Disposición de hiperplanos

En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio lineal , afín o proyectivo S. Las preguntas sobre una disposición de hiperplanos A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas u otras propiedades del complemento , M ( A ), que es el conjunto que queda cuando se eliminan los hiperplanos del espacio completo. Cabe preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición y su semirretículo de intersección. El semirretículo de intersección de A , escrito L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios se encuentran S mismo, todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío ). Estos subespacios de intersección de A también se denominan planos de A. El semirretículo de intersección L ( A ) está parcialmente ordenado por inclusión inversa .

Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; tal disposición se denomina a menudo disposición de líneas . Históricamente, las disposiciones reales de líneas fueron las primeras disposiciones investigadas. Si S es tridimensional, se tiene una disposición de planos .

Teoría general

La semirretícula de intersección y el matroide

La semirretícula de intersección L ( A ) es una semirretícula de intersección y, más específicamente, una semirretícula geométrica . Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no es vacía, la red de intersección es una red geométrica . (Por eso la semirretícula debe ordenarse por inclusión inversa , en lugar de por inclusión, lo que podría parecer más natural pero no daría como resultado una (semi)rretícula geométrica).

Cuando L ( A ) es una red, el matroide de A , escrito M ( A ), tiene A como su conjunto base y tiene función de rango r ( B ) := codim( f(B) ), donde B es cualquier subconjunto de A y f(B) es la intersección de los hiperplanos en B . En general, cuando L ( A ) es una semired, hay una estructura análoga similar a un matroide llamada semimatroide , que es una generalización de un matroide (y tiene la misma relación con la semired de intersección que el matroide con la red en el caso de la red), pero no es un matroide si L ( A ) no es una red.

Polinomios

Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ) := la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B es vacío. El polinomio característico de A , escrito p _A ( y ), se puede definir mediante

p_{A}(y):=\sum _{B}(-1)^{|B|}y^{\dim f(B)},

sumado sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección es vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como −1 ). Este polinomio ayuda a resolver algunas cuestiones básicas; véase más abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio de números de Whitney w _A ( x , y ), definido por

w_{A}(x,y):=\sum _{B}x^{n-\dim f(B)}\sum _{C}(-1)^{|CB|}y^{\dim f(C)},

sumada sobre B ⊆ C ⊆ A de tal manera que f ( B ) no sea vacía.

Al ser una red o semired geométrica, L ( A ) posee un polinomio característico, p _{L ( A )} ( y ), cuya teoría es extensa (véase matroide ). Por lo tanto, es importante saber que p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ), donde i es la dimensión más pequeña de cualquier plano, excepto que en el caso proyectivo es igual a y ^{i + 1}p _{L ( A )} ( y ). El polinomio de Whitney de A está relacionado de manera similar con el de L ( A ). (El conjunto vacío se excluye de la semired en el caso afín precisamente para que estas relaciones sean válidas).

El álgebra de Orlik-Solomon

El semirretículo de intersección determina otro invariante combinatorio de la disposición, el álgebra de Orlik-Solomon . Para definirla, fijemos un subanillo conmutativo K del cuerpo base y formemos el álgebra exterior E del espacio vectorial.

\bigoplus _{H\in A}Ke_{H}

generada por los hiperplanos. Se define una estructura compleja de cadena en E con el operador de frontera usual. $\partial$ . El álgebra de Orlik-Solomon es entonces el cociente de E por el ideal generado por elementos de la forma $e_{H_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{H_{p}}$ para qué $H_{1},\dots ,H_{p}$ tienen intersección vacía y por límites de elementos de la misma forma para los cuales $H_{1}\cap \cdots \cap H_{p}$ tiene codimensión menor que p .

Acuerdos reales

En el espacio afín real , el complemento está desconectado: está formado por piezas separadas llamadas celdas , regiones o cámaras , cada una de las cuales es una región acotada que es (el interior de) un politopo convexo , o una región poliédrica convexa no acotada . Cada plano de A también está dividido en piezas por los hiperplanos que no contienen el plano; estas piezas se llaman caras de A. Las regiones son caras porque todo el espacio es un plano. Las caras de codimensión 1 pueden llamarse facetas de A. La semirretícula de caras de una disposición es el conjunto de todas las caras, ordenadas por inclusión . Agregar un elemento superior adicional a la semirretícula de caras da la retícula de caras .

En dos dimensiones (es decir, en el plano afín real ), cada región es un polígono convexo (si está delimitada) o una región poligonal convexa que se extiende hasta el infinito.

Por ejemplo, si la disposición consta de tres líneas paralelas, la semirretícula de intersección está formada por el plano y las tres líneas, pero no por el conjunto vacío. Existen cuatro regiones, ninguna de ellas acotada.
Si añadimos una línea que cruza las tres paralelas, la semirretícula de intersección consta del plano, las cuatro líneas y los tres puntos de intersección. Hay ocho regiones, ninguna de ellas delimitada.
Si añadimos una línea más, paralela a la última, entonces hay 12 regiones, de las cuales dos son paralelogramos acotados .

Los problemas típicos sobre una disposición en el espacio real n -dimensional consisten en determinar cuántas regiones existen, cuántas caras de dimensión 4 o cuántas regiones acotadas. Estas preguntas pueden responderse simplemente a partir del semirretículo de intersección. Por ejemplo, dos teoremas básicos, de Zaslavsky (1975), establecen que el número de regiones de una disposición afín es igual a ( − 1) ⁿ p _A ( − 1) y el número de regiones acotadas es igual a ( − 1) ⁿ p _A (1). De manera similar, el número de caras k -dimensionales o caras acotadas puede leerse como el coeficiente de x ^{n − k} en ( − 1) ⁿ w _A ( − x , − 1) o ( − 1) ⁿ w _A ( − x , 1).

Meiser (1993) diseñó un algoritmo rápido para determinar la cara de una disposición de hiperplanos que contienen un punto de entrada.

Otra cuestión relativa a una disposición en el espacio real es determinar cuántas regiones son símplices (la generalización n -dimensional de triángulos y tetraedros ). Esto no puede resolverse únicamente a partir de la semirretícula de intersección. El problema de McMullen plantea la cuestión de cuál es la disposición más pequeña de una dimensión dada en posición general en el espacio proyectivo real para la cual no existe ninguna celda tocada por todos los hiperplanos.

Una disposición lineal real posee, además de su semirretículo de caras, un conjunto parcialmente ordenado_deregiones , diferente para cada región. Este conjunto se forma eligiendo una región base arbitraria, B₀ , y asociando a cada región R el conjunto S ( R ) formado por los hiperplanos que separan R de B. Las regiones están parcialmente ordenadas de modo que R₁ ≥ R₂ si S ( _R₁ , R ₎ contiene S ( R₂ _,R ). En el caso especial en que los hiperplanos provienen de un sistema de raíces , el conjunto parcialmente ordenado resultante es el grupo de Weyl correspondiente con el orden débil. En general, el _conjunto parcialmente ordenado de regiones se clasifica según el número de hiperplanos que lo separan y se ha calculado su función de Möbius ( Edelman 1984 ) .

Vadim Schechtman y Alexander Varchenko introdujeron una matriz indexada por las regiones. El elemento de la matriz para la región $R_{i}$ y $R_{j}$ viene dado por el producto de variables indeterminadas $a_{H}$ para cada hiperplano H que separa estas dos regiones. Si estas variables se especializan para que todas tengan el valor q, entonces esto se denomina matriz q (sobre el dominio euclidiano). $\mathbb {Q} [q]$ ) para la disposición y mucha información está contenida en su forma normal de Smith .

Disposiciones complejas

En el espacio afín complejo , el complemento está conectado (como una sola pieza) con agujeros donde se eliminaron los hiperplanos. Un problema típico sobre una disposición en el espacio complejo es describir los agujeros.

El teorema básico sobre arreglos complejos es que la cohomología del complemento M ( A ) está completamente determinada por el semirretículo de intersección. Para ser precisos, el anillo de cohomología de M ( A ) (con coeficientes enteros) es isomorfo al álgebra de Orlik-Solomon en Z .

El isomorfismo puede describirse explícitamente y proporciona una presentación de la cohomología en términos de generadores y relaciones, donde los generadores se representan (en la cohomología de De Rham ) como formas diferenciales logarítmicas.

{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d\alpha }{\alpha }}.

con $\alpha$ cualquier forma lineal que defina el hiperplano genérico de la disposición.

Aspectos técnicos

A veces resulta conveniente permitir que el hiperplano degenerado , que es todo el espacio S , pertenezca a una disposición. Si A contiene el hiperplano degenerado, entonces no tiene regiones porque su complemento está vacío. Sin embargo, aún posee planos, una semirretícula de intersección y caras. La discusión anterior presupone que el hiperplano degenerado no está en la disposición.

En ocasiones, se desea permitir hiperplanos repetidos en la disposición. No consideramos esta posibilidad en la discusión anterior, pero no supone ninguna diferencia sustancial.

Véase también

Referencias

"Disposición de hiperplanos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
Edelman, Paul H. (1984), "Un orden parcial en las regiones de $\mathbb {R} ^{n}$ diseccionado por hiperplanos", Transactions of the American Mathematical Society , 283 (2): 617– 631, CiteSeerX 10.1.1.308.820 , doi : 10.2307/1999150 , JSTOR 1999150 , MR 0737888 .
Meiser, Stefan (1993), "Localización de puntos en arreglos de hiperplanos", Information and Computation , 106 (2): 286–303 , doi : 10.1006/inco.1993.1057 , MR 1241314 .
Orlik, Peter ; Terao, Hiroaki (1992), Disposiciones de hiperplanos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 300, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-02772-1 , ISBN 978-3-642-08137-8, MR 1217488 .
Stanley, Richard (2011). "3.11 Disposiciones hiperplanares". Combinatoria enumerativa . Vol. 1 (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1107602625.
Zaslavsky, Thomas (1975), "Enfrentando arreglos: fórmulas de conteo de caras para particiones del espacio por hiperplanos", Memoirs of the American Mathematical Society , 1 (154), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/memo/0154 , MR 0357135 .