Frobenius aritmético y geométrico

En matemáticas , el endomorfismo de Frobenius se define en cualquier anillo conmutativo.${\displaystyle R}$que tiene características${\displaystyle p}$, dónde${\displaystyle p}$es un número primo . Es decir, la aplicación${\displaystyle \phi :r\mapsto r^{p}}$es un endomorfismo de anillo de${\displaystyle R}$.

La imagen de${\displaystyle \phi }$es entonces${\displaystyle R^{p}}$, el subanillo de${\displaystyle R}$compuesto de${\displaystyle p}$potencias -ésimas. En algunos casos importantes, por ejemplo, campos finitos ,${\displaystyle \phi }$es sobreyectiva . De lo contrario,${\displaystyle \phi }$es un endomorfismo pero no un automorfismo de anillo.

La terminología del Frobenius geométrico surge al aplicar el espectro de una construcción de anillo a${\displaystyle \phi }$Esto proporciona un mapeo.

${\displaystyle \phi ^{*}:\operatorname {Spec} (R^{p})\to \operatorname {Spec} (R)}$

de esquemas afines . Incluso en casos donde${\displaystyle R^{p}=R}$esta no es la identidad, a menos que${\displaystyle R}$es el campo principal .

Mapeos creados por producto de fibra con${\displaystyle \phi ^{*}}$Los cambios de base , en teoría de esquemas , suelen denominarse Frobenius geométricos . La razón de una terminología precisa es que el automorfismo de Frobenius en grupos de Galois , o definido por transporte de estructura , suele ser la aplicación inversa del Frobenius geométrico. Al igual que en el caso de un grupo cíclico en el que un generador es también el inverso de otro generador, en muchas situaciones existen dos posibles definiciones de Frobenius, y sin una convención consistente puede surgir algún problema con el signo negativo .

• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Cohomología de Étale y la conjetura de Weil . Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol.  13. Berlín , Heidelberg : Springer . ISBN 978-3-540-12175-6. SR 0926276 .