Curva diferenciable

La geometría diferencial de curvas es la rama de la geometría que se ocupa de las curvas suaves en el plano y en el espacio euclidiano mediante métodos de cálculo diferencial e integral .

Se han investigado exhaustivamente muchas curvas específicas mediante el enfoque sintético . La geometría diferencial adopta otro enfoque: las curvas se representan de forma parametrizada , y sus propiedades geométricas y diversas magnitudes asociadas, como la curvatura y la longitud de arco , se expresan mediante derivadas e integrales utilizando el cálculo vectorial . Una de las herramientas más importantes para analizar una curva es el marco de Frenet , un marco móvil que proporciona un sistema de coordenadas en cada punto de la curva que se adapta mejor a la curva en las proximidades de dicho punto.

La teoría de curvas es mucho más simple y de alcance más limitado que la teoría de superficies y sus generalizaciones de dimensiones superiores, ya que una curva regular en un espacio euclidiano carece de geometría intrínseca. Cualquier curva regular puede parametrizarse mediante la longitud de arco (la parametrización natural ). Desde el punto de vista de una partícula puntual teórica sobre la curva que desconoce el espacio circundante, todas las curvas parecerían iguales. Las distintas curvas espaciales se distinguen únicamente por su curvatura y torsión. Cuantitativamente, esto se mide mediante los invariantes geométrico-diferenciales denominados curvatura y torsión de la curva. El teorema fundamental de las curvas afirma que el conocimiento de estos invariantes determina completamente la curva.

Una curva C ^r paramétrica o una parametrización C r ^es una función con valores vectoriales .$${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}$$ que es r veces continuamente diferenciable (es decir, las funciones componentes de γ son r veces continuamente diferenciables), donde${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$y I es un intervalo no vacío de números reales. La imagen de la curva paramétrica es${\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. La curva paramétrica γ y su imagen γ [ I ] deben distinguirse porque un subconjunto dado de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ can be the image of many distinct parametric curves. The parameter t in γ(t) can be thought of as representing time, and γ the trajectory of a moving point in space. When I is a closed interval [a, b], γ(a) is called the starting point and γ(b) is the endpoint of γ. If the starting and the end points coincide (that is, γ(a) = γ(b)), then γ is a closed curve or a loop. To be a C^r-loop, the function γ must be r-times continuously differentiable and satisfy γ^(k)(a) = γ^(k)(b) for 0 ≤ k ≤ r.

The parametric curve is simple if $${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$$ is injective. It is analytic if each component function of γ is an analytic function, that is, it is of class C^ω.

The curve γ is regular of orderm (where m ≤ r) if, for every t ∈ I, $${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}$$ is a linearly independent subset of ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠. In particular, a parametric C¹-curve γ is regular if and only if γ′(t) ≠ 0 for every t ∈ I.

Dada la imagen de una curva paramétrica, existen diversas parametrizaciones de la misma. La geometría diferencial busca describir las propiedades de las curvas paramétricas que permanecen invariantes bajo ciertas reparametrizaciones. Es necesario definir una relación de equivalencia adecuada sobre el conjunto de todas las curvas paramétricas. Las propiedades de geometría diferencial de una curva paramétrica (como su longitud, su marco de Frenet y su curvatura generalizada) permanecen invariantes bajo reparametrización y, por lo tanto, son propiedades de la propia clase de equivalencia . Estas clases de equivalencia se denominan curvas C ^r y constituyen objetos centrales de estudio en la geometría diferencial de curvas.

Dos parámetros${\displaystyle C^{r}}$-curvas,${\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$Se dice que son equivalentes si y solo si existe una aplicación biyectiva C ^r.${\displaystyle \varphi:I_{1}\a I_{2}}$de tal manera que $${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$$ y $${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}$$Se dice entonces que γ ₂ es unareparametrizaciónde γ ₁ .

La reparametrización define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas paramétricas C ^r de clase C ^r . La clase de equivalencia de esta relación es simplemente una curva C ^r .

