo el uso generalizado de la terminología informal.

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