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Articulo de referencia

Área

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El área es la medida del tamaño de una región en una superficie . El área de una región plana o área plana se refiere al área de una forma o lámina plana , mientras que el área de superficie se refiere al área de una superficie abierta o el límite de un objeto tridimensional . El área puede entenderse como la cantidad de material con un espesor dado que sería necesario para fabricar un modelo de la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. [ 1 ] Es el análogo bidimensional de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o el volumen de un sólido (un concepto tridimensional). Dos regiones diferentes pueden tener la misma área (como en la cuadratura del círculo ); por sinécdoque , "área" a veces se usa para referirse a la región, como en un " área poligonal ".

El área de una figura se puede medir comparándola con cuadrados de tamaño fijo. [ 2 ] En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m² ) , que es el área de un cuadrado cuyos lados miden un metro . [ 3 ] Una figura con un área de tres metros cuadrados tendría la misma área que tres cuadrados de ese tamaño. En matemáticas , el cuadrado unitario se define con un área de uno, y el área de cualquier otra figura o superficie es un número real adimensional .

Existen varias fórmulas bien conocidas para calcular el área de figuras simples como triángulos , rectángulos y círculos . Mediante estas fórmulas, se puede hallar el área de cualquier polígono dividiéndolo en triángulos . [ 4 ] Para figuras con contornos curvos, generalmente se requiere cálculo para determinar el área. En definitiva, el problema de determinar el área de figuras planas fue una de las principales motivaciones para el desarrollo histórico del cálculo . [ 5 ]

Para una forma sólida como una esfera , un cono o un cilindro, el área de su superficie límite se llama área de superficie . [ 1 ] [ 6 ] [ 7 ] Los antiguos griegos calcularon fórmulas para las áreas de superficie de formas simples , pero el cálculo del área de superficie de una forma más compleja generalmente requiere cálculo multivariable .

El área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su importancia obvia en geometría y cálculo, el área está relacionada con la definición de determinantes en álgebra lineal y es una propiedad básica de las superficies en geometría diferencial . [ 8 ] En análisis , el área de un subconjunto del plano se define usando la medida de Lebesgue , [ 9 ] aunque no todo subconjunto es medible si se supone el axioma de elección. [ 10 ] En general, el área en matemáticas superiores se considera un caso especial de volumen para regiones bidimensionales. [ 1 ]

El área se puede definir mediante axiomas, definiéndola como una función de un conjunto de ciertas figuras planas en relación con el conjunto de los números reales. Se puede demostrar que dicha función existe.

Definición formal

Un enfoque para definir qué se entiende por "área" es a través de axiomas . "Área" se puede definir como una función de una colección M de tipos especiales de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de los números reales, que satisface las siguientes propiedades: [ 11 ]

  • Para todo S en M , a ( S ) ≥ 0 .
  • Si S y T están en M , entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T , y también a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
  • Si S y T están en M con S ⊆ T , entonces T − S está en M y a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
  • Si un conjunto S está en M y S es congruente con T, entonces T también está en M y a ( S ) = a ( T ) .
  • Todo rectángulo R está en M. Si el rectángulo tiene longitud h y anchura k, entonces a ( R ) = hk .
  • Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T. Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, S ⊆ Q ⊆ T. Si hay un número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas esas regiones escalonadas S y T , entonces a ( Q ) = c .

Se puede demostrar que dicha función de área realmente existe. [ 12 ]

Unidades

Un cuadrado hecho de tubería de PVC sobre césped.
Un cuadrante de un metro cuadrado hecho de tubería de PVC.

Cada unidad de longitud tiene una unidad de área correspondiente, a saber, el área de un cuadrado con la longitud de lado dada. Así, las áreas se pueden medir en metros cuadrados (m² ) , centímetros cuadrados (cm² ) , milímetros cuadrados (mm² ) , kilómetros cuadrados (km² ) , pies cuadrados (ft² ) , yardas cuadradas (yd² ) , millas cuadradas (mi² ) , etc. [ 13 ] Algebraicamente, estas unidades pueden considerarse como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.

La unidad SI de área es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI . [ 3 ]

Conversiones

Un diagrama que muestra el factor de conversión entre diferentes áreas.
Aunque hay 10  mm en 1  cm, hay 100  mm 2 en 1  cm 2 .

