Ideal de aumento

En álgebra , un ideal de aumento es un ideal que puede definirse en cualquier anillo de grupo .

Si G es un grupo y R un anillo conmutativo , existe un homomorfismo de anillos.${\displaystyle \varepsilon }$, llamado mapa de aumento , del anillo de grupo${\displaystyle R[G]}$a${\displaystyle R}$, definido tomando una suma (finita ^{[ Nota 1 ] )}${\displaystyle \sum r_{i}g_{i}}$a${\displaystyle \sum r_{i}.}$ (Aquí${\displaystyle r_{i}\in R}$y${\displaystyle g_{i}\in G}$.) En términos menos formales,${\displaystyle \varepsilon (g)=1_ {R}}$para cualquier elemento${\displaystyle g\in G}$,${\displaystyle \varepsilon (rg)=r}$para cualquier elemento${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle g\in G}$, y${\displaystyle \varepsilon }$Luego se extiende a un homomorfismo de R - módulos de la manera obvia.

El ideal de aumento A es el núcleo de${\displaystyle \varepsilon }$y por lo tanto es un ideal bilateral en R [ G ].

A se genera por las diferencias${\displaystyle gg'}$de elementos del grupo. De forma equivalente, también se genera por${\displaystyle \{g-1:g\in G\}}$, lo cual es una base para A como un R -módulo libre.

Para R y G como se indicó anteriormente, el anillo de grupo R [ G ] es un ejemplo de un álgebra R aumentada . Dicha álgebra viene equipada con un homomorfismo de anillos a R. El núcleo de este homomorfismo es el ideal de aumento del álgebra.

El ideal de aumento desempeña un papel fundamental en la cohomología de grupos , entre otras aplicaciones.

• Sea G un grupo y${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$el anillo de grupo sobre los enteros. Sea I el ideal de aumento de${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$. Entonces el cociente I / I ² es isomorfo a la abelianización de G , definida como el cociente de G por su subgrupo conmutador.
• Una representación compleja V de un grupo G es una${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$- módulo. Los coinvariantes de V pueden describirse entonces como el cociente de V por IV , donde I es el ideal de aumento en${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$.
• Otra clase de ejemplos de ideal de aumento puede ser el núcleo de la counidad${\displaystyle \varepsilon }$de cualquier álgebra de Hopf .

• DL Johnson (1990). Presentaciones de grupos . Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  15. Cambridge University Press . págs. 149–150 . ISBN  0-521-37203-8.
• Dummit y Foote, Álgebra abstracta