Álgebra asociativa

La definición equivale a decir que un álgebra asociativa unitaria sobre R es un objeto monoide en R -Mod (la categoría monoide de R -módulos). Por definición, un anillo es un objeto monoide en la categoría de grupos abelianos ; por lo tanto, la noción de álgebra asociativa se obtiene reemplazando la categoría de grupos abelianos por la categoría de módulos .

Llevando esta idea más allá, algunos autores han introducido un "anillo generalizado" como un objeto monoide en alguna otra categoría que se comporta como la categoría de módulos. De hecho, esta reinterpretación permite evitar hacer una referencia explícita a elementos de un álgebra A. Por ejemplo, la asociatividad se puede expresar de la siguiente manera. Por la propiedad universal de un producto tensorial de módulos , la multiplicación (la aplicación R -bilineal) corresponde a una única aplicación R -lineal.

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$.

La asociatividad se refiere entonces a la identidad:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$

Un álgebra asociativa equivale a un homomorfismo de anillos cuya imagen se encuentra en el centro . De hecho, partiendo de un anillo A y un homomorfismo de anillos η  : R → A cuya imagen se encuentra en el centro de A , podemos hacer de A un R -álgebra definiendo

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

para todo r ∈ R y x ∈ A . Si A es un R -álgebra, tomando x = 1 , la misma fórmula define a su vez un homomorfismo de anillos η  : R → A cuya imagen se encuentra en el centro.

Si un anillo es conmutativo, entonces es igual a su centro, de modo que un álgebra R conmutativa se puede definir simplemente como un anillo conmutativo A junto con un homomorfismo de anillos conmutativo η  : R → A .

El homomorfismo de anillos η que aparece arriba se suele llamar mapa de estructura . En el caso conmutativo, se puede considerar la categoría cuyos objetos son homomorfismos de anillos R → A para un R fijo , es decir, R -álgebras conmutativas, y cuyos morfismos son homomorfismos de anillos A → A ′ que están bajo R ; es decir, R → A → A ′ es R → A ′ (es decir, la categoría de coslices de la categoría de anillos conmutativos bajo R ). El functor de espectro primo Spec determina entonces una antiequivalencia de esta categoría a la categoría de esquemas afines sobre Spec R.

Cómo debilitar la hipótesis de conmutatividad es un tema de la geometría algebraica no conmutativa y, más recientemente, de la geometría algebraica derivada . Véase también: Anillo de matriz genérico .

• Cualquier anillo A puede considerarse un álgebra Z. El homomorfismo único de anillos de Z a A está determinado por el hecho de que debe enviar 1 a la identidad en A. Por lo tanto, los anillos y las álgebras Z son conceptos equivalentes, del mismo modo que los grupos abelianos y los módulos Z son equivalentes.
• Cualquier anillo de característica n es un álgebra ( Z / n Z ) de la misma manera.
• Dado un R -módulo M , el anillo de endomorfismos de M , denotado End _R ( M ) es un R -álgebra definiendo ( r · φ )( x ) = r · φ ( x ) .
• Cualquier anillo de matrices con coeficientes en un anillo conmutativo R forma un álgebra sobre R bajo la suma y la multiplicación de matrices. Esto coincide con el ejemplo anterior cuando M es un módulo libre sobre R generado finitamente .
  • En particular, las matrices cuadradas n -por- n con entradas del cuerpo K forman un álgebra asociativa sobre K.
• Los números complejos forman un álgebra conmutativa bidimensional sobre los números reales .
• Los cuaterniones forman un álgebra asociativa de 4 dimensiones sobre los números reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, ya que estos últimos no se encuentran en el centro de los cuaterniones).
• Todo anillo de polinomios R [ x ₁ , ..., x _n ] es un álgebra R conmutativa . De hecho, esta es el álgebra R conmutativa libre en el conjunto { x ₁ , ..., x _n } .
• El álgebra R libre sobre un conjunto E es un álgebra de "polinomios" con coeficientes en R e indeterminadas no conmutativas tomadas del conjunto E.
• El álgebra tensorial de un R -módulo es, naturalmente, un álgebra R - asociativa . Lo mismo ocurre con cocientes como las álgebras exterior y simétrica . En términos categóricos, el functor que asigna un R -módulo a su álgebra tensorial es adjunto izquierdo del functor que asigna un R -álgebra a su R -módulo subyacente (sin tener en cuenta la estructura multiplicativa).
• Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo R , la suma directa de módulos R ⊕ M tiene la estructura de un álgebra sobre R al considerar que M consta de elementos infinitesimales; es decir, la multiplicación se expresa como ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . Esta noción se conoce a veces como el álgebra de los números duales .
• Un álgebra cuasi-libre , introducida por Cuntz y Quillen, es una especie de generalización de un álgebra libre y un álgebra semisimple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

