Pierre Deligne

Pierre René, vizconde Deligne ( en francés: [dəliɲ] ; nacido el 3 de octubre de 1944) es un matemático belga. Es conocido por su trabajo sobre las conjeturas de Weil , que condujeron a una prueba completa en 1973. Ganó el premio Abel en 2013 , el premio Wolf en 2008 , el premio Crafoord en 1988 y la medalla Fields en 1978 .

Deligne nació en Etterbeek , asistió a la escuela Athénée Adolphe Max y estudió en la Université libre de Bruxelles (ULB), escribiendo una disertación titulada Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales (Teorema de Lefschetz y criterios de degeneración de secuencias espectrales). Completó su doctorado en la Universidad de París-Sur en Orsay en 1972 bajo la supervisión de Alexander Grothendieck , con una tesis titulada Théorie de Hodge .

A partir de 1965, Deligne trabajó con Grothendieck en el Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) cerca de París, inicialmente en la generalización dentro de la teoría de esquemas del teorema principal de Zariski . En 1968, también trabajó con Jean-Pierre Serre ; su trabajo condujo a resultados importantes sobre las representaciones l-ádicas asociadas a formas modulares y las ecuaciones funcionales conjeturales de funciones L. Deligne también se centró en temas de la teoría de Hodge . Introdujo el concepto de pesos y los probó en objetos de geometría compleja . También colaboró ​​​​con David Mumford en una nueva descripción de los espacios de módulos para curvas. Su trabajo llegó a ser visto como una introducción a una forma de la teoría de pilas algebraicas , y recientemente se ha aplicado a cuestiones que surgen de la teoría de cuerdas . ^[1] Pero la contribución más famosa de Deligne fue su prueba de la tercera y última de las conjeturas de Weil . Esta prueba completó un programa iniciado y desarrollado en gran medida por Alexander Grothendieck que duró más de una década. Como corolario, demostró la célebre conjetura de Ramanujan-Petersson para formas modulares de peso mayor que uno; el peso uno se demostró en su trabajo con Serre. El artículo de Deligne de 1974 contiene la primera prueba de las conjeturas de Weil . La contribución de Deligne fue proporcionar la estimación de los valores propios del endomorfismo de Frobenius , considerado el análogo geométrico de la hipótesis de Riemann . También condujo a la prueba del teorema del hiperplano de Lefschetz y las estimaciones antiguas y nuevas de las sumas exponenciales clásicas, entre otras aplicaciones. El artículo de Deligne de 1980 contiene una versión mucho más general de la hipótesis de Riemann.

Desde 1970 hasta 1984, Deligne fue miembro permanente del personal del IHÉS. Durante este tiempo, realizó muchos trabajos importantes fuera de su trabajo sobre geometría algebraica. En un trabajo conjunto con George Lusztig , Deligne aplicó la cohomología étale para construir representaciones de grupos finitos de tipo Lie ; con Michael Rapoport , Deligne trabajó en los espacios de módulos desde el punto de vista de la aritmética "fina", con aplicación a las formas modulares . Recibió una Medalla Fields en 1978. En 1984, Deligne se trasladó al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

En términos de la finalización de algunos de los programas de investigación subyacentes de Grothendieck, definió los ciclos absolutos de Hodge , como un sustituto de la teoría de los motivos, que aún es en gran medida conjetural y que falta . Esta idea permite evitar la falta de conocimiento de la conjetura de Hodge para algunas aplicaciones. La teoría de las estructuras mixtas de Hodge , una poderosa herramienta en geometría algebraica que generaliza la teoría clásica de Hodge, fue creada mediante la aplicación de la filtración de pesos, la resolución de singularidades de Hironaka y otros métodos, que luego utilizó para demostrar las conjeturas de Weil. Reelaboró ​​la teoría de categorías de Tannaki en su artículo de 1990 para el "Grothendieck Festschrift", empleando el teorema de Beck : el concepto de categoría de Tannaki es la expresión categórica de la linealidad de la teoría de los motivos como la cohomología de Weil definitiva . Todo esto forma parte del yoga de los pesos , que une la teoría de Hodge y las representaciones l-ádicas de Galois . La teoría de variedades de Shimura está relacionada con la idea de que dichas variedades deberían parametrizar no sólo familias buenas (aritméticamente interesantes) de estructuras de Hodge, sino motivos reales. Esta teoría aún no es un producto terminado, y las tendencias más recientes han utilizado enfoques de la teoría K.

