triplete pitagórico

Que la satisfacción de la fórmula de Euclides por a, b, c es suficiente para que el triángulo sea pitagórico es evidente por el hecho de que para enteros positivos m y n , m > n , los a , b y c dados por la fórmula son todos enteros positivos, y por el hecho de que

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$$

Una prueba de la necesidad de que a, b, c se expresen mediante la fórmula de Euclides para cualquier terna pitagórica primitiva es la siguiente. ^{[ 6 ]} Todas estas ternas primitivas se pueden escribir como ( a , b , c ) donde a ² + b ² = c ² y a , b , c son coprimos . Por lo tanto , a , b , c son coprimos dos a dos (si un número primo dividiera a dos de ellos, también dividiría al tercero). Como a y b son coprimos, al menos uno de ellos es impar. Si suponemos que a es impar, entonces b es par y c es impar (si tanto a como b fueran impares, c sería par, y c ² sería un múltiplo de 4, mientras que a ² + b ² sería congruente con 2 módulo 4 , como un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4).

De${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$Supongamos que a es impar. Obtenemos${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$y por lo tanto${\displaystyle (ca)(c+a)=b^{2}.}$Entonces${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(ca)}}.}$Desde${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$es racional, lo igualamos a${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$en términos mínimos. Por lo tanto${\displaystyle {\tfrac {(ca)}{b}}={\tfrac {n}{m}},}$siendo el recíproco de ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}.}$Luego, resolver

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$$

para${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$y${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$da

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$$

Como${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$está completamente reducido, m y n son coprimos y no pueden ser ambos pares. Si ambos fueran impares, el numerador de${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$sería un múltiplo de 4 (porque un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4), y el denominador 2mn no sería un múltiplo de 4. Dado que 4 sería el factor par mínimo posible en el numerador y 2 sería el factor par máximo posible en el denominador, esto implicaría que a es par a pesar de definirlo como impar. Por lo tanto, uno de m y n es impar y el otro es par, y los numeradores de las dos fracciones con denominador 2mn son impares. Así, estas fracciones están completamente reducidas (un primo impar que divide este denominador divide a uno de m y n pero no al otro; por lo tanto, no divide ^a m² ± n² ). Así, se pueden igualar los numeradores con los numeradores y los denominadores con los denominadores, dando como ^resultado la fórmula de Euclides. $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$con m y n coprimos y de paridades opuestas.

Una demostración más larga pero más común se da en Maor (2007) ^{[ 7 ]} y Sierpiński (2003). ^{[ 8 ]} Otra demostración se da en Ecuación diofántica §  Ejemplo de ternas pitagóricas , como una instancia de un método general que se aplica a toda ecuación diofántica homogénea de grado dos.

^{Supongamos que los lados} de un triángulo pitagórico tienen longitudes m² − n² , 2mn y m² + n² , y supongamos que el ángulo entre el cateto de longitud ^{m² − n²} y la hipotenusa de longitud m² + n² se denota como ^β . Entonces${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$y los valores trigonométricos de ángulo completo son${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$,${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$y​${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$⁠ . ^{[ 9 ]}

La siguiente variante de la fórmula de Euclides es a veces más conveniente, ya que es más simétrica en m y n (misma condición de paridad en m y n ).

Si m y n son dos enteros impares tales que m > n , entonces $${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$$ son tres enteros que forman una terna pitagórica, la cual es primitiva si y solo si m y n son coprimos. Recíprocamente, toda terna pitagórica primitiva surge (después del intercambio de a y b , si a es par) de un único par m > n > 0 de enteros impares coprimos.

Las propiedades de una terna pitagórica primitiva ( a , b , c ) con a < b < c (sin especificar cuál de a o b es par y cuál es impar) incluyen:

