Variedad hiperbólica tridimensional aritmética

Un álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo${\displaystyle F}$es un sistema central simple de cuatro dimensiones${\displaystyle F}$-álgebra. Un álgebra de cuaterniones tiene una base${\displaystyle 1,i,j,ij}$dónde${\displaystyle i^{2},j^{2}\in F^{\times }}$y${\displaystyle ij=-ji}$.

Se dice que un álgebra de cuaterniones se divide en${\displaystyle F}$si es isomorfo como un${\displaystyle F}$-álgebra al álgebra de matrices${\displaystyle M_{2}(F)}$; un álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo algebraicamente cerrado siempre está escindida.

Si${\displaystyle \sigma }$es una incrustación de${\displaystyle F}$en un campo${\displaystyle E}$lo denotaremos por${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$el álgebra obtenida al extender escalares desde${\displaystyle F}$a${\displaystyle E}$donde vemos${\displaystyle F}$como subcampo de${\displaystyle E}$a través de${\displaystyle \sigma }$.

Un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$Se dice que se deriva de un álgebra de cuaterniones si se puede obtener mediante la siguiente construcción. Sea${\displaystyle F}$ser un campo numérico que tiene exactamente dos incrustaciones en${\displaystyle \mathbb {C} }$cuya imagen no está contenida en${\displaystyle \mathbb {R} }$(uno conjugado al otro). Sea${\displaystyle A}$ser un álgebra de cuaterniones sobre${\displaystyle F}$de tal manera que para cualquier incrustación${\displaystyle \tau :F\to \mathbb {R} }$el álgebra${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$es isomorfo a los cuaterniones de Hamilton . A continuación necesitamos un orden${\displaystyle {\mathcal {O}}}$en${\displaystyle A}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ser el grupo de elementos en${\displaystyle {\mathcal {O}}}$de norma reducida 1 y sea${\displaystyle \Gamma }$sea ​​su imagen en${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$a través de${\displaystyle \phi }$. Luego consideramos el grupo kleiniano obtenido como la imagen en${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$de${\displaystyle \phi ({\mathcal {O}}^{1})}$.

El hecho principal sobre estos grupos es que son subgrupos discretos y tienen un covolumen finito para la medida de Haar en${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$. Además, la construcción anterior produce un subgrupo cocompacto si y solo si el álgebra${\displaystyle A}$no está dividido${\displaystyle F}$La discreción es una consecuencia bastante inmediata del hecho de que${\displaystyle A}$Se divide únicamente en sus incrustaciones complejas. La finitud del covolumen es más difícil de demostrar. ^{[ 1 ]}

Un grupo kleiniano aritmético es cualquier subgrupo de${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$lo cual es conmensurable a un grupo derivado de un álgebra de cuaterniones. De esta definición se deduce inmediatamente que los grupos kleinianos aritméticos son discretos y de covolumen finito (esto significa que son retículos en${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$).

Se proporcionan ejemplos tomando${\displaystyle F}$ser un campo cuadrático imaginario ,${\displaystyle A=M_{2}(F)}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})}$dónde${\displaystyle O_{F}}$es el anillo de enteros de${\displaystyle F}$(Por ejemplo${\displaystyle F=\mathbb {Q} (i)}$y${\displaystyle O_{F}=\mathbb {Z} [i]}$Los grupos así obtenidos son los grupos de Bianchi . No son cocompactos, y cualquier grupo kleiniano aritmético que no sea conmensurable a un conjugado de un grupo de Bianchi es cocompacto.

Si${\displaystyle A}$es cualquier álgebra de cuaterniones sobre un campo de números cuadráticos imaginarios${\displaystyle F}$que no es isomorfo a un álgebra matricial entonces los grupos de unidades de órdenes en${\displaystyle A}$son cocompacto.

Para el volumen de una variedad aritmética de tres dimensiones${\displaystyle M=\Gamma _{\mathcal {O}}\backslash \mathbb {H} ^{3}}$derivado de un orden máximo en un álgebra de cuaterniones${\displaystyle A}$sobre un campo numérico${\displaystyle F}$, tenemos esta fórmula: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathrm {vol} (M)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$$ dónde${\displaystyle D_{A},D_{F}}$son los discriminantes de${\displaystyle A,F}$respectivamente;${\displaystyle \zeta _{F}}$es la función zeta de Dedekind de${\displaystyle F}$; y${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$.

Una consecuencia de la fórmula de volumen del párrafo anterior es que

Dado${\displaystyle v>0}$Hay como máximo un número finito de 3-variedades hiperbólicas aritméticas con volumen menor que${\displaystyle v}$.

Esto contrasta con el hecho de que la cirugía de Dehn hiperbólica puede utilizarse para producir un número infinito de 3-variedades hiperbólicas no isométricas con volumen acotado. En particular, un corolario es que, dada una variedad hiperbólica con cúspides, a lo sumo un número finito de cirugías de Dehn aplicadas a ella pueden generar una variedad hiperbólica aritmética.

La variedad de Weeks es la variedad hiperbólica tridimensional de menor volumen ^{[ 3 ]} y la variedad de Meyerhoff es la de menor volumen siguiente.

El complemento en la tres-esfera del nudo en forma de ocho es una variedad hiperbólica tridimensional aritmética ^{[ 4 ]} y alcanza el volumen más pequeño entre todas las variedades hiperbólicas tridimensionales con cúspides. ^{[ 5 ]}

La conjetura de Ramanujan para formas automórficas en${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$sobre un cuerpo numérico implicaría que para cualquier recubrimiento de congruencia de una variedad aritmética tridimensional (derivada de un álgebra de cuaterniones) el espectro del operador de Laplace está contenido en${\displaystyle [1,+\infty )}$.