Triángulo automediano

En geometría plana , un triángulo automediano es un triángulo en el que las longitudes de las tres medianas (los segmentos de recta que conectan cada vértice con el punto medio del lado opuesto) son proporcionales a las longitudes de los tres lados, en un orden diferente. Las tres medianas de un triángulo automediano pueden trasladarse para formar los lados de un segundo triángulo similar al primero.

Las longitudes de los lados de un triángulo automediano satisfacen la fórmula${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$o una permutación de la misma, análoga al teorema de Pitágoras que caracteriza a los triángulos rectángulos como los triángulos que satisfacen la fórmula${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

De forma equivalente, para que los tres números${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$ser los lados de un triángulo automediano, la secuencia de tres longitudes de lados al cuadrado${\displaystyle b^{2}}$,${\displaystyle a^{2}}$, y${\displaystyle c^{2}}$debe formar una progresión aritmética . ^{[ 1 ]} Es decir,${\displaystyle b^{2}-k=a^{2}}$, y${\displaystyle a^{2}-k=c^{2}}$(por ejemplo, si${\displaystyle b=17}$,${\displaystyle a=13}$, y${\displaystyle c=7}$, entonces${\displaystyle k=120}$:${\displaystyle 17^{2}-120=13^{2}=169}$, y${\displaystyle 13^{2}-120=7^{2}=49}$).

Si${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si${\displaystyle 2x<z}$, entonces${\displaystyle z}$,${\displaystyle x+y}$, y${\displaystyle y-x}$son los tres lados de un triángulo automediano. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con lados de longitudes 5, 12 y 13 se puede utilizar para formar de esta manera un triángulo automediano con lados de longitudes 13, 17 y 7. ^{[ 2 ]}

La condición que${\displaystyle 2x<z}$es necesario: si no se cumpliera, entonces los tres números${\displaystyle a=z}$,${\displaystyle b=x+y}$, y${\displaystyle c=y-x}$seguiría satisfaciendo la ecuación${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$caracterizan los triángulos automedianos, pero no satisfacen la desigualdad triangular y no pueden usarse para formar los lados de un triángulo.

En consecuencia, utilizando la fórmula de Euler que genera triángulos pitagóricos primitivos , es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos (es decir, con lados que no comparten ningún factor común) como $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}}$$ con${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$coprimo,${\displaystyle m+n}$impar, y para satisfacer la desigualdad triangular${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$(si la cantidad dentro de los signos de valor absoluto es negativa) o${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$(si esa cantidad es positiva). Entonces las medianas de este triángulo${\displaystyle t_{a},t_{b},t_{c}}$se obtienen utilizando las expresiones anteriores para sus lados en la fórmula general para medianas : $${\displaystyle t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},}$$ donde la segunda ecuación en cada caso refleja la característica de automediana${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.}$

De esto se pueden observar las relaciones de similitud. $${\displaystyle {\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.}$$

Existe un triángulo automediano primitivo de lados enteros que no se genera a partir de un triángulo rectángulo: concretamente, el triángulo equilátero con lados de longitud unitaria.

Hay 18 triángulos automedianos enteros primitivos, que se muestran aquí como tríos de lados.${\displaystyle (a,b,c)}$, con${\displaystyle b\leq 200}$:

Por ejemplo, (26, 34, 14) no es una tripleta automediana primitiva, ya que es un múltiplo de (13, 17, 7) y no aparece arriba.

Si${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$es el área del triángulo automediano, según la fórmula de Herón${\displaystyle \Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).}$^{[ 3 ]}

La línea de Euler de un triángulo automediano es perpendicular a la mediana del lado${\displaystyle a}$. ^{[ 2 ]}

Si las medianas de un triángulo automediano se extienden hasta la circunferencia circunscrita del triángulo, entonces los tres puntos${\displaystyle LMN}$donde las medianas extendidas se encuentran con la circunferencia circunscrita forman un triángulo isósceles . Los triángulos para los cuales este segundo triángulo${\displaystyle LMN}$Los triángulos isósceles son precisamente aquellos que son isósceles o automedianos. Esta propiedad de los triángulos automedianos contrasta con el teorema de Steiner-Lehmus , según el cual los únicos triángulos cuyas bisectrices de ángulos tienen la misma longitud son los triángulos isósceles. ^{[ 2 ]}

