anillo artiniano

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un anillo artiniano (a veces llamado anillo de Artin ) es un anillo que satisface la condición de cadena descendente en ideales (unilaterales) ; es decir, no existe una secuencia descendente infinita de ideales. Los anillos artinianos reciben su nombre de Emil Artin , quien descubrió que la condición de cadena descendente para ideales generaliza simultáneamente los anillos finitos y los anillos que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre cuerpos . La definición de anillos artinianos puede reformularse intercambiando la condición de cadena descendente por una noción equivalente: la condición de mínimo .

Precisamente, un anillo es artiniano por la izquierda si satisface la condición de cadena descendente en ideales izquierdos, artiniano por la derecha si satisface la condición de cadena descendente en ideales derechos, y artiniano o artiniano bilateral si es artiniano tanto por la izquierda como por la derecha. ^{[ 1 ]} Para anillos conmutativos, las definiciones izquierda y derecha coinciden, pero en general son distintas entre sí.

El teorema de Wedderburn-Artin caracteriza todo anillo artiniano simple como un anillo de matrices sobre un anillo de división . Esto implica que un anillo simple es artiniano por la izquierda si y solo si es artiniano por la derecha.

La misma definición y terminología se puede aplicar a los módulos , sustituyendo los ideales por submódulos .

Aunque la condición de cadena descendente parece dual a la condición de cadena ascendente , en anillos es, de hecho, la condición más fuerte. Específicamente, una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que un anillo artiniano izquierdo (o derecho) es automáticamente un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) . Esto no es cierto para módulos generales; es decir, un módulo artiniano no tiene por qué ser un módulo noetheriano .

• Un dominio integral es artiniano si y solo si es un cuerpo.
• Un anillo con un número finito de ideales, digamos izquierdos, es artiniano izquierdo. En particular, un anillo finito (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$) es artiniano de izquierda y derecha.
• Dejar${\displaystyle k}$ser un campo. Entonces${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$es artiniano para todo entero positivo n .
• Similarmente,${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot xy\oplus k\cdot y^{2}}$es un anillo artiniano con ideal máximo${\displaystyle (x,y)}$.
• Dejar${\displaystyle x}$Sea un endomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces la subálgebra${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$generado por${\displaystyle x}$es un anillo artiniano conmutativo.
• Si I es un ideal no nulo de un dominio de Dedekind A , entonces${\displaystyle A/I}$es un anillo artiniano principal . ^{[ 2 ]}
• Para cada${\displaystyle n\geq 1}$, el anillo de matriz completa${\displaystyle M_{n}(R)}$sobre un anillo artiniano izquierdo (o noetheriano izquierdo) R es artiniano izquierdo (o noetheriano izquierdo). ^{[ 3 ]}

Los dos siguientes son ejemplos de anillos no artinianos.

• Si R es cualquier anillo, entonces el anillo de polinomios R [ x ] no es artiniano, ya que el ideal generado por${\displaystyle x^{n+1}}$está (propiamente) contenido en el ideal generado por${\displaystyle x^{n}}$para todos los números naturales n . En cambio, si R es noetheriano, también lo es R [ x ] por el teorema de la base de Hilbert .
• El anillo de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$Es un anillo noetheriano, pero no es artiniano.

Sea M un módulo izquierdo sobre un anillo artiniano izquierdo. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes ( teorema de Hopkins ): (i) M es finitamente generado , (ii) M tiene longitud finita (es decir, tiene serie de composición ), (iii) M es noetheriano, (iv) M es artiniano. ^{[ 4 ]}

Sea A un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

• A es artiniano.
• A es un producto finito de anillos locales artinianos conmutativos . ^{[ 5 ]}
• A / nil( A ) es un anillo semisimple , donde nil( A ) es el nilradical de A .
• Todo módulo finitamente generado sobre A tiene una longitud finita. (véase más arriba)
• A tiene dimensión de Krull cero. ^{[ 6 ]} (En particular, el nilradical es el radical de Jacobson ya que los ideales primos son maximales).
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es finito y discreto.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$es discreto. ^{[ 7 ]}

Sea k un cuerpo y A un álgebra k finitamente generada . Entonces A es artiniana si y solo si A es finitamente generada como un k -módulo.

Un anillo local artiniano es completo. Un cociente y una localización de un anillo artiniano son artinianos.

Una versión del teorema de Wedderburn-Artin afirma que un anillo artiniano simple A es un anillo matricial sobre un anillo de división. En efecto, ^{[ 8 ]} sea I un ideal derecho minimal (distinto de cero) de A , que existe ya que A es artiniano (y el resto de la demostración no utiliza el hecho de que A sea artiniano). Entonces, dado que${\displaystyle IA}$es un ideal de dos caras,${\displaystyle AI=A}$ya que A es simple. Por lo tanto, podemos elegir${\displaystyle a_{i}\in A}$de modo que${\displaystyle 1\in a_{1}I+\cdots +a_{k}I}$Supongamos que k es mínimo con respecto a esa propiedad. Ahora consideremos el mapa de A -módulos derechos:

${\displaystyle {\begin{cases}I^{\oplus k}\to A,\\(y_{1},\dots ,y_{k})\mapsto a_{1}y_{1}+\cdots +a_{k}y_{k}\end{cases}}}$

Este mapa es sobreyectivo , puesto que la imagen es un ideal derecho y contiene 1. Si no es inyectivo , entonces, digamos,${\displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+\cdots +a_{k}y_{k}}$con distinto de cero${\displaystyle y_{1}}$. Entonces, por la minimalidad de I , tenemos${\displaystyle y_{1}A=I}$A continuación:

${\displaystyle a_{1}I=a_{1}y_{1}A\subset a_{2}I+\cdots +a_{k}I}$,

lo cual contradice la minimalidad de k . Por lo tanto,${\displaystyle I^{\oplus k}\simeq A}$y por lo tanto${\displaystyle A\simeq \operatorname {End} _{A}(A)\simeq M_{k}(\operatorname {End} _{A}(I))}$.

• Álgebra de Artin
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• Módulo serie
• Anillo semiperfecto
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• anillo noetheriano