Curva asintótica

En la geometría diferencial de superficies , una curva asintótica es una curva siempre tangente a una dirección asintótica de la superficie (donde existen). A veces se la denomina línea asintótica , aunque no necesariamente sea una línea recta .

Existen varias definiciones equivalentes para direcciones asintóticas o, equivalentemente, curvas asintóticas.

• Las direcciones asintóticas son las mismas que las asíntotas de la hipérbola de la indicatriz de Dupin que pasa por un punto hiperbólico , o la asíntota única que pasa por un punto parabólico . ^{[ 1 ]}

• Una dirección asintótica es aquella en la que la curvatura normal es cero: basta con considerar el plano generado por dicha dirección y la normal de la superficie en ese punto. La curva de intersección del plano y la superficie tiene curvatura cero en ese punto.
• Una curva asintótica es una curva tal que, en cada punto, el plano tangente a la superficie es un plano osculador de la curva.

Las direcciones asintóticas solo pueden ocurrir cuando la curvatura gaussiana es negativa (o cero).

Hay dos direcciones asintóticas que pasan por cada punto con curvatura gaussiana negativa, bisecadas por las direcciones principales . Hay una o infinitas direcciones asintóticas que pasan por cada punto con curvatura gaussiana cero.

Si la superficie es mínima y no plana, entonces las direcciones asintóticas son ortogonales entre sí (y forman un ángulo de 45 grados con las dos direcciones principales).

Para una superficie desarrollable , las líneas asintóticas son las generatrices , y solo ellas.

Si una línea recta está incluida en una superficie, entonces es una curva asintótica de la superficie.

Un concepto relacionado es el de línea de curvatura , que es una curva siempre tangente a una dirección principal.

• Weisstein, Eric W. "Curva asintótica" . MathWorld .
• Líneas de curvatura, torsión geodésica, líneas asintóticas
• "Línea asintótica de una superficie" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés )