Órbita homoclinica

En el estudio de sistemas dinámicos , una órbita homoclinica es una trayectoria en el espacio de fases que une un punto de equilibrio de silla consigo misma. Más precisamente, una órbita homoclinica se encuentra en la intersección de la variedad estable y la variedad inestable de un equilibrio. Es una órbita heteroclinica —una trayectoria entre dos puntos de equilibrio cualesquiera— cuyos extremos coinciden.

Consideremos el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

Supongamos que existe un equilibrio en${\displaystyle x=x_{0}}$, entonces una solución${\displaystyle \Phi (t)}$es una órbita homoclinica si

${\displaystyle \Phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {cuando} \quad t\rightarrow \pm \infty }$

Si el espacio de fases tiene tres o más dimensiones , entonces es importante considerar la topología de la variedad inestable del punto de silla. Las figuras muestran dos casos. Primero, cuando la variedad estable es topológicamente un cilindro , y segundo, cuando la variedad inestable es topológicamente una cinta de Möbius ; en este caso la órbita homoclinica se llama retorcida .

Las órbitas homoclinas y los puntos homoclinos se definen de la misma manera para funciones iteradas , como la intersección del conjunto estable y el conjunto inestable de algún punto fijo o punto periódico del sistema.

También tenemos la noción de órbita homoclinica al considerar sistemas dinámicos discretos. En tal caso, si${\displaystyle f:M\rightarrow M}$es un difeomorfismo de una variedad${\displaystyle M}$, decimos que${\displaystyle x}$Es un punto homoclinico si tiene el mismo pasado y futuro; más específicamente, si existe un punto fijo (o periódico). ${\displaystyle p}$de tal manera que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.}$

La existencia de un punto homoclinico implica la existencia de un número infinito de ellos. ^{[ 1 ]} Esto se deriva de su definición: la intersección de un conjunto estable y uno inestable. Ambos conjuntos son invariantes por definición, lo que significa que la iteración hacia adelante del punto homoclinico se realiza tanto sobre el conjunto estable como sobre el inestable. Al iterar N veces, la aplicación se aproxima al punto de equilibrio a través del conjunto estable, pero en cada iteración también se encuentra sobre la variedad inestable, lo que demuestra esta propiedad.

Esta propiedad sugiere que surgen dinámicas complejas por la existencia de un punto homoclinico. De hecho, Smale (1967) ^{[ 2 ]} demostró que estos puntos conducen a dinámicas similares a las de un mapa de herradura , lo cual está asociado con el caos.

Mediante la partición de Markov , se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando las técnicas de la dinámica simbólica . En este caso, una órbita homoclinica tiene una representación particularmente simple y clara. Supongamos que${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos.

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Se puede escribir como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

dónde${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto,${\displaystyle t_{i}\in S}$), y${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$es otra secuencia de símbolos, de longitud m (así también,${\displaystyle r_{i}\in S}$). La notación${\displaystyle p^{\omega }}$simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Por lo tanto, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica puede escribirse como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

con la secuencia intermedia${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$al no ser vacío y, por supuesto, no ser p , ya que de lo contrario, la órbita simplemente sería${\displaystyle p^{\omega }}$.

• Órbita heteroclínica
• Bifurcación homoclinica

• John Guckenheimer y Philip Holmes , Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales (Ciencias matemáticas aplicadas, vol. 42), Springer

• Órbitas homoclinas en el mapa de Henon con applets de Java y comentarios.