Grupo aritmético

Si${\displaystyle \mathrm {G} }$es un subgrupo algebraico de${\displaystyle \mathrm {GL} _ {n}(\mathbb {Q} )}$para algunos${\displaystyle n}$entonces podemos definir un subgrupo aritmético de${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$como el grupo de puntos enteros${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _ {n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$En general, no es tan obvio cómo dar sentido preciso a la noción de "puntos enteros" de un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-grupo, y el subgrupo definido anteriormente puede cambiar cuando tomamos diferentes incrustaciones${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Por lo tanto, una mejor noción es tomar como definición de un subgrupo aritmético de${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$cualquier grupo${\displaystyle \Lambda }$lo cual es conmensurable (esto significa que ambos${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda)}$y${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$son conjuntos finitos) con un grupo${\displaystyle \Gamma }$definido como arriba (con respecto a cualquier incrustación en${\displaystyle \mathrm {GL} _ {n}}$). Con esta definición, al grupo algebraico${\displaystyle \mathrm {G} }$Se asocia a una colección de subgrupos "discretos", todos conmensurables entre sí.

Una generalización natural de la construcción anterior es la siguiente: sea${\displaystyle F}$ser un campo numérico con un anillo de enteros${\displaystyle O}$y${\displaystyle \mathrm {G} }$un grupo algebraico sobre${\displaystyle F}$. Si se nos da una incrustación${\displaystyle \rho$ :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}} definido sobre${\displaystyle F}$entonces el subgrupo${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _ {n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$legítimamente puede llamarse un grupo aritmético.

Por otro lado, la clase de grupos así obtenida no es mayor que la clase de grupos aritméticos definida anteriormente. De hecho, si consideramos el grupo algebraico${\displaystyle \mathrm {G} '}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$obtenido al restringir los escalares de${\displaystyle F}$a${\displaystyle \mathbb {Q} }$y el${\displaystyle \mathbb {Q} }$-incrustación${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$inducido por${\displaystyle \rho }$(dónde${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$) entonces el grupo construido anteriormente es igual a${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _ {nd}(\mathbb {Z} ))}$.

Un retículo en un grupo de Lie se define generalmente como un subgrupo discreto con covolumen finito. La terminología introducida anteriormente es coherente con esto, ya que un teorema de Borel y Harish-Chandra establece que un subgrupo aritmético en un grupo de Lie semisimple tiene covolumen finito (su carácter discreto es evidente).

El teorema es más preciso: dice que el retículo aritmético es cocompacto si y solo si la "forma" de${\displaystyle G}$utilizado para definirlo (es decir, el${\displaystyle \mathbb {Q} }$-grupo${\displaystyle \mathrm {G} }$) es anisotrópico. Por ejemplo, la red aritmética asociada a una forma cuadrática en${\displaystyle n}$variables sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$será cocompacto en el grupo ortogonal asociado si y solo si la forma cuadrática no se anula en ningún punto en${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$.

El espectacular resultado que obtuvo Margulis es un recíproco parcial del teorema de Borel-Harish-Chandra: para ciertos grupos de Lie, cualquier retículo es aritmético. Este resultado es cierto para todos los retículos irreducibles en grupos de Lie semisimples de rango real mayor que dos. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Por ejemplo, todos los retículos en${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$son aritméticas cuando${\displaystyle n\geq 3}$El principal ingrediente nuevo que Margulis utilizó para demostrar su teorema fue la superrigidez de las redes en grupos de rango superior que demostró con este propósito.

La irreductibilidad solo juega un papel cuando${\displaystyle G}$tiene un factor de rango real uno (de lo contrario, el teorema siempre se cumple) y no es simple: significa que para cualquier descomposición de producto${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$La red no es conmensurable a un producto de redes en cada uno de los factores.${\displaystyle G_{i}}$Por ejemplo, la red${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$en${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$es irreductible, mientras que${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$no lo es.

El teorema de aritmeticidad (y superrigidez) de Margulis se cumple para ciertos grupos de Lie de rango 1, a saber:${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$para${\displaystyle n\geqslant 1}$y el grupo excepcional${\displaystyle F_{4}^{-20}}$. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Se sabe que no se cumple en todos los grupos${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$para${\displaystyle n\geqslant 2}$(referencia GPS) y para${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$cuando${\displaystyle n=1,2,3}$No se conocen retículos no aritméticos en los grupos.${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$cuando${\displaystyle n\geqslant 4}$.

