Hispanopedia WikiEn la teoría de operadores , el teorema de Atkinson (que recibe su nombre de Frederick Valentine Atkinson ) proporciona una caracterización de los operadores de Fredholm .
El teorema
Sea H un espacio de Hilbert y L ( H ) el conjunto de operadores acotados en H . La siguiente es la definición clásica de un operador de Fredholm : se dice que un operador T ∈ L ( H ) es un operador de Fredholm si el núcleo Ker( T ) es de dimensión finita, Ker( T* ) es de dimensión finita (donde T* denota el adjunto de T ), y el rango Ran( T ) es cerrado.
El teorema de Atkinson establece:
- Un T ∈ L ( H ) es un operador de Fredholm si y solo si T es invertible módulo perturbación compacta, es decir, TS = I + C 1 y ST = I + C 2 para algún operador acotado S y operadores compactos C 1 y C 2 .
En otras palabras, un operador T ∈ L ( H ) es de Fredholm, en el sentido clásico, si y solo si su proyección en el álgebra de Calkin es invertible.
Bosquejo de prueba
El esquema de una demostración es el siguiente. Para la implicación ⇒, expresamos H como la suma directa ortogonal.
La restricción T : Ker( T ) ⊥ → Ran( T ) es una biyección y, por lo tanto, invertible según el teorema de la aplicación abierta . Extendemos esta inversa por 0 en Ran( T ) ⊥ = Ker( T* ) a un operador S definido en todo H. Entonces I − TS es la proyección de rango finito sobre Ker( T* ), e I − ST es la proyección sobre Ker( T ). Esto demuestra la parte del teorema que solo se cumple si.
Para el recíproco, supongamos ahora que ST = I + C 2 para algún operador compacto C 2 . Si x ∈ Ker( T ), entonces STx = x + C 2 x = 0. Por lo tanto, Ker( T ) está contenido en un espacio propio de C 2 , que es de dimensión finita (véase la teoría espectral de operadores compactos ). En consecuencia, Ker( T ) también es de dimensión finita. El mismo argumento muestra que Ker( T* ) también es de dimensión finita.
Para demostrar que Ran( T ) es cerrado, utilizamos la propiedad de aproximación : sea F un operador de rango finito tal que || F − C2 || < r . Entonces , para cada x en Ker( F ),
- || S || ⋅ || Tx || ≥ || STx || = || x + C 2 x || = || x + Fx + C 2 x − Fx || ≥ ||x|| − || C 2 − F || ⋅ ||x|| ≥ (1 − r )|| x ||.
Por lo tanto, T está acotada inferiormente en Ker( F ), lo que implica que T (Ker( F )) es cerrada. Por otro lado, T (Ker( F ) ⊥ ) es de dimensión finita, ya que Ker( F ) ⊥ = Ran( F* ) es de dimensión finita. En consecuencia, Ran( T ) = T (Ker( F )) + T (Ker( F ) ⊥ ) es cerrada, lo que demuestra el teorema.
Un tratamiento más completo del teorema de Atkinson se encuentra en la referencia de Arveson: muestra que si B es un espacio de Banach, un operador es de Fredholm si y solo si es invertible módulo un operador de rango finito (y que este último es equivalente a ser invertible módulo un operador compacto, lo cual es significativo en vista del ejemplo de Enflo de un espacio de Banach separable y reflexivo con operadores compactos que no son límites de norma de operadores de rango finito). Para los espacios de Banach, un operador de Fredholm es aquel con núcleo de dimensión finita y rango de codimensión finita (equivalente a que el núcleo de su adjunto sea de dimensión finita). Nótese que la hipótesis de que Ran( T ) es cerrado es redundante, ya que un espacio de codimensión finita que también es el rango de un operador acotado siempre es cerrado (véase la referencia de Arveson más adelante); esto es una consecuencia del teorema de la aplicación abierta (y no es cierto si el espacio no es el rango de un operador acotado, por ejemplo, el núcleo de un funcional lineal discontinuo).
Referencias
- teoría de Fredholm
- Teoremas en análisis funcional