• Como máximo uno de a , b , c es un cuadrado. ^{[ 10 ]}
• El área de un triángulo pitagórico no puede ser el cuadrado ^{[ 11 ] : p. 17} ni el doble del cuadrado ^{[ 11 ] : p. 21} de un entero.
• Exactamente uno de a , b es divisible por 2 (es par ), y la hipotenusa c siempre es impar. ^{[ 12 ]}
• Exactamente uno de a , b es divisible por 3, pero nunca c . ^{[ 13 ] [ 8 ] : 23–25}
• Exactamente uno de a , b es divisible por 4, ^{[ 8 ]} pero nunca c (porque c nunca es par).
• Exactamente uno de a , b , c es divisible por 5. ^{[ 8 ]}
• El mayor número que siempre divide a abc es 60. ^{[ 14 ]}
• Cualquier número impar de la forma 2 m + 1 , donde m es un entero y m > 1 , puede ser el cateto impar de una terna pitagórica primitiva. Véase la sección sobre ternas pitagóricas primitivas casi isósceles más adelante. Sin embargo, solo los números pares divisibles por 4 pueden ser el cateto par de una terna pitagórica primitiva. Esto se debe a que la fórmula de Euclides para el cateto par, dada anteriormente, es 2 mn , y uno de m o n debe ser par.
• La hipotenusa c (que siempre es impar) es la suma de dos cuadrados. Esto requiere que todos sus factores primos sean primos de la forma 4 n + 1 . ^{[ 15 ]} Por lo tanto, c es de la forma 4 n + 1 . Una secuencia de posibles números de hipotenusa para una terna pitagórica primitiva se puede encontrar en (secuencia A008846 en el OEIS ) .
• El área ( K = ab /2) es un número congruente ^{[ 16 ]} divisible por 6.
• En todo triángulo pitagórico, el radio del círculo inscrito y los radios de los tres círculos exscritos son enteros positivos. Específicamente, para una terna primitiva, el radio del círculo inscrito ( inradius ) es r = n ( m − n ) , y los radios de los círculos exscritos opuestos a los lados m ² − n ² , 2mn , y a la hipotenusa m ² + n ² son respectivamente m ( m − n ) , n ( m + n ) , y m ( m + n ) . ^{[ 17 ]}
• En cuanto a cualquier triángulo rectángulo, el recíproco del teorema de Tales dice que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la hipotenusa; por lo tanto, para las ternas primitivas, el diámetro de la circunferencia es ^m² + n² , y el radio de la circunferencia es la mitad de este y, por lo tanto ^, es racional pero no entero (ya que m y n tienen paridad opuesta).
• En cada triángulo pitagórico,${\displaystyle {\tfrac {(ca)(cb)}{2}}}$es un cuadrado perfecto, ^{[ 18 ]} es decir${\displaystyle \left({\tfrac {a+bc}{2}}\right)^{2},}$que es el cuadrado del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo. ^{[ 19 ]}
• Cuando el área de un triángulo pitagórico se multiplica por las curvaturas de su circunferencia inscrita y sus tres circunferencias exinscritas, el resultado son cuatro enteros positivos w > x > y > z , respectivamente. Los enteros −w , x , y , z satisfacen la ecuación de la circunferencia de Descartes . ^{[ 20 ]} De forma equivalente, el radio de la circunferencia de Soddy exterior de cualquier triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro. El centro de Soddy exterior se encuentra en D , donde ACBD es un rectángulo, ACB el triángulo rectángulo y AB su hipotenusa. ^{[ 20 ] : pág. 6}
• Solo dos lados de una terna pitagórica primitiva pueden ser primos simultáneamente porque, según la fórmula de Euclides para generar una terna pitagórica primitiva, uno de los lados debe ser compuesto y par. ^{[ 21 ]} Sin embargo, solo un lado puede ser un entero de potencia perfecta.${\displaystyle p\geq 2}$porque si ambos lados fueran números enteros de potencias perfectas con el mismo exponente${\displaystyle p}$Esto contradiría el hecho de que no existen soluciones enteras para la ecuación diofántica.${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$, con${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$siendo coprimos por pares. ^{[ 22 ]}
• No existen triángulos pitagóricos en los que la hipotenusa y un cateto sean catetos de otro triángulo pitagórico; esta es una de las formas equivalentes del teorema del triángulo rectángulo de Fermat . ^{[ 11 ] : p. 14}
• Cada triángulo pitagórico primitivo tiene una razón de área, K , a semiperímetro cuadrado , s , que es única para sí mismo y está dada por ^{[ 23 ].}

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• Ningún triángulo pitagórico primitivo tiene una altura entera desde la hipotenusa; es decir, todo triángulo pitagórico primitivo es indescomponible. ^{[ 24 ]}
• El conjunto de todas las ternas pitagóricas primitivas forma un árbol ternario con raíz de forma natural; véase Árbol de ternas pitagóricas primitivas .
• Ninguno de los ángulos agudos de un triángulo pitagórico puede ser un número racional de grados . ^{[ 25 ]} (Esto se deduce del teorema de Niven ).

