invariantes de Arnold

En matemáticas , particularmente en topología y teoría de nudos , los invariantes de Arnold son invariantes introducidos por Vladimir Arnold en 1994 ^{[ 1 ]} para estudiar la topología y la geometría de curvas planas . Los tres invariantes principales son:${\displaystyle J^{+}}$,${\displaystyle J^{-}}$, y${\displaystyle St}$—proporcionar formas de clasificar y comprender cómo se pueden deformar las curvas conservando ciertas propiedades. ^{[ 2 ]}

El contexto fundamental de los invariantes de Arnold proviene del teorema de Whitney-Graustein , que establece que dos bucles inmersos cualesquiera (curvas suaves en el plano) con el mismo número de rotación pueden deformarse entre sí mediante una serie de transformaciones continuas . ^{[ 3 ]} Estas transformaciones se pueden dividir en tres tipos elementales: movimientos de autotangencia directos (donde dos porciones de la curva se vuelven tangentes con direcciones alineadas, creando o eliminando dos puntos de autointersección), movimientos de autotangencia inversos (similares a los movimientos directos, pero las direcciones de la tangente son opuestas) y movimientos de punto triple (donde tres porciones de la curva se intersecan en un solo punto). ^{[ 4 ]}

El${\displaystyle J^{+}}$y${\displaystyle J^{-}}$Los invariantes registran cómo cambian las curvas bajo estas transformaciones y deformaciones.${\displaystyle J^{+}}$El invariante aumenta en 2 cuando un movimiento de autotangencia directa crea nuevos puntos de autointersección (y disminuye en 2 cuando se eliminan dichos puntos), mientras que${\displaystyle J^{-}}$disminuye en 2 cuando un movimiento de autotangencia inversa crea nuevas intersecciones (y aumenta en 2 cuando se eliminan). Ninguno de los invariantes cambia bajo movimientos de punto triple. Una relación fundamental entre estos invariantes es que su diferencia es igual al número total de puntos de autointersección en la curva. Es decir,

${\displaystyle J^{+}(c)-J^{-}(c)={\text{número de puntos de autointersección de }}c}$. ^{[ 5 ]}

Los matemáticos Oleg Viro y Eugene Gutkin descubrieron una fórmula explícita para calcular${\displaystyle J^{-}}$:

${\displaystyle J^{-}(c)=1-\sum _{R}{\text{viento}}(c,R)^{2}+\sum _{q}{\text{viento medio}}(c,q)^{2}}$^{[ 5 ]}

dónde${\displaystyle R}$abarca las regiones en las que${\displaystyle c}$divide el plano,${\displaystyle {\text{viento}}(c,R)}$es el número de vueltas alrededor de un punto en la región${\displaystyle R}$, y${\displaystyle {\text{meanwind}}(c,q)}$es el número medio de vueltas en cada punto de autointersección${\displaystyle q}$. Por ejemplo, una curva con${\displaystyle k}$los rizos en forma estándar tienen${\displaystyle J^{+}=-2k}$y${\displaystyle J^{-}=-3k}$, mientras que un círculo simple tiene${\displaystyle J^{+}=J^{-}=0}$. ^{[ 4 ]}

En 2002, las matemáticas Catarina Mendes de Jesus y Maria Carmen Romero Fuster introdujeron los conceptos de puentes y canales para curvas planas con el fin de facilitar el cálculo de los invariantes de Arnold. ^{[ 6 ]} Un puente consiste en introducir un rectángulo en el complemento de la curva en el plano, respetando las orientaciones , descomponiendo una curva dada en dos curvas más pequeñas con invariantes conocidos. El invariante de la curva original se puede obtener entonces como una función de los invariantes de estas dos curvas componentes y el índice del puente con respecto a la curva original. Esta técnica de descomposición es particularmente potente para analizar curvas con puntos dobles.

Un teorema importante sobre esta descomposición establece que una curva con${\displaystyle n}$Los puntos dobles son una curva tipo árbol si y solo si admiten una descomposición en exactamente n curvas de tipos${\displaystyle K_{0}}$y${\displaystyle K_{2}}$con puentes que no tienen puntos dobles, o una descomposición en exactamente${\displaystyle n+1}$curvas de tipo${\displaystyle K_{1}}$( isotópico al círculo ) con puentes que tienen puntos dobles. ^{[ 7 ]} Este resultado demostró una conjetura propuesta originalmente por Arnold con respecto a las fórmulas para familias de curvas arbóreas. La técnica de puentes y canales proporciona un método sistemático para calcular invariantes de Arnold para curvas planas en términos de curvas más simples con como máximo un punto doble.

• Curva plana
• Invariante de nudo
• Teorema de Whitney-Graustein
• Topología diferencial

• Santa Rosa, Lílian Neves (2010). Invariantes de Arnold de curvas planas . Tesis de Maestría, Universidad Federal de Viçosa.
• Mendes de Jesus, C. Invariantes topológicos de aplicaciones genéricas de superficies compactas orientadas al plano . Tesis doctoral, PUC-RIO, 2001.
• Moraes, Simone M.; Sánchez, Catarina MJ "Invariantes de curvas planas cerradas". Actas de la Sociedad Brasileña de Matemáticas Aplicadas y Computacionales , Vol. 3, N.º 1, 2015.
• Lagemann, Anna Marie; von der Mosel, Heiko (director de tesis); Hryniewicz, Umberto (director de tesis); Reiter, Philipp (director de tesis). Enfoque variacional para el estudio de los invariantes de Arnold de curvas planas inmersas . Universidad RWTH Aachen (2023). Tesis doctoral.

• Vladimir Arnold: " Curvas planas, sus invariantes, perestroikas y clasificaciones ". En Singularidades y bifurcaciones, vol. 21 de Adv. Soviet Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, págs. 33-91, con un apéndice de F. Aicardi.