estabilidad de Lyapunov

Se pueden analizar varios tipos de estabilidad para las soluciones de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias que describen sistemas dinámicos . El tipo más importante es el que se refiere a la estabilidad de las soluciones cerca de un punto de equilibrio. Esto se puede analizar mediante la teoría de Aleksandr Lyapunov . En términos sencillos, si las soluciones que parten cerca de un punto de equilibrio${\displaystyle x_{e}}$Alójese cerca${\displaystyle x_{e}}$para siempre, entonces${\displaystyle x_{e}}$es estable de Lyapunov . Más fuertemente, si${\displaystyle x_{e}}$es estable de Lyapunov y todas las soluciones que comienzan cerca${\displaystyle x_{e}}$converger a${\displaystyle x_{e}}$, entonces${\displaystyle x_{e}}$Se dice que es asintóticamente estable (véase análisis asintótico ). La noción de estabilidad exponencial garantiza una tasa mínima de decaimiento, es decir, una estimación de la rapidez con que convergen las soluciones. La idea de estabilidad de Lyapunov puede extenderse a variedades de dimensión infinita, donde se conoce como estabilidad estructural , que se refiere al comportamiento de soluciones diferentes pero "cercanas" a ecuaciones diferenciales. La estabilidad de entrada a estado (ISS) aplica las nociones de Lyapunov a sistemas con entradas.

La estabilidad de Lyapunov recibe su nombre de Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , un matemático ruso que defendió la tesis « El problema general de la estabilidad del movimiento» en la Universidad de Járkov (actualmente Universidad Nacional V. N. Karazin de Járkov ) en 1892. ^{[ 1 ]} Lyapunov fue pionero en el desarrollo de un enfoque global para el análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos no lineales, comparándolo con el método local, ampliamente difundido, de linealizarlos alrededor de puntos de equilibrio. Su obra, publicada inicialmente en ruso y posteriormente traducida al francés, recibió poca atención durante muchos años. La teoría matemática de la estabilidad del movimiento, fundada por Lyapunov, se adelantó considerablemente a su implementación en la ciencia y la tecnología. Además, Lyapunov no la aplicó personalmente en este campo, ya que su interés radicaba en la estabilidad de masas fluidas en rotación con aplicaciones astronómicas. No tuvo estudiantes de doctorado que continuaran la investigación en el campo de la estabilidad y su propio destino fue terriblemente trágico debido a su suicidio en 1918. ^{[ 2 ]} Durante varias décadas, la teoría de la estabilidad cayó en el olvido total. El matemático y mecánico ruso-soviético Nikolay Gur'yevich Chetaev, que trabajaba en el Instituto de Aviación de Kazán en la década de 1930, fue el primero en darse cuenta de la increíble magnitud del descubrimiento realizado por AM Lyapunov. La contribución a la teoría realizada por NG Chetaev ^{[ 3 ]} fue tan significativa que muchos matemáticos, físicos e ingenieros lo consideran el sucesor directo de Lyapunov y el siguiente descendiente científico en la creación y el desarrollo de la teoría matemática de la estabilidad.

El interés en este tema se disparó repentinamente durante la Guerra Fría, cuando se descubrió que el llamado "Segundo Método de Lyapunov" (véase más abajo) era aplicable a la estabilidad de los sistemas de guiado aeroespacial , que suelen contener fuertes no linealidades que no pueden tratarse con otros métodos. En aquel entonces y posteriormente, aparecieron numerosas publicaciones en la literatura sobre control y sistemas. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Más recientemente, el concepto del exponente de Lyapunov (relacionado con el Primer Método de Lyapunov para analizar la estabilidad) ha suscitado gran interés en el contexto de la teoría del caos . Los métodos de estabilidad de Lyapunov también se han aplicado para encontrar soluciones de equilibrio en problemas de asignación de tráfico. ^{[ 9 ]}

Consideremos un sistema dinámico no lineal autónomo.

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$,

dónde${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$denota el vector de estado del sistema ,${\displaystyle {\mathcal {D}}}$un conjunto abierto que contiene el origen y${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$es un campo vectorial continuo en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Suponer${\displaystyle f}$tiene un equilibrio en${\displaystyle x_{e}}$, de modo que${\displaystyle f(x_{e})=0}$. Entonces:

1. Se dice que este equilibrio es estable de Lyapunov si para cada${\displaystyle \epsilon >0}$existe un${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que si${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$entonces por cada${\displaystyle t\geq 0}$tenemos${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$.
2. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es asintóticamente estable si es estable de Lyapunov y existe${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que si${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$entonces${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$.
3. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es exponencialmente estable si es asintóticamente estable y existen${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$de tal manera que si${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$entonces${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$a pesar de${\displaystyle t\geq 0}$.

Conceptualmente, los significados de los términos anteriores son los siguientes:

1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones que comienzan "lo suficientemente cerca" del equilibrio (dentro de una distancia${\displaystyle \delta }$desde ella) permanecen "lo suficientemente cerca" para siempre (dentro de una distancia${\displaystyle \epsilon }$de ello). Tenga en cuenta que esto debe ser cierto para cualquier${\displaystyle \epsilon }$que uno pueda querer elegir.
2. La estabilidad asintótica significa que las soluciones que comienzan lo suficientemente cerca no solo permanecen lo suficientemente cerca, sino que también convergen finalmente al equilibrio.
3. La estabilidad exponencial significa que las soluciones no solo convergen, sino que de hecho convergen más rápido o al menos tan rápido como una tasa conocida determinada.${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$.

La trayectoria${\displaystyle \phi (t)}$es (localmente) atractivo si

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ como ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

para todas las trayectorias${\displaystyle x(t)}$que empiezan lo suficientemente cerca de${\displaystyle \phi (t)}$y globalmente atractivo si esta propiedad se cumple para todas las trayectorias.

Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable , es asintóticamente estable si es a la vez atractivo y estable. (Existen ejemplos que demuestran que la atractividad no implica estabilidad asintótica. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Dichos ejemplos son fáciles de crear utilizando conexiones homoclinas ).

Si la matriz jacobiana del sistema dinámico en un equilibrio resulta ser una matriz de estabilidad (es decir, si la parte real de cada valor propio es estrictamente negativa), entonces el equilibrio es asintóticamente estable.

La definición de sistemas de tiempo discreto es casi idéntica a la de sistemas de tiempo continuo. La siguiente definición la ilustra, utilizando un lenguaje alternativo comúnmente empleado en textos matemáticos.

Sea ( X , d ) un espacio métrico y f  : X → X una función continua . Se dice que un punto x en X es estable en el sentido de Lyapunov si,

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Decimos que x es asintóticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable , es decir, si,

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Un modelo lineal de espacio de estados

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

dónde${\displaystyle A}$es una matriz finita, es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todas las partes reales de los valores propios de${\displaystyle A}$son negativas. Esta condición es equivalente a la siguiente: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

es definida negativa para alguna matriz definida positiva${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$. (La función de Lyapunov relevante es${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$.)

En consecuencia, un modelo de espacio de estados lineal discreto en el tiempo

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si todos los valores propios de${\displaystyle A}$tienen un módulo menor que uno.

Esta última condición se ha generalizado a sistemas conmutados: un sistema lineal conmutado de tiempo discreto (regido por un conjunto de matrices)${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$)

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si el radio espectral conjunto del conjunto${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$es más pequeño que uno.

Un sistema con entradas (o controles) tiene la forma

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

donde la entrada u(t) (generalmente dependiente del tiempo) puede considerarse como una función de control , entrada externa , estímulo , perturbación o forzamiento . Se ha demostrado ^{[ 14 ]} que cerca de un punto de equilibrio que es estable en el sentido de Lyapunov, el sistema permanece estable bajo pequeñas perturbaciones. Para perturbaciones de entrada mayores, el estudio de tales sistemas es objeto de la teoría de control y se aplica en la ingeniería de control . Para sistemas con entradas, es necesario cuantificar el efecto de las entradas en la estabilidad del sistema. Los dos enfoques principales para este análisis son la estabilidad BIBO (para sistemas lineales ) y la estabilidad de entrada a estado (ISS) (para sistemas no lineales ).

