Fórmula de trazas de Arthur-Selberg

En matemáticas , la fórmula de traza de Arthur-Selberg es una generalización de la fórmula de traza de Selberg del grupo SL _{2 a} grupos reductivos arbitrarios sobre cuerpos globales , desarrollada por James Arthur en una larga serie de artículos desde 1974 hasta 2003. Describe el carácter de la representación de G ( A ) en la parte discreta L ² ₀ ( G ( F )\ G ( A )) de L ² ( G ( F )\ G ( A )) en términos de datos geométricos, donde G es un grupo algebraico reductivo definido sobre un cuerpo global F y A es el anillo de adeles de F .

Existen varias versiones de la fórmula de traza. La primera fue la fórmula de traza no refinada , cuyos términos dependen de operadores de truncamiento y tienen la desventaja de no ser invariantes. Posteriormente, Arthur encontró la fórmula de traza invariante y la fórmula de traza estable , más adecuadas para aplicaciones. La fórmula de traza simple ( Flicker y Kazhdan, 1988 ) es menos general, pero más fácil de demostrar. La fórmula de traza local es una analogía sobre cuerpos locales. La fórmula de traza relativa de Jacquet es una generalización donde se integra la función núcleo sobre subgrupos no diagonales.

• F es un campo global , como por ejemplo el campo de los números racionales.
• A es el anillo de adeles de F.
• G es un grupo algebraico reductivo definido sobre F.

En el caso en que G ( F )\ G ( A ) es compacto, la representación se divide como una suma directa de representaciones irreducibles, y la fórmula de traza es similar a la fórmula de Frobenius para el carácter de la representación inducida a partir de la representación trivial de un subgrupo de índice finito .

En el caso compacto, que se debe esencialmente a Selberg, los grupos G ( F ) y G ( A ) pueden ser reemplazados por cualquier subgrupo discreto Γ de un grupo localmente compacto G con Γ\ G compacto. El grupo G actúa sobre el espacio de funciones en Γ\ G mediante la representación regular derecha R , y esto se extiende a una acción del anillo de grupo de G , considerado como el anillo de funciones f en G. El carácter de esta representación viene dado por una generalización de la fórmula de Frobenius de la siguiente manera. La acción de una función f sobre una función φ en Γ\ G viene dada por

${\displaystyle \displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.}$

En otras palabras, R ( f ) es un operador integral en L ² (Γ\ G ) (el espacio de funciones en Γ\ G ) con núcleo

${\displaystyle \displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).}$

Por lo tanto, la traza de R ( f ) viene dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.}$

El núcleo K se puede escribir como

${\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)}$

donde O es el conjunto de clases de conjugación en Γ y

${\displaystyle K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es un elemento de la clase de conjugación${\displaystyle o}$, y${\displaystyle \Gamma _ {\gamma }}$es su centralizador en${\displaystyle \Gamma }$.

Por otro lado, la traza también viene dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (f(\pi ))}$

dónde${\displaystyle m(\pi )}$es la multiplicidad de la representación unitaria irreducible${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle G}$en${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$y${\displaystyle f(\pi )}$es el operador en el espacio de${\displaystyle \pi }$dado por${\displaystyle \int _{G}f(y)\pi (y)dy}$.

Una versión de la fórmula de traza ( Arthur 1983 ) afirma la igualdad de dos distribuciones en G ( A ) :

${\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}$

El lado izquierdo es el lado geométrico de la fórmula de traza, y es una suma sobre clases de equivalencia en el grupo de puntos racionales G ( F ) de G , mientras que el lado derecho es el lado espectral de la fórmula de traza y es una suma sobre ciertas representaciones de subgrupos de G ( A ) .

La versión de la fórmula de traza anterior no es particularmente fácil de usar en la práctica, uno de los problemas es que los términos que la componen no son invariantes bajo conjugación. Arthur (1981) encontró una modificación en la que los términos sí son invariantes.

La fórmula de traza invariante establece

${\displaystyle \sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi }$

dónde

• f es una función de prueba en G ( A )
• M abarca un conjunto finito de subgrupos de Levi racionales de G.
• ( M ( Q )) es el conjunto de clases de conjugación de M ( Q )
• Π( M ) es el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de M ( A )
• a ^M (γ) está relacionado con el volumen de M ( Q ,γ)\ M ( A ,γ)
• a ^M (π) está relacionado con la multiplicidad de la representación irreducible π en L ² ( M ( Q )\ M ( A ))
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\gamma ,f)}$ está relacionado con${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx}$
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\pi ,f)}$está relacionado con el rastro${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx}$
• W ₀ ( M ) es el grupo de Weyl de M .

Langlands (1983) sugirió la posibilidad de un refinamiento estable de la fórmula de traza que puede usarse para comparar la fórmula de traza de dos grupos diferentes. Arthur (2002) encontró y demostró dicha fórmula de traza estable .

Dos elementos de un grupo G ( F ) se denominan conjugados estables si son conjugados sobre la clausura algebraica del cuerpo F. La cuestión es que, al comparar elementos de dos grupos diferentes, relacionados, por ejemplo, por torsión interna, no se suele obtener una buena correspondencia entre clases de conjugación, sino solo entre clases de conjugación estables. Por lo tanto, para comparar los términos geométricos en las fórmulas de traza de dos grupos diferentes, se desea que dichos términos no solo sean invariantes bajo conjugación, sino que también se comporten adecuadamente en clases de conjugación estables; estas se denominan distribuciones estables .