Además, se puede garantizar la existencia de ternas pitagóricas especiales con ciertas propiedades adicionales:

• Todo número entero mayor que 2 que no sea congruente con 2 mod 4 (es decir, todo número entero mayor que 2 que no tenga la forma 4k + 2 ) forma parte de una terna pitagórica primitiva. (Si el número entero tiene la forma 4k , se puede tomar n = 1 y m = 2k en la fórmula de Euclides; si el número entero es 2k + 1 , se puede tomar n = k y m = k + 1 ).
• Todo número entero mayor que 2 forma parte de una terna pitagórica primitiva o no primitiva. Por ejemplo, los números enteros 6, 10, 14 y 18 no forman parte de ternas primitivas, pero sí forman parte de las ternas no primitivas (6, 8, 10) , (14, 48, 50) y (18, 80, 82) .
• Existen infinitas ternas pitagóricas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en uno. Dichas ternas son necesariamente primitivas y tienen la forma (2 n + 1, 2 n² + 2 ⁿ , 2 n² + 2 ⁿ + 1) . Esto se deduce de la fórmula de Euclides al observar que la condición implica que la terna es primitiva y debe verificar ( m² + ^n² ) - 2 mn = 1. Esto implica ( m – n ) ^² = 1 , y por lo tanto m = n + 1. La forma anterior de las ternas resulta, por lo tanto, de sustituir ^m por n + 1 en la fórmula de Euclides.
• Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en dos. Todas son primitivas y se obtienen sustituyendo n = 1 en la fórmula de Euclides. De forma más general, para cada entero k > 0 , existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto impar difieren en 2k² . Se obtienen sustituyendo n = k ^en la fórmula de Euclides.
• Existen infinitas ternas pitagóricas en las que los dos catetos difieren exactamente en uno. Por ejemplo, 20² ⁺ 21² ⁼ 29² ^; estas se generan mediante la fórmula de Euclides cuando${\displaystyle {\tfrac {mn}{n}}}$es una convergencia a${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
• Para cada entero positivo k , existen k ternas pitagóricas con hipotenusas diferentes y la misma área.
• Para cada entero positivo k , existen al menos k ternas pitagóricas primitivas diferentes con la misma pata a , donde a es algún entero positivo (la longitud de la pata par es 2 mn , y basta con elegir a con muchas factorizaciones, por ejemplo a = 4 b , donde b es un producto de k primos impares diferentes; esto produce al menos 2 ^k ternas primitivas diferentes). ^{[ 8 ] : 30}
• Para cada entero positivo k , existen al menos k ternas pitagóricas diferentes con la misma hipotenusa. ^{[ 8 ] : 31}
• Si c = p ^e es una potencia prima , existe una terna pitagórica primitiva a ² + b ² = c ² si y solo si el primo p tiene la forma 4 n + 1 ; esta terna es única salvo el intercambio de a y b .
• De forma más general, un entero positivo c es la hipotenusa de una terna pitagórica primitiva si y solo si cada factor primo de c es congruente con 1 módulo 4 ; es decir, cada factor primo tiene la forma 4 n + 1 . En este caso, el número de ternas pitagóricas primitivas ( a , b , c ) con a < b es 2 ^{k −1} , donde k es el número de factores primos distintos de c . ^{[ 26 ]}
• Existen infinitas ternas pitagóricas con números cuadrados tanto para la hipotenusa c como para la suma de los catetos a + b . Según Fermat, la terna más pequeña de este tipo ^{[ 27 ]} tiene lados a = 4.565.486.027.761 ; b = 1.061.652.293.520 ; y c = 4.687.298.610.289 . Aquí a + b = 2.372.159² ^y c = 2.165.017² ^. Esto se genera mediante la fórmula de Euclides con valores de parámetros m = 2.150.905 y n = 246.792 .
• Existen triángulos pitagóricos no primitivos con altura entera desde la hipotenusa . ^{[ 28 ] [ 29 ]} Estos triángulos pitagóricos se conocen como descomponibles, ya que pueden dividirse a lo largo de esta altura en dos triángulos pitagóricos más pequeños y separados. ^{[ 24 ]}

La fórmula de Euclides para una terna pitagórica

$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$

puede entenderse en términos de la geometría de puntos racionales en el círculo unitario ( Trautman 1998 ) .