Este ejemplo muestra un sistema donde se puede usar una función de Lyapunov para demostrar la estabilidad de Lyapunov, pero no la estabilidad asintótica. Considere la siguiente ecuación, basada en la ecuación del oscilador de Van der Pol con el término de fricción modificado:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Dejar

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

de modo que el sistema correspondiente sea

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

El origen${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$es el único punto de equilibrio. Elegimos como función de Lyapunov

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

que es claramente definida positiva . Su derivada es

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Parece que si el parámetro${\displaystyle \varepsilon }$es positivo, la estabilidad es asintótica para${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$Pero esto es erróneo, ya que${\displaystyle {\dot {V}}}$no depende de${\displaystyle x_{1}}$y será 0 en todas partes en el${\displaystyle x_{1}}$eje. El equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov, pero no asintóticamente estable.

Puede resultar difícil encontrar una función de Lyapunov con una derivada definida negativa como lo exige el criterio de estabilidad de Lyapunov, sin embargo, una función${\displaystyle V}$con${\displaystyle {\dot {V}}}$que es solo semidefinida negativa puede estar disponible. En sistemas autónomos, el teorema del conjunto invariante puede aplicarse para probar la estabilidad asintótica, pero este teorema no es aplicable cuando la dinámica es una función del tiempo. ^{[ 15 ]}

En cambio, el lema de Barbalat permite un análisis tipo Lyapunov de estos sistemas no autónomos. El lema está motivado por las siguientes observaciones. Suponiendo que f es una función únicamente del tiempo:

• Teniendo${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$no implica que${\displaystyle f(t)}$tiene un límite en${\displaystyle t\to \infty }$. Por ejemplo,${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$.
• Teniendo${\displaystyle f(t)}$acercándose a un límite como${\displaystyle t\to \infty }$no implica que${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$. Por ejemplo,${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$.
• Teniendo${\displaystyle f(t)}$límite inferior y decreciente (${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$) implica que converge a un límite. Pero no dice si o no${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty }$.

El lema de Barbalat dice: Si ${\displaystyle f(t)}$tiene un límite finito como${\displaystyle t\to \infty }$y si${\displaystyle {\dot {f}}}$es uniformemente continua (una condición suficiente para la continuidad uniforme es que${\displaystyle {\ddot {f}}}$está acotado), entonces${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty }$. ^{[ 16 ]}

Una versión alternativa es la siguiente: Sea${\displaystyle p\in [1,\infty )}$y${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$. Si${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$y${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$, entonces${\displaystyle f(t)\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty .}$^{[ 17 ]}

En la siguiente forma, el lema también es cierto en el caso vectorial: Sea${\displaystyle f(t)}$sea ​​una función uniformemente continua con valores en un espacio de Banach${\displaystyle E}$y suponer que${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$tiene un límite finito como${\displaystyle t\to \infty }$. Entonces${\displaystyle f(t)\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty }$. ^{[ 18 ]}

El siguiente ejemplo está tomado de la página 125 del libro de Slotine y Li, Control no lineal aplicado . ^{[ 15 ]}

Consideremos un sistema no autónomo.

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Esto no es autónomo porque la entrada${\displaystyle w}$es una función del tiempo. Supongamos que la entrada${\displaystyle w(t)}$está delimitado.

Tomando${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$da${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Esto dice que${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$por las dos primeras condiciones y por lo tanto${\displaystyle e}$y${\displaystyle g}$están acotados. Pero no dice nada sobre la convergencia de${\displaystyle e}$a cero, como${\displaystyle {\dot {V}}}$es solo semidefinido negativo (nota${\displaystyle g}$puede ser distinto de cero cuando${\displaystyle {\dot {V}}}$=0) y la dinámica no es autónoma.

Utilizando el lema de Barbalat:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Esto está limitado porque${\displaystyle e}$,${\displaystyle g}$y${\displaystyle w}$están limitados. Esto implica${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$como${\displaystyle t\to \infty }$y por lo tanto${\displaystyle e\to 0}$Esto demuestra que el error converge.

Consideremos la ecuación diferencial auxiliar.${\displaystyle {\dot {v}}(t)=-q(t)\beta (v(t))+e(t),}$a pesar de${\displaystyle t\geq t_{0}}$, con el estado${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$y condición inicial${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$. La función${\displaystyle \beta \in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$está aumentando estrictamente y satisface${\displaystyle \beta (0)=0}$. Las funciones${\displaystyle e}$y${\displaystyle q}$pertenecer a${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} _{+})}$La importancia de la ecuación diferencial previa radica en que una amplia clase de desigualdades de Lyapunov puede vincularse a ella mediante un principio de comparación.