Junto con Alexander Beilinson , Joseph Bernstein y Ofer Gabber , Deligne realizó contribuciones definitivas a la teoría de haces perversos . ^[2] Esta teoría juega un papel importante en la reciente prueba del lema fundamental por Ngô Bảo Châu . También fue utilizada por el propio Deligne para aclarar en gran medida la naturaleza de la correspondencia de Riemann-Hilbert , que extiende el vigésimo primer problema de Hilbert a dimensiones superiores. Antes del artículo de Deligne, aparecieron la tesis de Zoghman Mebkhout de 1980 y el trabajo de Masaki Kashiwara a través de la teoría de D-módulos (pero publicado en los años 80) sobre el problema.

En 1974, en el IHÉS, el artículo conjunto de Deligne con Phillip Griffiths , John Morgan y Dennis Sullivan sobre la teoría de homotopía real de variedades compactas de Kähler fue una pieza importante de trabajo en geometría diferencial compleja que resolvió varias cuestiones importantes de importancia tanto clásica como moderna. El aporte de las conjeturas de Weil, la teoría de Hodge, las variaciones de las estructuras de Hodge y muchas herramientas geométricas y topológicas fueron fundamentales para sus investigaciones. Su trabajo en la teoría de singularidades complejas generalizó los mapas de Milnor en un entorno algebraico y extendió la fórmula de Picard-Lefschetz más allá de su formato general, generando un nuevo método de investigación en este tema. Su artículo con Ken Ribet sobre las funciones L abelianas y sus extensiones a las superficies modulares de Hilbert y las funciones L p-ádicas forman una parte importante de su trabajo en geometría aritmética . Otros logros de investigación importantes de Deligne incluyen la noción de descendencia cohomológica, funciones L motívicas, haces mixtos, ciclos de desaparición cercanos , extensiones centrales de grupos reductivos , geometría y topología de grupos de trenzas , proporcionando la definición axiomática moderna de variedades de Shimura, el trabajo en colaboración con George Mostow sobre los ejemplos de redes no aritméticas y monodromía de ecuaciones diferenciales hipergeométricas en espacios hiperbólicos complejos bidimensionales y tridimensionales , etc.

Fue galardonado con la Medalla Fields en 1978, el Premio Crafoord en 1988, el Premio Balzan en 2004, el Premio Wolf en 2008 y el Premio Abel en 2013, "por sus contribuciones fundamentales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de números, la teoría de la representación y campos relacionados". Fue elegido miembro extranjero de la Academia de Ciencias de París en 1978.

En 2006 fue ennoblecido por el rey belga como vizconde . ^[3]

En 2009, Deligne fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias ^[4] y miembro residente de la Sociedad Filosófica Americana . ^[5] Es miembro de la Academia Noruega de Ciencias y Letras . ^[6]

• Deligne, Pierre (1974). "La conjetura de Weil: yo". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 43 : 273–307. doi :10.1007/bf02684373. S2CID  123139343.
• Deligne, Pierre (1980). "La conjetura de Weil: II". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 52 : 137–252. doi :10.1007/BF02684780. S2CID  189769469.
• Deligne, Pierre (1990). "Categorías tannakiennes". Grothendieck Festschrift Vol II. Progreso en Matemáticas . 87 : 111-195.
• Deligne, Pierre; Griffiths, Phillip ; Morgan, John ; Sullivan, Dennis (1975). "Teoría de homotopía real de variedades de Kähler". Inventiones Mathematicae . 29 (3): 245–274. Bibcode :1975InMat..29..245D. doi :10.1007/BF01389853. MR  0382702. S2CID  1357812.
• Deligne, Pierre; Mostow, George Daniel (1993). Conmensurabilidades entre redes en PU(1,n) . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00096-4.
• Campos y cuerdas cuánticos: un curso para matemáticos . Vols. 1, 2. Material del Año Especial sobre Teoría Cuántica de Campos celebrado en el Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, NJ, 1996-1997. Editado por Pierre Deligne, Pavel Etingof , Daniel S. Freed , Lisa C. Jeffrey , David Kazhdan , John W. Morgan , David R. Morrison y Edward Witten . American Mathematical Society, Providence, RI; Instituto de Estudios Avanzados (IAS), Princeton, NJ, 1999. Vol. 1: xxii+723 pp.; Vol. 2: pp. i–xxiv y 727–1501. ISBN 0-8218-1198-3 . 

