Indicatriz de Dupin

En geometría diferencial , la indicatriz de Dupin es un método para caracterizar la forma local de una superficie . Se traza un plano paralelo al plano tangente y a una pequeña distancia de este. Se considera la intersección de la superficie con este plano. La forma de la intersección está relacionada con la curvatura gaussiana . La indicatriz de Dupin es el resultado del proceso límite cuando el plano se aproxima al plano tangente. Esta indicatriz fue introducida por Charles Dupin .

De forma equivalente, se puede construir la indicatriz de Dupin en el punto p , rotando y trasladando primero la superficie de manera que p se sitúe en el origen y el plano tangente sea el plano xy . Ahora, el gráfico de contorno de la superficie representa la indicatriz de Dupin.

Para puntos elípticos con curvatura gaussiana positiva, la intersección será vacía o formará una curva cerrada. En el límite, esta curva formará una elipse alineada con las direcciones principales . Las líneas de curvatura constituyen los ejes mayor y menor de la elipse.

En particular, la indicatriz de un punto umbilical es un círculo.

Para puntos hiperbólicos, donde la curvatura gaussiana es negativa, la intersección formará una hipérbola . Se formarán dos hipérbolas distintas a cada lado del plano tangente. Estas hipérbolas comparten el mismo eje y asíntotas. Las direcciones de las asíntotas coinciden con las direcciones asintóticas .

En particular, la indicatriz de cada punto en una superficie mínima son dos líneas que se intersecan en ángulo recto, cada una de las cuales forma un ángulo de 45 grados con las dos líneas de curvatura .

Para puntos parabólicos, donde la curvatura gaussiana es cero, la intersección formará dos líneas paralelas. La dirección de esas dos líneas es la misma que las direcciones asintóticas .

En particular, la indicatriz de cada punto en una superficie desarrollable es un par de líneas paralelas a la generatriz .

En casos más complejos, donde todas las derivadas de segundo grado son cero, pero las de grado superior son distintas de cero, la indicatriz de Dupin es más compleja. Por ejemplo, la silla de montar del mono tiene una indicatriz de Dupin con forma de hipérbola de seis puntas.

• Teorema de Euler (geometría diferencial)

• Eisenhart, Luther P. (2004), Tratado sobre la geometría diferencial de curvas y superficies , Dover, ISBN 0486438201Texto completo de 1909 (actualmente de dominio público)