Un grupo fuchsiano aritmético se construye a partir de los siguientes datos: un campo de números totalmente reales.${\displaystyle F}$, un álgebra de cuaterniones${\displaystyle A}$encima${\displaystyle F}$y una orden${\displaystyle {\mathcal {O}}}$en${\displaystyle A}$. Se solicita que para una incrustación${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$el álgebra${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ser isomorfo al álgebra matricial${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$y para todos los demás a los cuaterniones de Hamilton . Entonces el grupo de unidades${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$es una red en${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$que es isomorfo a${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$y es co-compacto en todos los casos excepto cuando${\displaystyle A}$es el álgebra matricial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$Todos los retículos aritméticos en${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$se obtienen de esta manera (hasta el punto de la conmensurabilidad).

Los grupos kleinianos aritméticos se construyen de manera similar, excepto que${\displaystyle F}$se requiere tener exactamente un lugar complejo y${\displaystyle A}$ser los cuaterniones de Hamilton en todos los lugares reales. Agotan todas las clases de conmensurabilidad aritmética en${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Para cada grupo de Lie semisimple${\displaystyle G}$En teoría es posible clasificar (hasta la conmensurabilidad) todos los retículos aritméticos en${\displaystyle G}$, de manera similar a los casos${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$explicado anteriormente. Esto equivale a clasificar los grupos algebraicos cuyos puntos reales son isomorfos salvo un factor compacto a${\displaystyle G}$. ^{[ 16 ]}

Un subgrupo de congruencia es (aproximadamente) un subgrupo de un grupo aritmético definido al tomar todas las matrices que satisfacen ciertas ecuaciones módulo un entero; por ejemplo, el grupo de matrices enteras de 2x2 con coeficientes diagonales (o no diagonales) congruentes con 1 (o 0) módulo un entero positivo. Estos son siempre subgrupos de índice finito, y el problema del subgrupo de congruencia plantea, en términos generales, si todos los subgrupos se obtienen de esta manera. La conjetura (generalmente atribuida a Jean-Pierre Serre ) afirma que esto es cierto para retículos aritméticos (irreducibles) en grupos de rango superior y falso en grupos de rango uno. Aún permanece abierta en esta generalidad, pero existen numerosos resultados que la establecen para retículos específicos (tanto en su caso positivo como negativo).

La definición formal de un${\displaystyle S}$-grupo aritmético para${\displaystyle S}$un conjunto finito de números primos es lo mismo que para grupos aritméticos con${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$reemplazado por${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$dónde${\displaystyle N}$es el producto de los primos en${\displaystyle S}$.

El teorema de Borel-Harish-Chandra se generaliza a${\displaystyle S}$-grupos aritméticos de la siguiente manera: si${\displaystyle \Gamma }$es un${\displaystyle S}$-grupo aritmético en un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-grupo algebraico${\displaystyle \mathrm {G} }$entonces${\displaystyle \Gamma }$es una red en el grupo localmente compacto

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Grupos aritméticos con la propiedad de Kazhdan (T) o la propiedad más débil (${\displaystyle \tau }$Los métodos de Lubotzky y Zimmer pueden utilizarse para construir grafos expansores (Margulis) o incluso grafos de Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak ^{[ 17 ] [ 18 ]} ). Se sabe que estos grafos existen en abundancia gracias a resultados probabilísticos, pero la naturaleza explícita de estas construcciones los hace interesantes.

Se sabe que las cubiertas de congruencia de superficies aritméticas dan lugar a superficies con un gran radio de inyectividad . ^{[ 19 ]} Asimismo, los grafos de Ramanujan construidos por Lubotzky-Phillips-Sarnak tienen una gran circunferencia . De hecho, se sabe que la propiedad de Ramanujan implica que las circunferencias locales del grafo son casi siempre grandes. ^{[ 20 ]}

Los grupos aritméticos pueden utilizarse para construir variedades isoespectrales . Esto fue descubierto por primera vez por Marie-France Vignéras ^{[ 21 ]} y desde entonces han aparecido numerosas variaciones de su construcción. El problema de la isoespectralidad resulta particularmente adecuado para su estudio en el contexto restringido de las variedades aritméticas. ^{[ 22 ]}

Un plano proyectivo falso ^{[ 23 ]} es una superficie compleja que tiene los mismos números de Betti que el plano proyectivo.${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$pero no es biholomorfo a él; el primer ejemplo fue descubierto por Mumford. Por el trabajo de Klingler (también demostrado independientemente por Yeung) todos ellos son cocientes de la 2-bola por retículos aritméticos en${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$Las posibles redes fueron clasificadas por Prasad y Yeung, y la clasificación fue completada por Cartwright y Steger, quienes determinaron, mediante cálculos asistidos por computadora, todos los planos proyectivos falsos en cada clase de Prasad-Yeung.