Además, supongamos que${\displaystyle ABC}$es un triángulo automediano, en el cual el vértice${\displaystyle A}$se encuentra frente al lado${\displaystyle a}$. Dejar${\displaystyle G}$ser el punto donde las tres medianas de${\displaystyle ABC}$intersecarse y dejar${\displaystyle AL}$ser una de las medianas extendidas de${\displaystyle ABC}$, con${\displaystyle L}$acostado en el círculo circunscrito de${\displaystyle ABC}$. Entonces${\displaystyle BGCL}$es un paralelogramo , los dos triángulos${\displaystyle BGL}$y${\displaystyle CLG}$en las que se puede subdividir son ambas similares a${\displaystyle ABC}$,${\displaystyle G}$es el punto medio de${\displaystyle AL}$y la línea de Euler del triángulo es la mediatriz de${\displaystyle AL}$. ^{[ 2 ]}

Al generar un triángulo automediano primitivo a partir de una terna pitagórica primitiva utilizando los parámetros euclidianos${\displaystyle m,n}$, entonces${\displaystyle m>n}$y de ello se deduce que${\displaystyle b\geq a\geq c}$Como los triángulos automedianos no primitivos son múltiplos de sus primitivos, las desigualdades de los lados se aplican a todos los triángulos automedianos enteros. La igualdad solo se da para triángulos equiláteros triviales. Además, debido a${\displaystyle m+n}$Siempre es extraño, todos los lados${\displaystyle a,b,c}$tienen que ser impares. Este hecho permite que las ternas automedianas tengan lados y perímetro de números primos únicamente. Por ejemplo, (13, 17, 7) tiene un perímetro de 37.

Porque en un triángulo automediano primitivo lado${\displaystyle a}$es la suma de dos cuadrados e igual a la hipotenusa de la terna pitagórica primitiva generadora, es divisible solo por primos congruentes con 1  (mod 4). En consecuencia,${\displaystyle a}$debe ser congruente con 1  (módulo 4).

De manera similar, debido a que los lados están relacionados por${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$cada uno de los lados${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$En la automediana primitiva, es la diferencia entre el doble de un cuadrado y un cuadrado. También son la suma y la diferencia de los catetos de una terna pitagórica primitiva. Esto restringe${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$ser divisible solo por primos congruentes con ±1  (mod 8). En consecuencia,${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$debe ser congruente con ±1  (mod 8). ^{[ 4 ]}

El estudio de los cuadrados enteros en progresión aritmética tiene una larga historia que se remonta a Diofanto y Fibonacci ; está estrechamente relacionado con las congruas , que son los números que pueden ser las diferencias de los cuadrados en dicha progresión. ^{[ 1 ]} Sin embargo, la conexión entre este problema y los triángulos automedianos es mucho más reciente. El problema de caracterizar los triángulos automedianos fue planteado a finales del siglo XIX en el Educational Times (en francés) por Joseph Jean Baptiste Neuberg , y resuelto allí con la fórmula${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$por William John Greenstreet . ^{[ 5 ]}

Aparte de los casos triviales de triángulos equiláteros, el triángulo con longitudes de lado 17, 13 y 7 es el triángulo automediano más pequeño (por área o perímetro) con longitudes de lado enteras. ^{[ 2 ]}

Solo existe un triángulo rectángulo automediano, el triángulo cuyos lados son proporcionales a 1, a la raíz cuadrada de 2 y a la raíz cuadrada de 3. [ ^{2 ] Este} triángulo es el segundo triángulo en la espiral de Teodoro . Es el único triángulo rectángulo en el que dos de las medianas son perpendiculares entre sí. ^{[ 2 ]}

• Triángulo entero
• Triángulo de Kepler , un triángulo rectángulo en el que las longitudes de los lados al cuadrado forman una progresión geométrica en lugar de una progresión aritmética.
• triángulo mediano

• Triángulos automedianos y cuadrados mágicos (páginas de matemáticas de KS Brown)