Supongamos que para todos${\displaystyle t\geq t_{0}}$,${\displaystyle q(t)>0}$y con${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }q(t)\,dt=\infty }$y${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {e(t)}{q(t)}}=L\in \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}.}$La propiedad previa indica una perturbación acotada cuando${\displaystyle L>0}$es finito y una perturbación evanescente cuando${\displaystyle L=0}$.

Para cada condición inicial${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$y cada solución${\displaystyle v(t)}$con intervalo máximo de existencia${\displaystyle [t_{0},\omega )}$, dónde${\displaystyle t_{0}<\omega \leq \infty }$, se cumplen las siguientes propiedades: ^{[ 19 ]}

1. ${\displaystyle v(t)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle t\in [t_{0},\omega )}$.
2. Si${\displaystyle L\in [0,\infty )}$y${\displaystyle L\in \mathrm {Range} \{\beta \}}$, entonces ${\displaystyle \omega =\infty }$,${\displaystyle \|v\|_{\infty }<\infty }$y${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\beta ^{-1}(L)}$.
3. Si${\displaystyle L=\infty }$,${\displaystyle v}$no es uniformemente cero, y${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\beta (s)=\infty }$, entonces ${\displaystyle \omega =\infty }$y${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\infty }$.

Los resultados previos también se han derivado en la literatura dentro de diferentes contextos; véase, por ejemplo, ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} .

Consideremos el sistema  :${\displaystyle {\dot {\zeta }}(t)=g{\big (}t,\zeta (t){\big )};t\geq t_{0},}$${\displaystyle \zeta (t_{0})=\zeta _{0},}$dónde${\displaystyle (t_{0},\zeta _{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}}$, solución${\displaystyle \zeta (t)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$(${\displaystyle m}$es un entero estrictamente positivo), y una función bien definida${\displaystyle g:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$con${\displaystyle g(t,0)=0}$,${\displaystyle \forall t\geq t_{0}}$.

Supongamos que el sistema satisface las condiciones de Carathéodory; es decir, la aplicación${\displaystyle t\mapsto g(t,\zeta )}$está esencialmente limitado localmente por${\displaystyle [t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}}$es medible para cada${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{m}}$y es continuo para casi todos${\displaystyle t\geq t_{0}}$El sistema admite una solución local de Carathéodory absolutamente continua que está definida en un intervalo máximo.${\displaystyle [t_{0},\omega )}$.

Supongamos que existen constantes${\displaystyle \alpha >0}$,${\displaystyle \beta >0}$con${\displaystyle \alpha <\beta }$funciones localmente absolutamente continuas ${\displaystyle r_{1}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$,${\displaystyle r_{2}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$y una función medible de Lebesgue${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$que cumplen con lo siguiente:

(i) ${\displaystyle (-1)^{\alpha }=-1}$y${\displaystyle (-1)^{\beta }}$está bien definido (no necesitamos${\displaystyle (-1)^{\beta }}$estar bien definido si se garantiza la positividad de las soluciones).

(ii)${\displaystyle r_{1}(t)>0}$,${\displaystyle r_{2}(t)>0}$,${\displaystyle \forall t>t_{0}}$y${\displaystyle h(t)>0}$para casi todos${\displaystyle t>t_{0}}$.

(iii)${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {r_{2}(t)}{r_{1}(t)}}=\infty }$(de lo cual se deduce que la perturbación no está acotada, como lo ilustra la desigualdad de Lyapunov que se presenta más adelante).

(iv) ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\Lambda (t)=0}$, dónde ${\displaystyle \Lambda (t):={\frac {r_{1}(t){\dot {r}}_{2}(t)-{\dot {r}}_{1}(t)r_{2}(t)}{h(t)(r_{1}(t))^{\frac {2\beta -\alpha -1}{\beta -\alpha }}(r_{2}(t))^{\frac {\beta -2\alpha +1}{\beta -\alpha }}}},{\mbox{ for almost all }}t>t_{0}.}$

(v) para cada solución${\displaystyle \zeta (t)}$del sistema con intervalo máximo de existencia${\displaystyle [t_{0},\omega )}$, existen constantes positivas${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle \sigma }$,${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$y una función de Lyapunov ${\displaystyle V\in C^{1}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} _{+})}$, satisfactorio (para casi todos${\displaystyle t\in (t_{0},\omega )}$que satisface${\displaystyle V(t,\zeta (t))<\delta }$):

