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opción asiática

Una opción asiática (o de valor promedio ) es un tipo especial de contrato de opción . En las opciones asiáticas, el pago se determina por el precio promedio del activo subyacen...

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Una opción asiática (o de valor promedio ) es un tipo especial de contrato de opción . En las opciones asiáticas, el pago se determina por el precio promedio del activo subyacente durante un período de tiempo preestablecido. Esto difiere de las opciones europeas y americanas habituales , donde el pago del contrato depende del precio del instrumento subyacente al momento del ejercicio; por lo tanto, las opciones asiáticas son una de las formas básicas de opciones exóticas .

Existen dos tipos de opciones asiáticas: la opción de precio promedio (precio de ejercicio fijo), donde el precio de ejercicio está predeterminado y se utiliza el precio promedio del activo subyacente para el cálculo de la ganancia; y la opción de precio de ejercicio promedio (precio de ejercicio flotante), donde el precio promedio del activo subyacente durante el período se convierte en el precio de ejercicio.

Una ventaja de las opciones asiáticas es que reducen el riesgo de manipulación del mercado del instrumento subyacente al vencimiento. [ 1 ] Otra ventaja de las opciones asiáticas radica en su costo relativo en comparación con las opciones europeas o americanas. Debido a la función de promediación, las opciones asiáticas reducen la volatilidad inherente a la opción; por lo tanto, suelen ser más baratas que las opciones europeas o americanas. Esto puede ser una ventaja para las corporaciones sujetas a la Declaración n.° 123 revisada del Consejo de Normas de Contabilidad Financiera (FASB) , que exige que las corporaciones contabilicen como gasto las opciones sobre acciones de los empleados. [ 2 ]

Etimología

En la década de 1980, Mark Standish trabajaba en Bankers Trust, con sede en Londres, en el área de derivados de renta fija y arbitraje por cuenta propia. David Spaughton trabajaba como analista de sistemas en los mercados financieros de Bankers Trust desde 1984, cuando el Banco de Inglaterra otorgó las primeras licencias a los bancos para operar con opciones de divisas en el mercado londinense. En 1987, Standish y Spaughton se encontraban en Tokio por negocios cuando desarrollaron la primera fórmula de valoración comercial para opciones vinculadas al precio promedio del petróleo crudo. Llamaron a esta opción exótica la opción asiática, debido a su ubicación en Asia. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

Permutaciones de la opción asiática

Existen numerosas variantes de la opción asiática; las más básicas se enumeran a continuación:

do(T)=máximo(A(0,T)−K,0),{\displaystyle C(T)={\text{máx}}\left(A(0,T)-K,0\right),}
donde A denota el precio promedio para el período [0, T], y K es el precio de ejercicio. La opción de venta equivalente viene dada por
PAG(T)=máximo(K−A(0,T),0).{\displaystyle P(T)={\text{máx}}\left(KA(0,T),0\right).}
  • Pago de opción de compra asiática con precio de ejercicio flotante (o tasa flotante)
do(T)=máximo(S(T)−kA(0,T),0),{\displaystyle C(T)={\text{máx}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}
donde S(T) es el precio al vencimiento y k es una ponderación, generalmente 1, por lo que a menudo se omite en las descripciones. El pago equivalente de la opción de venta viene dado por
PAG(T)=máximo(kA(0,T)−S(T),0).{\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}

Tipos de promedio

El promedioA{\displaystyle A}puede obtenerse de muchas maneras. Convencionalmente, esto significa un promedio aritmético . En el caso continuo , esto se obtiene mediante

A(0,T)=1T∫0TS(t)dt.{\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}

En el caso de monitoreo discreto (con monitoreo en los tiempos)0=t0,t1,t2,…,tnorte=T{\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}yti=i⋅Tnorte{\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}) tenemos el promedio dado por

A(0,T)=1norte∑i=1norteS(ti).{\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}

También existen opciones asiáticas con media geométrica ; en el caso continuo, esto viene dado por

A(0,T)=exp⁡(1T∫0Tln⁡(S(t))dt).{\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}

Precios de las opciones asiáticas

La valoración de las opciones asiáticas depende del modelo. La mayor parte del trabajo en la literatura se ha realizado para el caso en que el activo subyacente sigue el modelo de Black-Scholes.dSt=σStdWt+(r−q)Stdt{\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+(rq)S_{t}dt}No existe un resultado exacto para opciones asiáticas con promedio aritmético en este modelo. Sin embargo, se puede obtener fácilmente un resultado exacto para opciones asiáticas con promedio geométrico, véase, por ejemplo, [ 7 ] .