Cálculo del área de un cuadrado cuya longitud y anchura son de 1 metro:

1 metro × 1 metro = 1  m²

y así, un rectángulo con lados diferentes (por ejemplo, de 3 metros de largo y 2 metros de ancho) tiene un área en unidades cuadradas que se puede calcular como:

3 metros × 2 metros = 6  m² . Esto equivale a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son :

  • 1 kilómetro cuadrado = 1.000.000 metros cuadrados
  • 1 metro cuadrado = 10.000 centímetros cuadrados = 1.000.000 milímetros cuadrados
  • 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

Unidades no métricas

En unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.

1 pie = 12 pulgadas ,

La relación entre pies cuadrados y pulgadas cuadradas es

1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,

donde 144 = 12 2 = 12 × 12. De manera similar:

  • 1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados
  • 1 milla cuadrada = 3.097.600 yardas cuadradas = 27.878.400 pies cuadrados

Además, los factores de conversión incluyen:

  • 1 pulgada cuadrada = 6,4516 centímetros cuadrados
  • 1 pie cuadrado = 0,092903,04 metros cuadrados
  • 1 yarda cuadrada = 0,836 127 36 metros cuadrados
  • 1 milla cuadrada = 2.589.988.110.336 kilómetros cuadrados

Otras unidades, incluidas las históricas

Existen otras unidades comunes para medir el área. El área fue la unidad original de área en el sistema métrico , con:

  • 1 área = 100 metros cuadrados

Aunque el área ha caído en desuso, la hectárea todavía se usa comúnmente para medir terrenos: [ 13 ]

  • 1 hectárea = 100 áreas = 10.000 metros cuadrados = 0,01 kilómetros cuadrados

Otras unidades métricas de área poco comunes incluyen la tétrada , la hectárea y la miríada .

El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde

  • 1 acre = 4.840 yardas cuadradas = 43.560 pies cuadrados.

Un acre equivale aproximadamente al 40% de una hectárea.

A escala atómica, el área se mide en unidades de barns , de manera que: [ 13 ]

  • 1 granero = 10 −28 metros cuadrados.

El granero se usa comúnmente para describir el área de sección transversal de interacción en física nuclear . [ 13 ]

En el sur de Asia (principalmente en la India), aunque los países utilizan el Sistema Internacional de Unidades (SI) como unidades oficiales, muchos habitantes del sur de Asia aún emplean unidades tradicionales. Cada división administrativa tiene su propia unidad de área; algunas tienen el mismo nombre, pero con valores diferentes. No existe un consenso oficial sobre los valores de las unidades tradicionales. Por lo tanto, las conversiones entre las unidades del SI y las unidades tradicionales pueden arrojar resultados diferentes, dependiendo de la referencia utilizada. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]

Algunas unidades tradicionales del sur de Asia que tienen un valor fijo:

  • 1 killa = 1 acre
  • 1 ghumaon = 1 acre
  • 1 canal = 0,125 acre (1 acre = 8 canales)
  • 1 decimal = 48,4 yardas cuadradas
  • 1 chatak = 180 pies cuadrados

Historia

Área del círculo

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en demostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la lúnula de Hipócrates , [ 18 ] pero no identificó la constante de proporcionalidad . Eudoxo de Cnido , también en el siglo V a. C., halló asimismo que el área de un disco es proporcional al cuadrado de su radio. [ 19 ]

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides trató sobre la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes utilizó las herramientas de la geometría euclidiana para demostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Medición de un círculo . (La circunferencia es 2πr , y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado un área de πr² para el disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método de duplicación , en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para obtener un hexágono regular , y luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba cada vez más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos ).

Área triangular

En el año 300 a. C., el matemático griego Euclides demostró en su libro Elementos de Geometría que el área de un triángulo es la mitad de la de un paralelogramo con la misma base y altura . [ 20 ] Herón de Alejandría halló la fórmula conocida como fórmula de Herón para el área de un triángulo en función de sus lados, y una demostración se encuentra en su libro Métrica , escrito alrededor del año 60 d. C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, [ 21 ] y dado que Métrica es una recopilación del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia que se da en esa obra. [ 22 ]

En el año 499 d. C. , Aryabhata , un matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya . [ 23 ]

Los chinos descubrieron, independientemente de los griegos, una fórmula equivalente a la de Herón. Fue publicada en 1247 en el Shushu Jiuzhang (« Tratado matemático en nueve secciones »), escrito por Qin Jiushao . [ 24 ]

Área cuadrilátera

En el siglo VII d. C., Brahmagupta desarrolló una fórmula, ahora conocida como la fórmula de Brahmagupta , para calcular el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en función de sus lados. En 1842, los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt hallaron de forma independiente una fórmula, conocida como la fórmula de Bretschneider , para calcular el área de cualquier cuadrilátero.