Se puede definir una relación de equivalencia aún más fina de curvas C ^r paramétricas orientadas exigiendo que φ satisfaga φ ′( t ) > 0 .

Las curvas C ^r paramétricas equivalentes tienen la misma imagen, e incluso las curvas C ^r paramétricas orientadas equivalentes recorren la imagen en la misma dirección.

La longitud ℓ de una curva C ^{1 paramétrica}${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} se define como $${\displaystyle \ell ~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$$ La longitud de una curva paramétrica es invariante bajo reparametrización y, por lo tanto, es una propiedad geométrica diferencial de la curva paramétrica.

De manera similar, la longitud de la curva desde γ ( a ) hasta γ ( t ) puede expresarse como una función de t , con s  : [ a , b ] → [0, ℓ ] definida como

$${\displaystyle s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$$

Por la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo ,

$${\displaystyle s'(t)~{=}~\left\|\gamma '(t)\right\|}$$

If γ is a regular C¹-curve, i.e. γ' is everywhere non-zero, then s(t) is strictly increasing and thus has an inverse, t(s). That inverse can be used to define –γ, a re-parametrization of γ:

$${\displaystyle {\bar {\gamma }}(s)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\gamma (t(s))}$$

Then by the chain rule and the inverse function rule, for each s and its corresponding t = t(s), the first derivative of –γ is the unit vector that points in the same direction as the first derivative of γ:

$${\displaystyle {\bar {\gamma }}'(s)~=~{\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$

Geometrically, this implies that for any two values of s, s₀ < s₁, the distance that s travels from s₀ to s₁ is the same as the arc-length distance that –γ travels from –γ(s₀) to –γ(s₁). Alternatively, thinking of t and s as time parameters, both γ(t) and –γ(s) describe motion along the same path, but the motion of –γ(s) is at a constant unit speed.

Because of this, –γ is called an arc-length parametrization, natural parametrization, unit-speed parametrization. The parameter s(t) is called the natural parameter of γ.

For a given parametric curve γ, the natural parametrization is unique up to a shift of parameter.

If γ is also a C² function, then so are s and –γ. Using the chain rule and the inverse function rule, their second derivatives can also be expressed in terms of derivatives of γ.

$${\displaystyle s''(t)~{=}~{\frac {\gamma '(t)\cdot \gamma ''(t)\;}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$$${\displaystyle {\bar {\gamma }}''(s)~=~{\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}-\left({\frac {\gamma ''(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}\right){\frac {\gamma '(t)}{\left\|\gamma '(t)\right\|}}}$$

Así, – γ ′ ′ ( s ) es la componente perpendicular de γ ′ ′ ( t ) / ‖ γ ′ ( t ) ‖ ² con respecto al vector tangente γ ′ ( t ) , y por lo tanto – γ ′ ′ ( s ) es perpendicular a – γ ′ ( s ) .

A menudo resulta difícil o imposible expresar la parametrización de longitud de arco, – γ , en forma cerrada , incluso cuando γ se da en forma cerrada. Esto suele ocurrir cuando es difícil o imposible expresar s ( t ) o su inversa t ( s ) en forma cerrada. Sin embargo, las primeras y segundas derivadas de una parametrización de longitud de arco solo pueden expresarse en términos de las primeras y segundas derivadas de una parametrización general. Esto permite, con frecuencia, que algunas propiedades de geometría diferencial , como la curvatura , definidas en términos de una parametrización de longitud de arco, puedan expresarse en forma cerrada cuando existe una parametrización general que sí puede expresarse en forma cerrada.

La cantidad $${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$$ A veces se la denomina energía o acción de la curva; este nombre se justifica porque las ecuaciones geodésicas son las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para esta acción.

Ejemplo de espiral logarítmica

Una espiral logarítmica puede parametrizarse como $${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(t)=ae^{kt}(\cos {t},\sin {t}).}$$ El primer gráfico de la derecha muestra una espiral logarítmica para valores de t de 0 a 13, un poco más de 4π , y con parámetros a = 1 y k = ln 2 / 2π . Con cada intervalo de 2π de t, la espiral da una vuelta completa y se aleja el doble del origen.

