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Urelement

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un ur - elemento (del prefijo alemán ur- , 'primordial') es un objeto que no es un conjunto , pero que puede ser un ele...

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En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un ur - elemento (del prefijo alemán ur- , 'primordial') es un objeto que no es un conjunto , pero que puede ser un elemento de un conjunto. También se le denomina átomo o individuo . Los ur-elementos tampoco son idénticos al conjunto vacío.

Teoría

Hay varias formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de tratar los urelementos en una teoría de primer orden .

Una forma es trabajar en una teoría de primer orden con dos tipos, conjuntos y urelementos, donde a ∈ b solo se define cuando b es un conjunto. En este caso, si U es un urelemento, no tiene sentido decirincógnita∈U{\displaystyle X\in U}, a pesar deU∈incógnita{\displaystyle U\in X}es perfectamente legítimo.

Otra opción es trabajar con una teoría de un solo tipo utilizando una relación unaria para distinguir conjuntos y urelementos. Dado que los conjuntos no vacíos contienen elementos, mientras que los urelementos no, la relación unaria solo es necesaria para diferenciar el conjunto vacío de los urelementos. Cabe destacar que, en este caso, el axioma de extensionalidad debe formularse para aplicarse únicamente a objetos que no sean urelementos.

Esta situación es análoga a los tratamientos de las teorías de conjuntos y clases . En efecto, los urelementos son, en cierto sentido, duales a las clases propias : los urelementos no pueden tener miembros, mientras que las clases propias no pueden ser miembros. Dicho de otro modo, los urelementos son objetos minimales , mientras que las clases propias son objetos maximales según la relación de pertenencia (que, por supuesto, no es una relación de orden, por lo que esta analogía no debe tomarse literalmente).

Elementos primordiales en la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos de Zermelo de 1908 incluía urelementos, y por lo tanto es una versión ahora llamada ZFA o ZFCA (es decir, ZFA con axioma de elección ). [ 1 ] Pronto se comprendió que en el contexto de esta y otras teorías de conjuntos axiomáticas estrechamente relacionadas , los urelementos no eran necesarios porque pueden modelarse fácilmente en una teoría de conjuntos sin urelementos. [ 2 ] Por lo tanto, las exposiciones estándar de las teorías de conjuntos axiomáticas canónicas ZF y ZFC no mencionan los urelementos (para una excepción, véase Suppes [ 3 ] ). Las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que sí invocan urelementos incluyen la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos y la variante de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel descrita por Mendelson. [ 4 ] En la teoría de tipos , un objeto de tipo 0 puede llamarse urelemento; de ahí el nombre "átomo".

Zermelo insistió en mantener los urelements en su teoría de conjuntos y consideró el conjunto vacío un caso especial de un urelement. [ 5 ] : Axioma U En 1930, construyó una jerarquía recursiva transfinita, precursora de la jerarquía moderna de von Neumann pero con urelements. [ 5 ] : 36–40 Los urelements también siguen siendo útiles en la teoría de modelos , particularmente en los modelos de Fraenkel–Mostowski . [ 6 ]

Agregar urelementos al sistema Nuevas Fundaciones (NF) para producir NFU tiene consecuencias sorprendentes. En particular, Jensen demostró [ 7 ] la consistencia de NFU con respecto a la aritmética de Peano ; mientras tanto, la consistencia de NF con respecto a cualquier cosa sigue siendo un problema abierto, pendiente de verificación de la prueba de Holmes de su consistencia con respecto a ZF. Además, NFU sigue siendo relativamente consistente cuando se aumenta con un axioma de infinito y el axioma de elección . Mientras tanto, la negación del axioma de elección es un teorema de NF. Holmes (1998) toma estos hechos como evidencia de que NFU es una base más exitosa para las matemáticas que NF. Holmes argumenta además que la teoría de conjuntos es más natural con urelementos que sin ellos, ya que podemos tomar como urelementos los objetos de cualquier teoría o del universo físico . [ 8 ] En la teoría de conjuntos finitista , los urelementos se mapean a los componentes de nivel más bajo del fenómeno objetivo, como los constituyentes atómicos de un objeto físico o los miembros de una organización.

átomos de quinoa

Un enfoque alternativo a los urelementos es considerarlos, en lugar de como un tipo de objeto distinto de los conjuntos, como un tipo particular de conjunto. Los átomos de Quine (llamados así por Willard Van Orman Quine ) son conjuntos que solo se contienen a sí mismos, es decir, conjuntos que satisfacen la fórmula x  =  { x }. [ 9 ] Los átomos de Quine no pueden existir en sistemas de teoría de conjuntos que incluyan el axioma de regularidad , pero pueden existir en una teoría de conjuntos no bien fundamentada .