${\displaystyle c_{1}|\kappa |^{\sigma }\leq V(t,\kappa )\leq c_{2}|\kappa |^{\sigma },\forall t\in \mathbb {R} ,\forall \kappa \in \mathbb {R} ^{m},}$

${\displaystyle \nabla V(t,\zeta (t))\cdot g(t,\zeta (t))\leq {\big (}-r_{1}(t)V^{\alpha }(t,\zeta (t))+r_{2}(t)V^{\beta }(t,\zeta (t)){\big )}h(t).}$

Entonces, existe${\displaystyle c_{3}>0}$de tal manera que para cada${\displaystyle |\zeta _{0}|<c_{3}}$, uno consigue${\displaystyle \omega =\infty }$y${\displaystyle |\zeta (t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|\zeta _{0}|,\forall t\geq t_{0},}$de modo que${\displaystyle \zeta =0}$es uniformemente estable. Además, el origen es asintóticamente estable. ^{[ 25 ]}

El modelo de crecimiento poblacional variable en el tiempo con efecto Allee puede representarse mediante ^{[ 25 ].}

${\displaystyle {\dot {N}}(t)=R(t)N(t)\left({\frac {N(t)}{A(t)}}-1\right)\left(1-{\frac {N(t)}{K(t)}}\right),}$

dónde${\displaystyle t\geq t_{0}}$, estado${\displaystyle N(t)\in \mathbb {R} }$, una función medible de Lebesgue ${\displaystyle R:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$con${\displaystyle R(t)>0}$para casi todos${\displaystyle t>t_{0}}$y funciones localmente absolutamente continuas ${\displaystyle A\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$y ${\displaystyle K\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$de modo que ${\displaystyle A(t)>0}$y${\displaystyle K(t)>0}$a pesar de${\displaystyle t>t_{0}}$.

El lado derecho de la ecuación es localmente Lipschitz en${\displaystyle N}$y por lo tanto existe una solución única con un intervalo máximo de existencia.${\displaystyle [t_{0},\omega )}$El origen${\displaystyle N=0}$es un punto de equilibrio. Nuestro objetivo es derivar condiciones que lo hagan${\displaystyle N=0}$un equilibrio de extinción uniformemente estable y asintóticamente estable. Para ello, supongamos que

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }R(t)dt=\infty ,}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)=\infty ,}$ y ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {{\dot {A}}(t)(K(t))^{2}+{\dot {K}}(t)(A(t))^{2}}{R(t)A(t)K(t)(A(t)+K(t))}}\right)=0.}$

Dejar${\displaystyle V=N^{2}}$La desigualdad se satisface con${\displaystyle c_{1}=1}$,${\displaystyle c_{2}=1}$y${\displaystyle \sigma =2}$Los cálculos sencillos dan como resultado

${\displaystyle {\dot {V}}(t)\leq 2R(t)\left(-V(t)+\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)V^{\frac {3}{2}}(t)\right){\mbox{ for almost all }}t>t_{0},}$

que tiene la forma de la desigualdad con${\displaystyle \alpha =1}$,${\displaystyle \beta ={\frac {3}{2}}}$,${\displaystyle h(t)=2R(t)}$,${\displaystyle r_{1}(t)=1}$,${\displaystyle r_{2}(t)={\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}}$ y${\displaystyle \delta }$es arbitrario en${\displaystyle (t_{0},\infty )}$Además, se puede mostrar fácilmente la función.${\displaystyle \Lambda (t)}$va a cero como${\displaystyle t}$va al infinito. Por lo tanto, se cumplen todas las condiciones y por lo tanto existe${\displaystyle c_{3}>0}$de tal manera que para cada${\displaystyle |N_{0}|<c_{3}}$, uno consigue${\displaystyle \omega =\infty }$y

${\displaystyle |N(t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|N_{0}|,\forall t\geq t_{0},}$

y por lo tanto${\displaystyle N=0}$es uniformemente estable. De hecho,${\displaystyle N=0}$es uniformemente estable y es asintóticamente estable.

• función de Lyapunov
• Principio de invariancia de LaSalle
• Teorema de Lyapunov-Malkin
• Conjetura de Markus-Yamabe
• órbita del punto de libración
• Teorema de Hartman-Grobman
• Teoría de perturbaciones
• Teoría de la estabilidad

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