De hecho, un punto en el plano cartesiano con coordenadas ( x , y ) pertenece al círculo unitario si ^x² + y² = 1. ^El punto es racional si x e y son números racionales , es decir, si existen enteros coprimos a , b , c tales que $${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$$

Al multiplicar ambos miembros por c² , se puede observar que los puntos racionales en el círculo están en correspondencia biunívoca con las ternas pitagóricas primitivas ^.

El círculo unitario también puede definirse mediante una ecuación paramétrica.$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$$ La fórmula de Euclides para las ternas pitagóricas y la relación inversa t = y / (1 + x ) significan que, excepto para (−1, 0) , un punto ( x , y ) en el círculo es racional si y solo si el valor correspondiente de t es un número racional. Nótese que t = y / (1 + x ) = b / ( c + a ) = n / m es también la tangente de la mitad del ángulo opuesto al lado b del triángulo .

Existe una correspondencia entre los puntos del círculo unitario con coordenadas racionales y las ternas pitagóricas primitivas. En este punto, las fórmulas de Euclides pueden derivarse mediante métodos trigonométricos o, equivalentemente, utilizando la proyección estereográfica .

Para el enfoque estereográfico, supongamos que P ′ es un punto en el eje x con coordenadas racionales.

$${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$$

Entonces, se puede demostrar mediante álgebra básica que el punto P tiene coordenadas

$${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$$

Esto establece que cada punto racional del eje x se proyecta sobre un punto racional del círculo unitario. El recíproco, que cada punto racional del círculo unitario proviene de un punto del eje x , se deduce aplicando la proyección estereográfica inversa. Supongamos que P ( x , y ) es un punto del círculo unitario con x e y números racionales. Entonces, el punto P ′ obtenido mediante proyección estereográfica sobre el eje x tiene coordenadas

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$$

lo cual es racional.

En términos de geometría algebraica , la variedad algebraica de puntos racionales en el círculo unitario es birracional a la recta afín sobre los números racionales. Por lo tanto, el círculo unitario se denomina curva racional , y es este hecho el que permite una parametrización explícita de los puntos (números racionales) en él mediante funciones racionales .

Si consideramos el cuadrado de un entero gaussiano, obtenemos la siguiente interpretación directa de la fórmula de Euclides como representación del cuadrado perfecto de un entero gaussiano.

$${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$$

Utilizando los hechos de que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano y que para un entero gaussiano p${\displaystyle |p|^{2}}$siempre es un cuadrado es posible demostrar que una terna pitagórica corresponde al cuadrado de un entero gaussiano primo si la hipotenusa es prima.

Si el entero gaussiano no es primo, entonces es el producto de dos enteros gaussianos p y q con${\displaystyle |p|^{2}}$y${\displaystyle |q|^{2}}$enteros. Dado que las magnitudes se multiplican en los enteros gaussianos, el producto debe ser${\displaystyle |p||q|}$, que al elevarla al cuadrado para hallar una terna pitagórica debe ser compuesta. La contrapositiva completa la demostración.

El caso n = 1 de la construcción más general de ternas pitagóricas se conoce desde hace mucho tiempo. Proclo , en su comentario a la proposición 47 del primer libro de los Elementos de Euclides , lo describe de la siguiente manera:

Se han transmitido ciertos métodos para el descubrimiento de triángulos de este tipo, uno que se atribuye a Platón y otro a Pitágoras . (Este último) parte de números impares. Toma el número impar como el menor de los lados del ángulo recto; luego eleva su cuadrado, le resta la unidad y toma la mitad de la diferencia como el mayor de los lados del ángulo recto; finalmente, le suma la unidad y así forma el lado restante, la hipotenusa. ...Porque el método de Platón parte de números pares. Toma el número par dado y lo convierte en uno de los lados del ángulo recto; luego, bisecando este número y elevando al cuadrado la mitad, le suma la unidad al cuadrado para formar la hipotenusa y le resta la unidad al cuadrado para formar el otro lado del ángulo recto. ...De esta manera, ha formado el mismo triángulo que se obtuvo con el otro método.