Se pueden obtener aproximaciones analíticas utilizando el método de ajuste de momentos. La versión más simple ajusta los dos primeros momentos del promedio del activo a una distribución log-normal. Esta aproximación se conoce como la aproximación de Levy [ 8 ].

En un artículo de Kemna y Vorst se presenta una discusión sobre el problema de la valoración de opciones asiáticas con métodos de Monte Carlo . [ 9 ]

En el enfoque de integral de trayectoria para la valoración de opciones, [ 10 ] el problema del promedio geométrico se puede resolver mediante el potencial clásico efectivo [ 11 ] de Feynman y Kleinert . [ 12 ]

Rogers y Shi resuelven el problema de precios con un enfoque de EDP. [ 13 ]

Un modelo de varianza gamma puede implementarse de manera eficiente al valorar opciones de estilo asiático. Luego, el uso de la representación de la serie de Bondesson para generar el proceso de varianza gamma puede aumentar el rendimiento computacional del valorador de opciones asiáticas. [ 14 ]

Dentro de los modelos de difusión con saltos y volatilidad estocástica, el problema de valoración de las opciones asiáticas geométricas aún puede resolverse. [ 15 ] Para la opción asiática aritmética en los modelos de Lévy, se pueden utilizar métodos numéricos [ 15 ] o cotas analíticas. [ 16 ]

Las opciones asiáticas también pueden valorarse mediante una expansión a corto plazo, similar al enfoque utilizado para las opciones europeas en el modelo de volatilidad SABR . Se puede definir una volatilidad implícita de una opción asiática.ΣA(K,T){\displaystyle \Sigma _{A}(K,T)}De tal forma que el precio asiático se obtiene sustituyendo esta volatilidad implícita en la fórmula de Black-Scholes. La volatilidad implícita de la opción asiática puede expresarse en potencias de vencimiento.ΣA(K,T)=ΣA(0)(K)+ΣA(1)(K)T+O(T2){\displaystyle \Sigma _{A}(K,T)=\Sigma _{A}^{(0)}(K)+\Sigma _{A}^{(1)}(K)T+O(T^{2})}El término de orden principalΣA(0)(K){\displaystyle \Sigma _{A}^{(0)}(K)}Se conoce en forma cerrada para varios modelos, para el caso de opciones asiáticas con promedio continuo:

  • el modelo de volatilidad local, [ 17 ] [ 18 ] incluyendo el modelo Black-Scholes como un caso límite con volatilidad constante. Para el modelo Black-Scholes también la corrección subprincipalΣA(1)(K){\displaystyle \Sigma _{A}^{(1)}(K)}es conocido [ 19 ]
  • el modelo de volatilidad estocástica local [ 20 ]
  • modelo de volatilidad local con saltos [ 21 ]

El término de orden principal en el modelo Black-Scholes se aproxima bien con una expansión en log-strike.incógnita=registro⁡(K/S0){\displaystyle x=\log(K/S_{0})}Los tres primeros términos son

ΣA(0)(K)=13σ(1+110registro⁡KS0−232100registro2⁡KS0+⋯){\displaystyle \Sigma _{A}^{(0)}(K)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\sigma {\Big (}1+{\frac {1}{10}}\log {\frac {K}{S_{0}}}-{\frac {23}{2100}}\log ^{2}{\frac {K}{S_{0}}}+\cdots {\Big )}}

Estos resultados para la expansión a corto plazo no se aplican directamente a las opciones asiáticas con promedio discreto, que requieren un tratamiento aparte.

Opciones de compra y venta europeas y asiáticas con promedio geométrico

Podemos obtener una solución analítica para la opción asiática geométrica; cuando se utiliza junto con variables de control en simulaciones de Monte Carlo , la fórmula resulta útil para obtener valores justos para la opción asiática aritmética.