La fórmula de traza estable expresa los términos de la fórmula de traza de un grupo G en términos de distribuciones estables. Sin embargo , estas distribuciones estables no son distribuciones del grupo G , sino distribuciones de una familia de grupos cuasi-divididos llamados grupos endoscópicos de G. Las integrales orbitales inestables del grupo G corresponden a las integrales orbitales estables de sus grupos endoscópicos H.

Existen varias formas sencillas de la fórmula de traza, que restringen de alguna manera las funciones de prueba f con soporte compacto ( Flicker y Kazhdan, 1988 ) . La ventaja de esto es que la fórmula de traza y su demostración se vuelven mucho más fáciles, y la desventaja es que la fórmula resultante es menos potente.

Por ejemplo, si las funciones f son cuspidales, lo que significa que

${\displaystyle \int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0}$

para cualquier radical unipotente N de un subgrupo parabólico propio (definido sobre F ) y cualesquiera x , y en G ( A ) , entonces el operador R ( f ) tiene imagen en el espacio de formas cúspides por lo que es compacto.

Jacquet y Langlands (1970) utilizaron la fórmula de traza de Selberg para demostrar la correspondencia de Jacquet-Langlands entre las formas automorfas en GL ₂ y sus formas retorcidas. La fórmula de traza de Arthur-Selberg puede utilizarse para estudiar correspondencias similares en grupos de rango superior. También puede emplearse para demostrar otros casos especiales de funtorialidad de Langlands, como el cambio de base, para algunos grupos.

Kottwitz (1988) utilizó la fórmula de traza de Arthur-Selberg para demostrar la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa .

Lafforgue (2002) describió cómo se utiliza la fórmula de la traza en su demostración de la conjetura de Langlands para grupos lineales generales sobre cuerpos de funciones.

• forma de onda de masas
• Forma de masa armónica
• Las conjeturas de Arthur

• Arthur, James (1981), "La fórmula de la traza en forma invariante", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 114 (1): 1– 74, doi : 10.2307/1971376 , JSTOR 1971376 , MR 0625344  
• Arthur, James (1983), "La fórmula de traza para grupos reductivos" (PDF) , Conferencia sobre teoría automórfica (Dijon, 1981) , Publ. Math. Univ. Paris VII, vol.  15, París: Univ. Paris VII, pp. 1–41 , CiteSeerX 10.1.1.207.4897 , doi : 10.1007/978-1-4684-6730-7_1 , ISBN   978-0-8176-3135-2, MR 0723181 
• Arthur, James (2002), "Una fórmula de traza estable. I. Expansiones generales" (PDF) , Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu , 1 (2): 175–277 , doi : 10.1017/S1474-748002000051 , MR 1954821 , archivado del original (PDF) el 9 de mayo de 2008. 
• Arthur, James (2005), "Una introducción a la fórmula de la traza" (PDF) , Análisis armónico, la fórmula de la traza y variedades de Shimura , Clay Math. Proc., vol.  4, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 1–263 , MR 2192011 , archivado del original (PDF) el 9 de mayo de 2008.  
• Parpadeo, Yuval Z.; Kazhdan, David A. (1988), "Una fórmula de traza simple", Journal d'Analyse Mathématique , 50 : 189–200 , doi : 10.1007/BF02796122
• Gelbart, Stephen (1996), Lectures on the Arthur-Selberg trace formula , University Lecture Series, vol.  9, Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math.RT/9505206 , doi : 10.1090/ulect/009 , ISBN 978-0-8218-0571-8, MR 1410260 , S2CID 118372096  
• Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Automorphic forms on GL(2) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  114, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654 , S2CID 122773458  
• Konno, Takuya (2000), "Un estudio sobre la fórmula de trazas de Arthur-Selberg" (PDF) , Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243– 288, MR 1840082 
• Kottwitz, Robert E. (1988), "Números de Tamagawa", Ann. of Math. , 2, 127 (3): 629– 646, doi : 10.2307/2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522  
• Labesse, Jean-Pierre (1986), "La formule des traces d'Arthur-Selberg", Astérisque (133): 73– 88, SEÑOR 0837215 
• Langlands, Robert P. (2001), "La fórmula de la traza y sus aplicaciones: una introducción al trabajo de James Arthur", Canadian Mathematical Bulletin , 44 (2): 160–209 , doi : 10.4153/CMB-2001-020-8 , ISSN 0008-4395 , MR 1827854  
• Lafforgue, Laurent (2002), "Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondeance de Langlands", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. I (Pekín, 2002) , Pekín: Higher Ed. Press, pp. 383–400 , MR 1989194  
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable , Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Publicaciones matemáticas de la Universidad de París VII], vol.  13, París: Université de Paris VII UER de Mathématiques, MR 0697567 
• Shokranian, Salahoddin (1992), La fórmula de traza de Selberg-Arthur , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1503, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0092305 , ISBN 978-3-540-55021-1, MR 1176101 

• Obras de James Arthur archivadas el 16 de mayo de 2021 en la Wayback Machine del Instituto Clay.
• Archivo de las Obras Completas de James Arthur en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto.