Progresión aritmética

Una progresión aritmética , sucesión aritmética o sucesión lineal ^{[ 1 ]} es una sucesión de números tal que la diferencia entre cualquier término sucesivo y el anterior permanece constante a lo largo de la sucesión. Esta diferencia constante se denomina diferencia común de dicha progresión aritmética. Por ejemplo, la sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es${\displaystyle a_{1}}$y la diferencia común de los miembros sucesivos es${\displaystyle d}$, entonces el${\displaystyle n}$-ésimo término de la secuencia (${\displaystyle a_{n}}$) viene dado por

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Una porción finita de una progresión aritmética se llama progresión aritmética finita y, a veces, simplemente progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética .

Según una anécdota de fiabilidad incierta, ^{[ 2 ]} en la escuela primaria Carl Friedrich Gauss reinventó la fórmula${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$para sumar los enteros del 1 al${\displaystyle n}$, por el caso${\displaystyle n=100}$, agrupando los números de ambos extremos de la secuencia en pares que suman 101 y multiplicando por el número de pares. Independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula. Reglas similares eran conocidas en la antigüedad por Arquímedes , Hipsicles y Diofanto ; ^{[ 3 ]} en China por Zhang Qiujian ; en India por Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^{[ 4 ]} y en la Europa medieval por Alcuino , ^{[ 5 ]} Dicuil , ^{[ 6 ]} Fibonacci , ^{[ 7 ]} Sacrobosco , ^{[ 8 ]} y comentaristas anónimos del Talmud conocidos como tosafistas . ^{[ 9 ]} Algunos consideran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^{[ 10 ]}

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, consideremos la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se están sumando (en este caso 5), multiplicándolo por la suma del primer y último número de la progresión (en este caso 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da como resultado la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales que comience con${\displaystyle a_{1}}$y terminando con${\displaystyle a_{n}}$. Por ejemplo,

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Derivación

Para obtener la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Reescribiendo los términos en orden inverso:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Sumando los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y dividiendo ambos lados por la mitad:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Esta fórmula se puede simplificar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante:${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la media de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables.

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d , y n elementos en total se determina en una expresión cerrada.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando${\displaystyle a_{1}/d}$es negativo o cero.

Esta es una generalización de los hechos que el producto de la progresión${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$está dado por el factorial${\displaystyle n!}$y que el producto

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para enteros positivos${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$es dado por

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética es

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

dónde${\displaystyle n}$es el número de términos en la progresión y${\displaystyle d}$es la diferencia común entre los términos. La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la desviación estándar de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables.

La intersección de dos progresiones aritméticas doblemente infinitas cualesquiera es vacía o bien otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema chino del resto . Si cada par de progresiones en una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, las progresiones aritméticas infinitas forman una familia de Helly . ^{[ 11 ]} Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser ella misma una progresión infinita.

Dejar${\displaystyle a(n,k)}$denota el número de subconjuntos aritméticos de longitud${\displaystyle k}$uno puede hacer del conjunto${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$y dejar${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$ser definido como:

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

Por ejemplo, si${\textstyle (n,k)=(7,3)}$, uno espera${\textstyle a(7,3)=9}$subconjuntos aritméticos y, contando directamente, se ve que hay 9; estos son${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

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• "Series aritméticas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Series aritméticas" . MathWorld .