Defina la media geométrica en tiempo continuo.GRAMOT{\displaystyle G_{T}}como:GRAMOT=exp⁡[1T∫0Tregistro⁡S(t)dt]{\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}donde el subyacenteS(t){\displaystyle S(t)}sigue un movimiento browniano geométrico estándar . A partir de aquí, es sencillo calcular que:GRAMOT=S0mi12(r−12σ2)TmiσT∫0T(T−t)dWt{\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(Tt)dW_{t}}}Para derivar la integral estocástica, que originalmenteσT∫0TWtdt{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}, tenga en cuenta que:d[(T−t)Wt]=(T−t)dWt−Wtdt{\displaystyle d[(Tt)W_{t}]=(Tt)dW_{t}-W_{t}dt}Esto puede confirmarse mediante el lema de Itô . Integrando esta expresión y utilizando el hecho de queW0=0{\displaystyle W_{0}=0}, encontramos que las integrales son equivalentes; esto será útil más adelante en la derivación. Usando precios de martingala , el valor de la opción de compra europea asiática con promedio geométricodoGRAMO{\displaystyle C_{G}}está dado por:doGRAMO=mi−rTmi[(GRAMOT−K)+]=mi−rT2π∫ℓ∞(GRAMOT−K)mi−incógnita2/2dincógnita{\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}Para encontrarℓ{\displaystyle \ell }debemos encontrarincógnita{\displaystyle x}de tal manera que:GRAMOT≥K⟹S0mi12(r−12σ2)TmiσT∫0T(T−t)dWt≥K{\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}Tras algunos cálculos algebraicos, encontramos que:σT∫0T(T−t)dWt≥registro⁡KS0−12(r−12σ2)T{\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}En este punto, la integral estocástica es el obstáculo para encontrar una solución a este problema. Sin embargo, es fácil verificar con la isometría de Itô que la integral se distribuye normalmente como:σT∫0T(T−t)dWt∼norte(0,σ2T3){\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}Esto equivale a decir queσT∫0T(T−t)dWt=σT3incógnita{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}conincógnita∼norte(0,1){\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}Por lo tanto, tenemos que:incógnita≥registro⁡KS0−12(r−12σ2)TσT/3≡ℓ{\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }Ahora es posible calcular el valor de la llamada asiática europea mediante el promedio geométrico. En este punto, es útil definir:b=12(r−12σGRAMO2),σGRAMO=σ3,d1=registro⁡S0K+(b+12σGRAMO2)TσGRAMOT,d2=d1−σGRAMOT{\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}Siguiendo el mismo proceso que se realiza con el modelo Black-Scholes , podemos encontrar que:doGRAMO=S0mi(b−r)TΦ(d1)−Kmi−rTΦ(d2){\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}De hecho, al pasar por los mismos argumentos para el europeo asiático con promedio geométricoPAGGRAMO{\textstyle P_{G}}, encontramos que:PAGGRAMO=Kmi−rTΦ(−d2)−S0mi(b−r)TΦ(−d1){\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}Esto implica que existe una versión de paridad put-call para opciones asiáticas europeas con promedio geométrico:doGRAMO−PAGGRAMO=S0mi(b−r)T−Kmi−rT{\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}

Variaciones de la opción asiática

Hay algunas variantes que se venden en el mercado extrabursátil. Por ejemplo, BNP Paribas introdujo una variante, denominada opción asiática condicional, donde el precio subyacente promedio se basa en observaciones de precios por encima de un umbral preestablecido. Una opción de venta asiática condicional tiene el siguiente pago:

máximo(K−∫0TS(t)I{S(t)>b}dt∫0TI{S(t)>b}dt,0),{\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}

dóndeb>0{\displaystyle b>0}es el umbral yIA{\displaystyle I_{A}}es una función indicadora que es igual a1{\displaystyle 1}siA{\displaystyle A}es verdadero y es igual a cero en caso contrario. Esta opción ofrece una alternativa más económica que la opción put asiática clásica, ya que la limitación del rango de observaciones reduce la volatilidad del precio promedio. Generalmente se vende al precio de ejercicio y tiene una vigencia de hasta cinco años. Feng y Volkmer analizan la valoración de las opciones asiáticas condicionales . [ 22 ]