Quine introdujo los átomos de Quine (llamados "individuos") en su Lógica Matemática [ 10 ] como una forma de formalizar los átomos sin cambiar el axioma de extensionalidad . El sistema de Lógica Matemática es una extensión de las Nuevas Fundaciones (NF) de Quine, y NF permite conjuntos no bien fundados como los átomos de Quine. De hecho, asumiendo la consistencia de NF (o NFU ), existen modelos sin átomos de Quine, con un átomo de Quine o con muchos átomos de Quine. [ 11 ]

Sin embargo, los átomos de Quine no constituyen un tratamiento adecuado de los átomos en NF, ya que " x es un átomo de Quine" no es una oración estratificada . Por un lado, esto significa que la comprensión estratificada no puede separar los átomos de Quine de otros conjuntos. Por otro lado, los átomos de Quine permiten algunas construcciones que no podrían justificarse con átomos sin estructura: por ejemplo, dado un conjunto S de átomos de Quine, es fácil construir una aplicación de cada x ∈ S a su singleton { x } (que es simplemente la aplicación identidad en S ). Por lo tanto, un modelo de NF con átomos de Quine suele ser muy diferente de un modelo de NFU, donde la cardinalidad del conjunto de todos los átomos suele ser mayor que la del conjunto de todos los conjuntos. La importancia de esta diferencia se evidencia en el hecho de que NFU es consistente con el axioma de elección, mientras que NF no lo es. [ 12 ]

De forma similar a la situación de NF, la teoría de conjuntos ZF, sin el axioma de regularidad, no puede probar la existencia de conjuntos no bien fundados (a menos que sea inconsistente, en cuyo caso probará cualquier enunciado arbitrario ), pero es compatible con la existencia de átomos de Quine. El axioma de antifundación de Aczel implica que existe un único átomo de Quine. Otras teorías no bien fundadas pueden admitir muchos átomos de Quine distintos; en el extremo opuesto del espectro se encuentra el axioma de superuniversalidad de Boffa , que implica que los distintos átomos de Quine forman una clase propia . [ 13 ]

Los átomos de Quine son los únicos conjuntos denominados conjuntos reflexivos por Peter Aczel , [ 13 ] aunque otros autores, por ejemplo Jon Barwise y Lawrence Moss, utilizan este último término para denotar la clase más amplia de conjuntos con la propiedad x  ∈ x . [ 14 ] : 57 

Referencias

  1. ↑ Dexter Chua et al.: ZFA: Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos , en: ncatlab.org: nLab, revisado el 16 de julio de 2016.
  2. ↑ Jech, Thomas J. ( 1973). El axioma de la elección . Mineola, Nueva York: Dover Publ. pág. 45. ISBN  0486466248.
  3. ^ Suppes, Patrick (1972). Teoría de conjuntos axiomática ([Éd. corr. et augm. du texte paru en 1960] ed.). Nueva York: Dover Publ. ISBN  0486616304Consultado el 17 de septiembre de 2012 .
  4. ↑ Mendelson, Elliott (1997). Introducción a la lógica matemática (4.ª ed.). Londres: Chapman & Hall. págs. 297–304 . ISBN   978-0412808302Consultado el 17 de septiembre de 2012 .
  5. ^ Zermelo , Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" . Fundamentos Mathematicae . 16 : 29– 47. doi : 10.4064/fm-16-1-29-47 .
  6. ↑ Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 175–221 . ISBN  9780821809778.
  7. ↑ Jensen, Ronald Björn (diciembre de 1968). "Sobre la coherencia de una ligera (?) modificación de 'New Foundations' de Quine"" . Síntesis . 19 (1/2). Springer: 250– 264. doi : 10.1007/bf00568059 . ISSN 0039-7857 . JSTOR 20114640. S2CID 46960777 .   
  8. ↑ Holmes, Randall, 1998. Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal . Academia-Bruylant.
  9. ↑ Thomas Forster (2003). Lógica, inducción y conjuntos . Cambridge University Press. pág. 199. ISBN  978-0-521-53361-4.
  10. ↑ Quine, WV (1951). Lógica matemática . DeGruyter. pp. 134–136 . doi : 10.4159/9780674042469 . 
  11. ↑ Forster, Thomas E. ; Holmes, M. Randall (2009). "Métodos de permutación en NF y NFU" (PDF) . Actas de la reunión del 70.º aniversario de NF en Cambridge . Vol. 16. Académia-EME éditions. pp. 33–76 .  
  12. ↑ Holmes, Randall (2023). "Introducción a New Foundations, con atención a los errores de Quine" (PDF) . Recuperado el 26 de enero de 2026 .
  13. 1 2 Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets , CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford University, Center for the Study of Language and Information, p. 57 , ISBN   0-937073-22-9, MR 0940014 , consultado el 17 de octubre de 2016 .
  14. ↑ Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Círculos viciosos. Sobre las matemáticas de los fenómenos no bien fundamentados , CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, ISBN  1575860090.