• Si R es conmutativo y X es cualquier conjunto, entonces A = R ^X = { f  : X → R } con las operaciones puntuales es un álgebra conmutativa.

• El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es un álgebra asociativa que puede utilizarse para estudiar el álgebra de Lie dada.
• Si G es un grupo y R es un anillo conmutativo, el conjunto de todas las funciones de G a R con soporte finito forma un álgebra sobre R con la convolución como multiplicación. Se denomina álgebra de grupo de G. Esta construcción constituye el punto de partida para su aplicación al estudio de grupos (discretos).
• Si G es un grupo algebraico (por ejemplo, un grupo de Lie complejo semisimple ), entonces el anillo de coordenadas de G es el álgebra de Hopf A correspondiente a G. Muchas estructuras de G se traducen en las de A.
• Un álgebra de carcaj (o un álgebra de caminos) de un grafo dirigido es el álgebra asociativa libre sobre un cuerpo generado por los caminos en el grafo.

• Dado cualquier espacio de Banach X , los operadores lineales continuos A : X → X forman un álgebra asociativa (usando la composición de operadores como multiplicación); esto es un álgebra de Banach . 
• Dado cualquier espacio topológico X , las funciones continuas de valores reales o complejos en X forman un álgebra asociativa real o compleja; aquí las funciones se suman y multiplican punto por punto.
• El conjunto de semimartingalas definidas en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P) forma un anillo bajo integración estocástica .
• El álgebra de Weyl
• Un álgebra de Azumaya

• Las álgebras de Clifford , que son útiles en geometría y física .
• Las álgebras de incidencia de conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos son álgebras asociativas consideradas en combinatoria .
• El álgebra de partición y sus subálgebras, incluyendo el álgebra de Brauer y el álgebra de Temperley-Lieb .
• Un álgebra diferencial graduada es un álgebra asociativa junto con una graduación y una diferencial. Por ejemplo, el álgebra de De Rham.${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$, dónde${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$consiste en p -formas diferenciales en una variedad M , es un álgebra diferencial graduada.

• Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa conmutativa sobre un cuerpo junto con una estructura de álgebra de Lie tal que el corchete de Lie {,} satisface la regla de Leibniz; es decir, { fg , h } = f { g , h } + g { f , h } .
• Dado un álgebra de Poisson${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, consideremos el espacio vectorial${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$de series de potencias formales sobre${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Si ${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$tiene una estructura de álgebra asociativa con multiplicación${\displaystyle *}$de tal manera que, para${\displaystyle f,g\in {\mathfrak {a}}}$,

  ${\displaystyle f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,}$

entonces${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$se denomina cuantización de deformación de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

• Un álgebra envolvente cuantizada . El dual de tal álgebra resulta ser un álgebra asociativa (véase §  Dual de un álgebra asociativa ) y es, filosóficamente hablando, el anillo de coordenadas (cuantizado) de un grupo cuántico .
• Álgebra de Gerstenhaber

Como A es artiniano, si es conmutativo, entonces es un producto finito de anillos locales artinianos cuyos cuerpos residuales son álgebras sobre el cuerpo base k . Ahora bien, un anillo local artiniano reducido es un cuerpo y, por lo tanto, lo siguiente es equivalente ^{[ 4 ].}

1. ${\displaystyle A}$es separable.
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$se reduce, donde${\displaystyle {\overline {k}}}$es algún cierre algebraico de k .
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$para algún n .
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$es el número de${\displaystyle k}$homomorfismos de álgebra${\displaystyle A\to {\overline {k}}}$.

