Meyer estableció

En matemáticas, un conjunto de Meyer o casi retículo es un conjunto relativamente denso X de puntos en el plano euclidiano o en un espacio euclidiano de dimensión superior , tal que su diferencia de Minkowski consigo mismo es uniformemente discreta . Los conjuntos de Meyer tienen varias caracterizaciones equivalentes; reciben su nombre de Yves Meyer , quien los introdujo y estudió en el contexto de la aproximación diofántica. Actualmente, los conjuntos de Meyer son más conocidos como modelo matemático para los cuasicristales . Sin embargo, el trabajo de Meyer precede al descubrimiento de los cuasicristales en más de una década y estuvo totalmente motivado por cuestiones de teoría de números. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un subconjunto X de un espacio métrico es relativamente denso si existe un número r tal que todos los puntos de X están a una distancia r de X , y es uniformemente discreto si existe un número ε tal que no hay dos puntos de X a una distancia ε entre sí. Un conjunto que es a la vez relativamente denso y uniformemente discreto se denomina conjunto de Delone . Cuando X es un subconjunto de un espacio vectorial , su diferencia de Minkowski X − X es el conjunto { x − y | x , y en X } de diferencias de pares de elementos de X. ^{[ 3 ]}         

Con estas definiciones, un conjunto de Meyer puede definirse como un conjunto relativamente denso X para el cual X − X es uniformemente discreto. Equivalentemente, es un conjunto de Delone para el cual X − X es Delone, ^{[ 1 ]} o un conjunto de Delone X para el cual existe un conjunto finito F con X − X ⊂ X + F ^{[ 4 ].}          

Algunas caracterizaciones equivalentes adicionales involucran el conjunto

${\displaystyle X^{\epsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leq \varepsilon {\text{ para todo }}x\in X\}}$

definido para un X y ε dados , y aproximando (cuando ε tiende a cero) la definición de la red recíproca de una red . Un conjunto relativamente denso X es un conjunto de Meyer si y solo si

• Para todo ε  >  0, X ^ε es relativamente denso, o equivalentemente
• Existe un ε con 0  < ε < 1/2 para el cual X ^ε es relativamente denso. ^{[ 1 ]}   

Un carácter de un subconjunto aditivamente cerrado de un espacio vectorial es una función que mapea el conjunto al círculo unitario en el plano de los números complejos , de tal manera que la suma de dos elementos cualesquiera se mapea al producto de sus imágenes. Un conjunto X es un conjunto armónico si, para cada carácter χ en la clausura aditiva de X y cada ε  >  0, existe un carácter continuo en todo el espacio que ε -aproxima a χ . Entonces, un conjunto relativamente denso X es un conjunto de Meyer si y solo si es armónico. ^{[ 1 ]}

Los conjuntos de Meyer incluyen

• Los puntos de cualquier red
• Los vértices de cualquier teselado rómbico de Penrose ^{[ 5 ]}
• La suma de Minkowski de otro conjunto de Meyer con cualquier conjunto finito no vacío ^{[ 4 ]}
• Cualquier subconjunto relativamente denso de otro conjunto de Meyer ^{[ 6 ]}