Álgebra de Artin

En álgebra , un álgebra de Artin es un álgebra Λ sobre un anillo de Artin conmutativo R que es un R -módulo finitamente generado . Reciben su nombre en honor a Emil Artin .

Cada álgebra de Artin es un anillo de Artin.

Existen varias dualidades diferentes que transforman módulos finitamente generados sobre Λ en módulos sobre el álgebra opuesta  Λ ^op .

• Si M es un Λ-módulo izquierdo, entonces el Λ-módulo derecho M ^* se define como Hom _Λ ( M ,Λ).
• El dual D ( M ) de un Λ-módulo izquierdo M es el Λ-módulo derecho D ( M )  =  Hom _R ( M , J ), donde J es el módulo dualizante de R , igual a la suma de las envolventes inyectivas de los R -módulos simples no isomorfos o, equivalentemente, la envolvente inyectiva de R /rad R . El dual de un módulo izquierdo sobre Λ no depende de la elección de R (salvo isomorfismo).
• La transpuesta Tr( M ) de un Λ-módulo izquierdo M es un Λ-módulo derecho definido como el cokernel del mapa Q ^*  → P ^* , donde P → Q → M → 0 es una presentación proyectiva mínima de M .       

• Teorema de Wedderburn-Artin

• Auslander, Maurice; Reiten, Idún; Smalø, Sverre O. (1997) [1995], Teoría de la representación de álgebras de Artin , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol.  36, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-59923-8, MR 1314422 , Zbl 0834.16001