anillo de cohomología

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el anillo de cohomología de un espacio topológico X es un anillo formado por los grupos de cohomología de X junto con el producto de copas que actúa como multiplicación de anillos. Aquí, "cohomología" se entiende generalmente como cohomología singular , pero la estructura de anillo también está presente en otras teorías, como la cohomología de De Rham . Además, es funtorial : para una aplicación continua de espacios se obtiene un homomorfismo de anillos sobre anillos de cohomología, que es contravariante.

Específicamente, dada una secuencia de grupos de cohomología H ^k ( X ; R ) en X con coeficientes en un anillo conmutativo R (típicamente R es Z _n , Z , Q , R , o C ) se puede definir el producto de copa , que toma la forma

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

El producto de copa da como resultado una multiplicación sobre la suma directa de los grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Esta multiplicación convierte H ^• ( X ; R ) en un anillo. De hecho, es naturalmente un anillo graduado N, donde el entero no negativo k actúa como grado. El producto de copas respeta esta graduación.

El anillo de cohomología es conmutativo graduado en el sentido de que el producto de copas conmuta salvo un signo determinado por la graduación. Específicamente, para elementos puros de grado k y ℓ, tenemos

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Un invariante numérico derivado del anillo de cohomología es la longitud de copa , que significa el número máximo de elementos graduados de grado ≥ 1 que, al multiplicarse, dan un resultado distinto de cero. Por ejemplo, un espacio proyectivo complejo tiene una longitud de copa igual a su dimensión compleja .

En lo que sigue, las barras verticales alrededor de un elemento indican su dimensión en el anillo de cohomología.

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$dónde${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde${\displaystyle |\alpha |=2}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde${\displaystyle |\alpha |=2}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde${\displaystyle |\alpha |=4}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde${\displaystyle |\alpha |=4}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(T^{2};\mathbb {Z} )=\Lambda _{\mathbb {Z} }[\alpha _{1},\alpha _{2}]}$dónde${\displaystyle |\alpha _{1}|=|\alpha _{2}|=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(T^{n};\mathbb {Z} )=\Lambda _{\mathbb {Z} }[\alpha _{1},...,\alpha _{n}]}$dónde${\displaystyle |\alpha _ {i}|=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(S^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/[\alpha ^{2}]}$dónde${\displaystyle |\alpha |=n}$.
• Si${\displaystyle K}$es la botella Klein,${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(K;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/[\alpha ^{2},2\beta ,\alpha \beta ,\beta ^{2}]}$dónde${\displaystyle |\alpha |=1,|\beta |=2}$.
• Por la fórmula de Künneth , el anillo de cohomología módulo 2 del producto cartesiano de n copias de${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$es un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$.
• El anillo de cohomología reducido de sumas de cuñas es el producto directo de sus anillos de cohomología reducidos.
• El anillo de cohomología de suspensiones desaparece excepto por la parte de grado 0.

• Cohomología cuántica

• Novikov, SP (1996). Topología I, Estudio General . Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.