La espiral se muestra en segmentos alternos de color azul y rojo, correspondiendo cada segmento a una unidad de longitud t . Por lo tanto, se necesitan 2π , o un poco más de 6 segmentos , para que la espiral complete una vuelta. Los segmentos se hacen más largos a medida que t aumenta.

El gráfico también muestra los vectores de primera y segunda derivada de γ en incrementos de π de t :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}'(t)=ae^{kt}\left(k(\cos {t},\sin {t})+(-\sin {t},\cos {t})\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}''(t)=ae^{kt}\left((k^{2}-1)(\cos {t},\sin {t})+2k(-\sin {t},\cos {t})\right).}$$

Los vectores de primera derivada, en naranja, son tangentes a la espiral y forman un ángulo de aproximadamente 83,7047 grados con el vector radial, γ (t) , que es un ángulo complementario al ángulo de cabeceo de aproximadamente 6,2953 grados.

Los vectores de segunda derivada, representados en verde, también forman un ángulo de aproximadamente 83,7047 grados con los vectores de primera derivada. Con cada vuelta de la espiral, tanto la primera como la segunda derivada duplican su longitud.

El segundo gráfico muestra la misma espiral con su parametrización de longitud de arco, – γ (s) . La longitud de arco de la primera vuelta completa es de aproximadamente 9,1197. Para la segunda vuelta completa, la longitud de arco es de aproximadamente 18,2394, exactamente el doble.

Algunas diferencias con el primer gráfico incluyen:

• Los vectores tangentes de la primera derivada son todos vectores unitarios, ‖ – γ ′ (s) ‖ = 1 .
• Los segmentos rojos y azules de la espiral, que representan tramos unitarios de s , tienen todos la misma longitud y una longitud de arco de 1.
• Los vectores de segunda derivada son perpendiculares a sus vectores tangentes.
• Los vectores de segunda derivada, que son los vectores de curvatura , se acortan a medida que aumenta el valor de s; cada vuelta completa de la espiral reduce la longitud a la mitad.

Para hallar la parametrización de longitud de arco a partir de la parametrización estándar, γ (t) , la magnitud de la primera derivada es $${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}},}$$ la función de longitud de arco, desde el punto de referencia γ ( t ₀ ) , y sus derivadas son $${\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&={\frac {\left|a\right|{\sqrt {k^{2}+1}}}{k}}(e^{kt}-e^{kt_{0}})\\s'(t)&=\left|a\right|e^{kt}{\sqrt {k^{2}+1}}=\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|\\s''(t)&=\left|a\right|e^{kt}k{\sqrt {k^{2}+1}}=k\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|.\\\end{aligned}}}$$ La inversa de s ( t ) y sus derivadas son $${\displaystyle {\begin{aligned}t(s)&={\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\t'(s)&={\frac {1}{sk+e^{kt_{0}}|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}={\frac {1}{e^{kt(s)}|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}={\frac {1}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|}}\\t''(s)&={\frac {-k}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

Entonces, la parametrización de la espiral en función de la longitud del arco es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)&={\boldsymbol {\gamma }}(t(s))=ae^{kt(s)}(\cos {(t(s))},\sin {(t(s))})\\&=\mathrm {sign{(a)}} {\left({\frac {sk}{\sqrt {k^{2}+1}}}+e^{kt_{0}}\right)}\\&\quad \quad \left(\cos {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)},\right.\\&\quad \quad \quad \left.\sin {\left({\frac {1}{k}}\ln {\left({\frac {sk}{|a|{\sqrt {k^{2}+1}}}}+e^{kt_{0}}\right)}\right)}\right),\\\end{aligned}}}$$ con primeras y segundas derivadas con respecto a s de $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)&={\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))\right\|}}\\{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)&={\boldsymbol {\gamma }}''(t(s))~t'(s)^{2}+{\boldsymbol {\gamma }}'(t(s))~t''(s)\\&={\frac {a\left(-(\cos {t(s)},\sin {t(s)})+k(-\sin {t(s)},\cos {t(s)})\right)}{\left|a\right|^{2}e^{kt(s)}(k^{2}+1)}}~.\\\end{aligned}}}$$