Referencias

  1. ↑ Kemna y Vorst 1990 , pág. 1077 
  2. ↑ FASB (2004). Pago basado en acciones (Informe). Consejo de Normas de Contabilidad Financiera. Archivado del original el 5 de diciembre de 2018. Consultado el 7 de abril de 2010 .
  3. ↑ William Falloon; David Turner, eds. (1999). "La evolución de un mercado". Gestión del riesgo de precios de la energía . Londres: Risk Books.
  4. ↑ Wilmott, Paul (2006). "25" . Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas . John Wiley & Sons. pág. 427. ISBN  9780470060773.
  5. ↑ Palmer, Brian (14 de julio de 2010), ¿ Por qué llamamos "exóticos" a los instrumentos financieros? Porque algunos son de Japón. , Slate
  6. ↑ Glyn A. Holton (2013). "Opción asiática (opción promedio)" . Enciclopedia de riesgos. Archivado del original el 6 de diciembre de 2013. Recuperado el 10 de agosto de 2013. Una opción asiática (también llamada opción promedio) es una opción cuyo pago está vinculado al valor promedio del subyacente en un conjunto específico de fechas durante la vida de la opción." "[E]n situaciones en las que el subyacente se negocia poco o existe el potencial de que su precio sea manipulado, una opción asiática ofrece cierta protección. Es más difícil manipular el valor promedio de un subyacente durante un período prolongado que manipularlo justo al vencimiento de una opción.
  7. ↑ Hull, John (2022). Opciones, futuros y otros derivados (11.ª ed.). Hoboken: Pearson (publicado en 2019). 
  8. ↑ Levy, Edmond (1992). "Valoración de opciones sobre divisas con tipo de cambio medio europeo" . Journal of International Money and Finance . 11 (5): 474– 491. doi : 10.1016/0261-5606(92)90013-N . ISSN 0261-5606 . 
  9. ↑ Kemna, AGZ; Vorst, ACF (1990), "Un método de valoración de opciones basado en valores promedio de activos" , Journal of Banking & Finance , 14 (1): 113–129 , doi : 10.1016/0378-4266(90)90039-5
  10. ↑ Kleinert , H. (2009), Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , archivado del original el 24 de abril de 2009 , recuperado el 10 de enero de 2010.
  11. ↑ Feynman RP , Kleinert H. (1986), "Funciones de partición clásicas efectivas" (PDF) , Physical Review A , 34 (6): 5080–5084 , Bibcode : 1986PhRvA..34.5080F , doi : 10.1103/PhysRevA.34.5080 , PMID 9897894 
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  13. ↑ Rogers, LCG; Shi, Z. (1995), "El valor de una opción asiática" (PDF) , Journal of Applied Probability , 32 (4): 1077–1088 , doi : 10.2307/3215221 , JSTOR 3215221 , S2CID 120793076 , archivado del original (PDF) el 20 de marzo de 2009 , recuperado el 28 de noviembre de 2008.  
  14. ↑ Mattías Sander. Representación de Bondesson del modelo de varianza gamma y fijación de precios de opciones de Monte Carlo. Lunds Tekniska Högskola 2008
  15. 1 2 Kirkby, JL; Nguyen, Duy (2020), "Valoración eficiente de opciones asiáticas bajo modelos de volatilidad estocástica y difusiones con cambio de régimen" , Annals of Finance , 16 (3): 307–351 , doi : 10.1007/s10436-020-00366-0 , S2CID 8038376 
  16. ↑ Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Pricing bounds for discrete arithmetic Asian options under Lévy models", Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193– 5207, Bibcode : 2010PhyA..389.5193L , doi : 10.1016/j.physa.2010.07.026
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  18. ↑ Arguin, Louis-Pierre; Liu, Nien-Lin; Wang, Tai-Ho (agosto de 2018). "Trayectoria más probable en la valoración de opciones asiáticas bajo modelos de volatilidad local" . International Journal of Theoretical and Applied Finance . 21 (05): 1850029. doi : 10.1142/S0219024918500292 . ISSN 0219-0249 . 
  19. ↑ Pirjol, Dan (2023). "Corrección subprincipal a la volatilidad de las opciones asiáticas en el modelo black–scholes" . International Journal of Theoretical and Applied Finance . 26 ( 02–03 ): 2350005. doi : 10.1142/S021902492350005X . ISSN 0219-0249 . 
  20. ↑ Pirjol, Dan; Zhu, Lingjiong (30 de septiembre de 2025). "Opciones asiáticas para modelos de volatilidad estocástica local en el régimen de vencimiento corto" . SIAM Journal on Financial Mathematics . 16 (3): 1176– 1204. doi : 10.1137/25M1729629 .
  21. ↑ Pirjol, Dan; Zhu, Lingjiong (21 de marzo de 2024). "Asintótica para opciones asiáticas de vencimiento corto en modelos de difusión con saltos y volatilidad local" . Quantitative Finance . 24 ( 3–4 ): 433–449 . doi : 10.1080/14697688.2024.2326114 . ISSN 1469-7688 . 
  22. ↑ Feng, R.; Volkmer, HW (2015), "Opciones asiáticas condicionales", International Journal of Theoretical and Applied Finance , 18 (6): 1550040, arXiv : 1505.06946 , doi : 10.1142/S0219024915500405 , S2CID 3245552