Área poligonal general

El desarrollo de las coordenadas cartesianas por René Descartes en el siglo XVII permitió a Gauss desarrollar en el siglo XIX la fórmula para calcular el área de cualquier polígono con vértices conocidos.

Áreas determinadas mediante cálculo

El desarrollo del cálculo integral a finales del siglo XVII proporcionó herramientas que posteriormente pudieron utilizarse para calcular áreas más complejas, como el área de una elipse y las áreas de superficie de diversos objetos tridimensionales curvos.

Fórmulas de área

Fórmulas de polígonos

Para un polígono que no se autointerseca ( simple ), las coordenadas cartesianas(incógnitai,yi)(i=0,1,...,norte−1){\displaystyle (x_{i},y_{i})(i=0,1,...,n-1)}De cuyos n vértices se conocen, el área viene dada por la fórmula del agrimensor : [ 25 ]

A=12|∑i=0norte−1(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)|{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}

donde cuando i = n − 1, entonces i + 1 se expresa como módulo n y por lo tanto se refiere a 0.

Rectángulos

Un rectángulo con longitud y anchura etiquetadas
El área de este rectángulo es lw . 

La fórmula de área más básica es la fórmula para el área de un rectángulo . Dado un rectángulo con longitud l y ancho w , la fórmula para el área es: [ 2 ]

A = lw  (rectángulo).

Es decir, el área del rectángulo es la longitud multiplicada por el ancho. Como caso especial, dado que l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con lado de longitud s viene dada por la fórmula: [ 1 ] [ 2 ]

A = s² ( cuadrado  ).

La fórmula para el área de un rectángulo se deriva directamente de las propiedades básicas del área y, en ocasiones, se considera una definición o axioma . Por otro lado, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética , esta fórmula puede utilizarse para definir la multiplicación de números reales .

Disección, paralelogramos y triángulos

Un paralelogramo se puede cortar y reorganizar para formar un rectángulo.

La mayoría de las demás fórmulas sencillas para el área se derivan del método de disección . Este método consiste en dividir una figura en piezas, cuyas áreas deben sumar el área de la figura original. Por ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapecio y un triángulo rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo. Por lo tanto, el área del paralelogramo es la misma que el área del rectángulo: [ 2 ]

A = bh  (paralelogramo).
Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales

Sin embargo, el mismo paralelogramo también se puede cortar por una diagonal en dos triángulos congruentes , como se muestra en la figura de la derecha. De ello se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo: [ 2 ]A=12bh (triángulo).{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh{\text{ (triángulo).}}} Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapecio [ 26 ] así como para polígonos más complejos . [ 27 ]

Área de formas curvas

Círculos

Un círculo dividido en muchos sectores se puede reorganizar aproximadamente para formar un paralelogramo.
Un círculo se puede dividir en sectores que, al reorganizarse, forman un paralelogramo aproximado .

La fórmula para el área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco ) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r , es posible dividirlo en sectores , como se muestra en la figura de la derecha. Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular, y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r , y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por lo tanto, el área total del círculo es π r² : [ 2 ]

A = π r 2  (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es solo aproximada, el error se reduce cada vez más a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente π r² , que es el área del círculo. [ 28 ]

Este argumento es, en realidad, una aplicación sencilla de las ideas del cálculo . En la antigüedad, el método de agotamiento se utilizaba de forma similar para hallar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como precursor del cálculo integral . Utilizando métodos modernos, el área de un círculo se puede calcular mediante una integral definida : A=2∫−rrr2−incógnita2dincógnita=πr2.{\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}

Elipsis

La fórmula para el área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semiejes mayor y menor x e y , la fórmula es: [ 2 ]A=πincógnitay.{\displaystyle A=\pi xy.}

Área de superficie no plana

Una esfera azul dentro de un cilindro de la misma altura y radio.
Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es exactamente cuatro veces mayor que la de un disco plano del mismo radio, y que el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un cilindro de la misma altura y radio.

La mayoría de las fórmulas básicas para calcular el área superficial se obtienen cortando superficies y aplanándolas (véase: superficies desarrollables ). Por ejemplo, si se corta longitudinalmente la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma ), esta se puede aplanar formando un rectángulo. Del mismo modo, si se realiza un corte a lo largo del lateral de un cono , esta superficie se puede aplanar formando un sector circular, y se puede calcular el área resultante.