La segunda derivada es el vector de curvatura para la espiral y su magnitud, la curvatura κ , es $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa (s)&=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|\\&={\frac {1}{\left|a\right|e^{kt(s)}{\sqrt {k^{2}+1}}}}~.\\\end{aligned}}}$$

A Frenet frame is a moving reference frame of northonormal vectors e_i(t) that is used to describe a curve locally at each point γ(t). It is the main tool in the differential geometric treatment of curves because it is far easier and more natural to describe local properties (e.g. curvature, torsion) in terms of a local reference system than using a global one such as Euclidean coordinates.

Given a Cⁿ⁺¹-curve γ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ that is regular of order n the Frenet frame for the curve is the set of orthonormal vectors $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots,\mathbf {e} _{n}(t)}$$ called Frenet vectors. They are constructed from the derivatives of γ(t) using the Gram–Schmidt orthogonalization algorithm with $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[1ex]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&\mathbf {\overline {e}} _{j}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}$$

The real-valued functions χ_i(t) are called generalized curvatures and are defined as $${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$$

The Frenet frame and the generalized curvatures are invariant under reparametrization and are therefore differential geometric properties of the curve. For curves in ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠, χ₁(t) is the curvature and χ₂(t) is the torsion.

The first three Frenet vectors and generalized curvatures can be visualized in three-dimensional space. They have additional names and more semantic information attached to them.

Dadas n − 1 funciones: $${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$$ Entonces existe una única curva C ^{n +1} γ (salvo transformaciones que utilicen el grupo euclidiano ) que es regular de orden n y tiene las siguientes propiedades: $${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$$ donde el conjunto $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$$ es el marco de Frenet para la curva.

Al proporcionar adicionalmente un inicio t ₀ en I , un punto de partida p ₀ en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y un marco de Frenet ortonormal positivo inicial { e ₁ , ..., e _{n −1} } con $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$$ Las transformaciones euclidianas se eliminan para obtener una curva única γ .

Las fórmulas de Frenet-Serret son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La solución es el conjunto de vectores de Frenet que describen la curva especificada por las funciones de curvatura generalizadas χ _i .

Una curva de Bertrand es una curva regular en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con la propiedad adicional de que hay una segunda curva en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de tal manera que los vectores normales principales a estas dos curvas sean idénticos en cada punto correspondiente. En otras palabras, si γ ₁ ( t ) y γ ₂ ( t ) son dos curvas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$De tal manera que para cualquier t , las dos normales principales N ₁ ( t ), N ₂ ( t ) son iguales, entonces γ ₁ y γ ₂ son curvas de Bertrand, y γ ₂ se denomina la compañera de Bertrand de γ ₁ . Podemos escribir γ ₂ ( t ) = γ ₁ ( t ) + r N ₁ ( t ) para alguna constante r . ^{[ 4 ]}

Según el problema 25 de "Geometría diferencial: curvas, superficies y variedades" de Kühnel, también es cierto que dos curvas de Bertrand que no se encuentran en el mismo plano bidimensional se caracterizan por la existencia de una relación lineal a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1, donde κ ( t ) y τ ( t ) son la curvatura y la torsión de γ ₁ ( t ) y a y b son constantes reales con a ≠ 0. [ ^{5 ] Además} , el producto de las torsiones de un par de curvas de Bertrand es constante. ^{[ 6 ]} Si γ ₁ tiene más de una curva de Bertrand correspondiente, entonces tiene infinitas. Esto ocurre solo cuando γ ₁ es una hélice circular. ^{[ 4 ]}

• Lista de temas sobre curvas

• Kreyszig, Erwin (1991). Geometría diferencial . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.El capítulo II ofrece un tratamiento clásico de la teoría de curvas en 3 dimensiones.