Deligne escribió varias cartas escritas a mano a otros matemáticos en la década de 1970. Entre ellas se incluyen:

• «Carta de Deligne a Piatetskii-Shapiro (1973)» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de diciembre de 2012. Consultado el 15 de diciembre de 2012 .
• "Carta de Deligne a Jean-Pierre Serre (hacia 1974)". 15 de diciembre de 2012.
• "Carta de Deligne a Looijenga (1974)" (PDF) . Consultado el 20 de enero de 2020 .
• «Carta de Deligne a Millson (1986)» (PDF) . Consultado el 11 de noviembre de 2021 .

Los siguientes conceptos matemáticos llevan el nombre de Deligne:

• Extensiones Brylinski-Deligne
• Delinear el toro
• Teoría de Deligne-Lusztig
• Espacio de módulos de curvas de Deligne-Mumford
• Pilas de Deligne–Mumford
• Transformada de Fourier-Deligne
• Cohomología de Deligne
• Delinear motivo ^[7]
• Producto tensorial de Deligne de categorías abelianas (denotado ) ^[8]${\estilo de visualización\boxtimes}$
• Teorema de Deligne
• Constante local de Langlands-Deligne
• Grupo Weil-Deligne

Además, muchas conjeturas diferentes en matemáticas han sido llamadas conjetura de Deligne :

• Conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild .
• La conjetura de Deligne sobre valores especiales de funciones L es una formulación de la esperanza de algebraicidad de L ( n ) donde L es una función L y n es un entero en algún conjunto que depende de  L .
• Existe una conjetura de Deligne sobre 1-motivos que surge en la teoría de motivos en geometría algebraica .
• Existe una conjetura de Gross-Deligne en la teoría de la multiplicación compleja .
• Existe una conjetura de Deligne sobre la monodromía , también conocida como conjetura de monodromía de peso o conjetura de pureza para la filtración de la monodromía.
• Existe una conjetura de Deligne en la teoría de representación de grupos de Lie excepcionales .
• Existe una conjetura denominada conjetura de Deligne-Grothendieck para el teorema de Riemann-Roch discreto en característica 0.
• Existe una conjetura denominada conjetura de Deligne-Milnor para la interpretación diferencial de una fórmula de Milnor para fibras de Milnor, como parte de la extensión de ciclos cercanos y sus números de Euler.
• La conjetura de Deligne-Milne se formula como parte de los motivos y las categorías tannakianas.
• Existe una conjetura de Deligne-Langlands de importancia histórica en relación con el desarrollo de la filosofía de Langlands .
• Conjetura de Deligne sobre la fórmula de la traza de Lefschetz ^[9] (ahora llamada teorema de Fujiwara para correspondencias equivariantes). ^[10]

• Conjetura de Brumer-Stark
• E7½
• Secuencia espectral de Hodge-de Rham
• Forma logarítmica
• Teorema de desaparición de Kodaira
• Módulos de curvas algebraicas
• Motivo (geometría algebraica)
• Gavilla perversa
• Correspondencia Riemann-Hilbert
• Conjetura de modularidad de Serre
• Conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Pierre Deligne", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Pierre Deligne en el Proyecto de Genealogía Matemática
• Roberts, Siobhan (19 de junio de 2012). "Fundación Simons: Pierre Deligne". Fundación Simons.– Biografía y entrevista ampliada en vídeo.
• Página de inicio de Pierre Deligne en el Instituto de Estudios Avanzados
• Katz, Nick (junio de 1980), "La obra de Pierre Deligne", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Helsinki 1978 (PDF) , Helsinki, págs. 47-52, ISBN 951-410-352-1, archivado desde el original (PDF) el 12 de julio de 2012{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Una introducción a su obra en el momento de recibir la medalla Fields.