La fórmula para el área de la superficie de una esfera es más difícil de derivar: debido a que una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero , no se puede aplanar. La fórmula para el área de la superficie de una esfera fue obtenida por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro . La fórmula es: [ 6 ]

A = 4 πr 2  (esfera),

donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza inherentemente métodos similares al cálculo .

Fórmulas generales

Áreas de figuras bidimensionales

Área triangularA=b⋅h2{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}
  • Un triángulo :12Bh{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}(donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea sobre la que se encuentra B hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede usar si se conoce la altura h . Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede usar la fórmula de Herón :s(s−a)(s−b)(s−do){\displaystyle {\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}donde a , b , c son los lados del triángulo, ys=12(a+b+do){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}es la mitad de su perímetro. [ 2 ] Si se da un ángulo y sus dos lados comprendidos, el área es12abpecado⁡(do){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}donde C es el ángulo dado y a y b son sus lados incluidos. [ 2 ] Si el triángulo se grafica en un plano de coordenadas, se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de12(incógnita1y2+incógnita2y3+incógnita3y1−incógnita2y1−incógnita3y2−incógnita1y3){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}Esta fórmula, también conocida como fórmula del cordón , es una manera sencilla de calcular el área de un triángulo coordenado sustituyendo los tres puntos (x₁ , y₁ ) , ( x₂ , y₂ ) y ( x₃ , y₃ ) . La fórmula del cordón también se puede usar para calcular el área de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otra alternativa para calcular el área de un triángulo coordenado es usar cálculo diferencial .
  • Un polígono simple construido sobre una cuadrícula de puntos equidistantes (es decir, puntos con coordenadas enteras ) de tal manera que todos los vértices del polígono sean puntos de la cuadrícula:i+b2−1{\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos del límite. Este resultado se conoce como el teorema de Pick . [ 29 ]

Área en cálculo

Un diagrama que muestra el área entre una curva dada y el eje x.
La integración puede pensarse como la medición del área bajo una curva, definida por f ( x ), entre dos puntos (en este caso a y b ).
Un diagrama que muestra el área entre dos funciones.
El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.
  • El área comprendida entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores a y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, viene dada por la integral de a a b de la función que representa la curva: [ 1 ]A=∫abF(incógnita)dincógnita.{\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
  • El área comprendida entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función , f ( x ), menos la integral de la otra función, g ( x ): A=∫ab(F(incógnita)−gramo(incógnita))dincógnita,{\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}dóndeF(incógnita){\displaystyle f(x)}es la curva con el mayor valor de y.
  • Un área delimitada por una funciónr=r(θ){\displaystyle r=r(\theta )}expresado en coordenadas polares es: [ 1 ]A=12∫r2dθ.{\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}
  • El área encerrada por una curva paramétricatú→(t)=(incógnita(t),y(t)){\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}con puntos finalestú→(t0)=tú→(t1){\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}viene dada por las integrales de línea : ∮t0t1incógnitay˙dt=−∮t0t1yincógnita˙dt=12∮t0t1(incógnitay˙−yincógnita˙)dt{\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt} o el componente z de 12∮t0t1tú→×tú→˙dt.{\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.} (Para más detalles, véase el teorema de Green §  Cálculo de áreas ). Este es el principio del dispositivo mecánico planímetro .

Área delimitada entre dos funciones cuadráticas

Para hallar el área acotada entre dos funciones cuadráticas , primero restamos una de la otra, escribiendo la diferencia como F(incógnita)−gramo(incógnita)=aincógnita2+bincógnita+do=a(incógnita−α)(incógnita−β){\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )} donde f ( x ) es la cota superior cuadrática y g ( x ) es la cota inferior cuadrática. Mediante las fórmulas de integral de área anteriores y la fórmula de Vieta , podemos obtener que [ 30 ] [ 31 ]A=(b2−4ado)3/26a2=a6(β−α)3,a≠0.{\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.} Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones de acotación es lineal en lugar de cuadrática.

Área de superficie de figuras tridimensionales

  • Cono : [ 32 ]πr(r+r2+h2){\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}donde r es el radio de la base circular y h es la altura. Esto también se puede reescribir comoπr2+πrl{\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}[ 32 ] oπr(r+l){\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono.πr2{\displaystyle \pi r^{2}}es el área base mientrasπrl{\displaystyle \pi rl}es el área de la superficie lateral del cono. [ 32 ]
  • Cubo :6s2{\displaystyle 6s^{2}}, donde s es la longitud de una arista. [ 6 ]
  • Cilindro :2πr(r+h){\displaystyle 2\pi r(r+h)}donde r es el radio de una base y h es la altura.2πr{\displaystyle 2\pi r}también se puede reescribir comoπd{\displaystyle \pi d}donde d es el diámetro.
  • Prisma :2B+PAGh{\displaystyle 2B+Ph}donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base y h es la altura del prisma.
  • pirámide :B+PAGL2{\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base y L es la longitud de la pendiente.
  • Prisma rectangular :2(ℓw+ℓh+wh){\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}, dóndeℓ{\displaystyle \ell }w es la longitud, w es el ancho y h es la altura.