En forma de ecuación, esto se convierte en:

a es impar (Pitágoras, c. 540 a. C.):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$$

a es par (Platón, c. 380 a. C.):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$$

Se puede demostrar que todas las ternas pitagóricas se pueden obtener, con el reescalamiento adecuado, a partir de la secuencia platónica básica ( ^a , ( a² - ¹ )/2 y ( a² + 1)/2 ) permitiendo que a tome valores racionales no enteros. Si se reemplaza a por la fracción m / n de la secuencia, el resultado es igual al generador de ternas "estándar" (2mn , m² - n², m² + n² ) después ^del reescalamiento . De ^ello se deduce que cada terna tiene un valor ^racional de a correspondiente que ^se puede usar para generar un triángulo semejante (uno con los mismos tres ángulos y con lados en las mismas proporciones que el original). Por ejemplo, el equivalente platónico de (56, 33, 65) se genera mediante a = m / n = 7/4 como ( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32) . La secuencia platónica en sí misma se puede derivar siguiendo los pasos para 'dividir el cuadrado' descritos en Diofanto II.VIII .

Dados tres enteros positivos${\displaystyle x<y<z}$⁠ , sus cuadrados están en progresión aritmética si $${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2},}$$ o equivalentemente si $${\displaystyle x^{2}+z^{2}=2y^{2}.}$$

Las progresiones aritméticas de tres cuadrados están en correspondencia biunívoca con las ternas pitagóricas.

De hecho, si${\displaystyle (a,b,c)}$⁠ es una terna pitagórica tal que ⁠${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, entonces $${\displaystyle (a-b)^{2},\quad c^{2},\quad (a+b)^{2}}$$ son tres cuadrados en progresión aritmética, ya que${\displaystyle (a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}}$.​

Por el contrario, si${\displaystyle x^{2}<y^{2}<z^{2}}$Son tres cuadrados en progresión aritmética, de tal manera que${\displaystyle y^{2}={\tfrac {x^{2}+z^{2}}{2}}}$, entonces $${\displaystyle \left({\tfrac {z-x}{2}},\quad y,\quad {\tfrac {z+x}{2}}\right)}$$ es una terna pitagórica. Como estas transformaciones son inversas entre sí, definen la correspondencia uno a uno anunciada.

Esta correspondencia biunívoca implica que casi todas las propiedades de las progresiones aritméticas de cuadrados se deducen fácilmente de una propiedad correspondiente de las ternas pitagóricas.

En particular, la fórmula de Euclides implica que todas las progresiones aritméticas de tres cuadrados se pueden obtener como $${\displaystyle (m^{2}-n^{2}-2mn)^{2},\quad (m^{2}+m^{2})^{2},\quad (m^{2}-n^{2}+2mn)^{2},}$$ donde​${\displaystyle m}$y​​${\displaystyle n}$son dos enteros positivos arbitrarios de paridad diferente .

Además, la diferencia${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$La diferencia entre dos cuadrados consecutivos en una progresión aritmética de cuadrados es siempre un múltiplo de 24. Esto resulta de las relaciones de divisibilidad dadas en §  Propiedades generales , ya que esta diferencia es${\displaystyle 2ab}$, donde​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$son los primeros elementos de la terna euclidiana asociada.

Resulta que la progresión aritmética más pequeña de tres cuadrados es $${\displaystyle (1,25,49).}$$

La ecuación,

$${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$$

es equivalente a la terna pitagórica especial,

$${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$$

Existe un número infinito de soluciones para esta ecuación, ya que resolver para las variables implica una curva elíptica . Las más pequeñas son:

$${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$$

$${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$$

Una forma de generar soluciones para${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$es parametrizar a, b, c, d en términos de enteros m, n, p, q de la siguiente manera: ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$$

Dados dos conjuntos de ternas pitagóricas,

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$$

el problema de encontrar productos iguales de un lado que no es la hipotenusa y la hipotenusa,

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$$

es fácil ver que es equivalente a la ecuación,

$${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$$

y fue resuelto por primera vez por Euler como${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134.}$ Dado que demostró que se trata de un punto racional en una curva elíptica , entonces existen infinitas soluciones. De hecho, también halló una parametrización polinómica de séptimo grado.