Dejar${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)}$, el grupo profinito de extensiones de Galois finitas de k . Entonces${\displaystyle A\mapsto X_{A}=\{k{\text{homomorfismos de álgebra }}A\to k_{s}\}}$es una antiequivalencia de la categoría de k- álgebras separables de dimensión finita a la categoría de conjuntos finitos con continuo${\displaystyle \Gamma }$-acciones. ^{[ 5 ]}

Dado que un anillo artiniano simple es un anillo matricial (completo) sobre un anillo de división , si A es un álgebra simple, entonces A es un álgebra matricial (completo) sobre un álgebra de división D sobre k ; es decir, A = M _n ( D ) . De manera más general, si A es un álgebra semisimple, entonces es un producto finito de álgebras matriciales (sobre varias k -álgebras de división), hecho conocido como el teorema de Artin-Wedderburn .

El hecho de que A sea artiniano simplifica la noción de radical de Jacobson ; para un anillo artiniano, el radical de Jacobson de A es la intersección de todos los ideales maximales (bilaterales) (en contraste, en general, un radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales maximales izquierdos o la intersección de todos los ideales maximales derechos).

El teorema principal de Wedderburn establece: ^{[ 6 ]} para un álgebra A de dimensión finita con un ideal nilpotente I , si la dimensión proyectiva de A / I como módulo sobre el álgebra envolvente ( A / I ) ^e es como máximo uno, entonces la sobreyección natural p  : A → A / I se divide; es decir, A contiene una subálgebra B tal que p | _B  : B ~ → A / I es un isomorfismo. Tomando I como el radical de Jacobson, el teorema dice en particular que el radical de Jacobson se complementa con un álgebra semisimple. El teorema es un análogo del teorema de Levi para álgebras de Lie .

Un álgebra asociativa sobre K viene dada por un espacio vectorial sobre K, A, dotado de una aplicación bilineal A × A → A con dos entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (producto), así como un morfismo K → A que identifica los múltiplos escalares de la identidad multiplicativa. Si la aplicación bilineal A × A → A se reinterpreta como una aplicación lineal (es decir, un morfismo en la categoría de espacios vectoriales sobre K ) A ⊗ A → A (por la propiedad universal del producto tensorial ), entonces podemos ver un álgebra asociativa sobre K como un espacio vectorial sobre K, A, dotado de dos morfismos (uno de la forma A ⊗ A → A y otro de la forma K → A ) que satisfacen ciertas condiciones que se reducen a los axiomas del álgebra. Estos dos morfismos pueden dualizarse utilizando la dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra ; esto define la estructura de una coálgebra .

También existe una noción abstracta de F -coalgebra , donde F es un functor . Esto guarda una vaga relación con la noción de coalgebra que se analizó anteriormente.

Consideremos, por ejemplo, dos representaciones σ  : A → End( V ) y τ  : A → End( W ) . Se podría intentar formar una representación de producto tensorial ρ  : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) según cómo actúe sobre el espacio vectorial producto, de modo que

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}$

Sin embargo, tal mapa no sería lineal, ya que uno tendría

${\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

para k ∈ K . Se puede rescatar este intento y restaurar la linealidad imponiendo una estructura adicional, definiendo un homomorfismo de álgebra Δ  : A → A ⊗ A , y definiendo la representación del producto tensorial como

${\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}$

Un homomorfismo Δ se denomina comultiplicación si satisface ciertos axiomas. La estructura resultante se llama bialgebra . Para ser coherente con las definiciones del álgebra asociativa, la coálgebra debe ser coasociativa y, si el álgebra es unitaria, entonces la coálgebra también debe ser counitaria. Un álgebra de Hopf es una bialgebra con una estructura adicional (el llamado antípoda), que permite no solo definir el producto tensorial de dos representaciones, sino también el módulo Hom de dos representaciones (de nuevo, de forma similar a como se hace en la teoría de representaciones de grupos).

Se puede intentar ser más ingenioso al definir un producto tensorial. Consideremos, por ejemplo,

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

de modo que la acción sobre el espacio del producto tensorial viene dada por

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$.

Esta aplicación es claramente lineal en x , por lo que no presenta el problema de la definición anterior. Sin embargo, no conserva la multiplicación:

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

Pero, en general, esto no es igual a

${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

Esto demuestra que esta definición de producto tensorial es demasiado ingenua; la solución obvia es definirlo de forma antisimétrica, de modo que los dos términos centrales se cancelen. Esto conduce al concepto de álgebra de Lie .