Fórmula general para el área superficial

La fórmula general para el área de la superficie de la gráfica de una función continuamente diferenciablez=F(incógnita,y),{\displaystyle z=f(x,y),}dónde(incógnita,y)∈D⊂R2{\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}yD{\displaystyle D}es una región en el plano xy con un límite suave: A=∬D(∂F∂incógnita)2+(∂F∂y)2+1dincógnitady.{\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.} Una fórmula aún más general para el área de la gráfica de una superficie paramétrica en forma vectorial.r=r(tú,v),{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}dónder{\displaystyle \mathbf {r} }es una función vectorial continuamente diferenciable de(tú,v)∈D⊂R2{\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}es: [ 8 ]A=∬D|∂r∂tú×∂r∂v|dtúdv.{\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}

Lista de fórmulas

Los cálculos anteriores muestran cómo hallar las áreas de muchas figuras geométricas comunes .

Las áreas de polígonos irregulares (y por lo tanto arbitrarios) se pueden calcular utilizando la " fórmula del agrimensor " (fórmula del cordón de zapato). [ 28 ]

Relación entre el área y el perímetro.

La desigualdad isoperimétrica establece que, para una curva cerrada de longitud L (de modo que la región que encierra tiene perímetro L ) y para un área A de la región que encierra,

4πA≤L2,{\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}

La igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo . Por lo tanto, un círculo tiene la mayor área de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.

En el otro extremo, una figura con un perímetro L dado podría tener un área arbitrariamente pequeña, como lo ilustra un rombo que está "inclinado" arbitrariamente de tal manera que dos de sus ángulos están arbitrariamente cerca de 0° y los otros dos están arbitrariamente cerca de 180°.

Para un círculo, la razón entre el área y la circunferencia (el término para el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r . Esto se puede ver en la fórmula del área πr² y la fórmula de la circunferencia 2πr² .

El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicada por la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro al punto más cercano en cualquiera de sus lados).

Fractales

Duplicar la longitud de los lados de un polígono multiplica su área por cuatro, que es dos (la razón entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que se encuentra el polígono). Pero si se duplican todas las longitudes unidimensionales de un fractal dibujado en dos dimensiones, el contenido espacial del fractal se escala por una potencia de dos que no necesariamente es un número entero. Esta potencia se denomina dimensión fractal del fractal. [ 33 ]

bisectrices de área

Hay una infinidad de rectas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellas son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estas son concurrentes en el baricentro del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices del área que pasan por el baricentro. Cualquier recta que atraviese un triángulo y divida tanto su área como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia inscrita ). Hay una, dos o tres de estas rectas para cualquier triángulo dado.

Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo divide su área en dos.

Todas las bisectrices de área de un círculo u otra elipse pasan por el centro, y cualquier cuerda que pase por el centro biseca el área. En el caso de un círculo, son los diámetros del círculo.

Mejoramiento

Dado el contorno de un alambre, la superficie de menor área que lo abarca ("rellena") es una superficie mínima . Ejemplos comunes incluyen las burbujas de jabón .

La cuestión del área de llenado del círculo riemanniano permanece abierta. [ 34 ]

El círculo tiene la mayor área de cualquier objeto bidimensional que tenga el mismo perímetro.

Un polígono cíclico (uno inscrito en un círculo) tiene la mayor área de cualquier polígono con un número determinado de lados de la misma longitud.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos aquellos con un perímetro dado es equilátero . [ 35 ]

El triángulo de mayor área de entre todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de menor área de entre todos los circunscritos a un círculo dado es equilátero. [ 36 ]

La razón entre el área del círculo inscrito y el área de un triángulo equilátero,π33{\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}, es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. [ 37 ]

La razón entre el área y el cuadrado del perímetro de un triángulo equilátero,1123,{\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}es mayor que la de cualquier otro triángulo. [ 35 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Se utiliza en países de habla inglesa.

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. "Área" . Wolfram MathWorld . Archivado del original el 5 de mayo de 2012. Recuperado el 3 de julio de 2012 .
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