En el caso del teorema del círculo de Descartes, donde todas las variables son cuadrados,

$${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$$

Euler demostró que esto es equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,

$${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$$

También existe un número infinito de soluciones, y para el caso especial cuando${\displaystyle a+b=c}$, entonces la ecuación se simplifica a,

$${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$$

con pequeñas soluciones como${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$y se pueden resolver como formas cuadráticas binarias .

Ninguna terna pitagórica es isósceles , porque la razón de la hipotenusa con respecto a cualquiera de los otros lados es √2 , pero √2 no se puede expresar como la razón de 2 enteros .

Sin embargo, existen triángulos rectángulos con lados enteros para los cuales las longitudes de los lados que no son la hipotenusa difieren en uno, como por ejemplo:

$${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$$

$${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$$

y un número infinito de otros. Se pueden parametrizar completamente como,

$${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$$

donde { x, y } son las soluciones de la ecuación de Pell.${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$

Si a , b , c son los lados de este tipo de terna pitagórica primitiva, entonces la solución a la ecuación de Pell viene dada por la fórmula recursiva.

$${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$$con${\displaystyle a_{1}=3}$y${\displaystyle a_{2}=20}$$${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$$con${\displaystyle b_{1}=4}$y${\displaystyle b_{2}=21}$$${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$$con${\displaystyle c_{1}=5}$y​${\displaystyle c_{2}=29}$⁠ . ^{[ 37 ]}

Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tronco central del árbol ternario enraizado de ternas pitagóricas primitivas.

Cuando el lado no hipotenusoso más largo y el lado hipotenusoso difieren en uno, como en

$${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$$

$${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$$

Entonces, la solución completa para la terna pitagórica primitiva a , b , c es

$${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$$

y

$${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$$

donde entero${\displaystyle m>0}$es el parámetro generador.

Esto demuestra que todos los números impares (mayores que 1) aparecen en este tipo de terna pitagórica primitiva casi isósceles. Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tronco exterior derecho del árbol ternario enraizado de ternas pitagóricas primitivas.

Otra propiedad de este tipo de tripleta pitagórica primitiva casi isósceles es que los lados están relacionados de tal manera que $${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$$ para algún número entero${\displaystyle K}$O en otras palabras${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$es divisible por${\displaystyle c}$como en $${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$$. ^{[ 38 ]}

Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o dicho de otro modo, el mayor número en una terna pitagórica, obtenido a partir de la fórmula $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$ La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida a partir de esta fórmula tiene lados de longitudes

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo precedente. ^{[ 39 ]}

La expresión $${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$$ es una n - tupla pitagórica para cualquier tupla de enteros positivos ( m ₁ , ..., m _n ) con m ² ₁ > m ² ₂ + ... + m ² _n . La n -tupla pitagórica se puede convertir en primitiva dividiendo por el mayor divisor común de sus valores.

Además, cualquier n -tupla pitagórica primitiva a ² ₁ + ... + a ² _n = c ² puede encontrarse mediante este método. Use ( m ₁ , ..., m _n ) = ( c + a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) para obtener una n -tupla pitagórica mediante la fórmula anterior y divida por el mayor divisor entero común, que es 2 m ₁ = 2( c + a ₁ ) . Dividir por el mayor divisor común de estos valores ( m ₁ , ..., m _n ) da la misma n- tupla pitagórica primitiva; y hay una correspondencia biunívoca entre tuplas de enteros positivos coprimos por conjuntos ( m ₁ , ..., m _n ) que satisfacen m ² ₁ > m ² ₂ + ... + m ² _n y n- tuplas pitagóricas primitivas.

Ejemplos de la relación entre valores coprimos por conjuntos${\displaystyle {\vec {m}}}$y las n -tuplas pitagóricas primitivas incluyen: ^{[ 40 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$$

Una generalización del concepto de ternas pitagóricas consiste en la búsqueda de ternas de enteros positivos a , b y c , tales que a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ , para algún n estrictamente mayor que 2. Pierre de Fermat afirmó en 1637 que no existía tal terna, una afirmación que llegó a conocerse como el Último Teorema de Fermat porque tardó más tiempo que cualquier otra conjetura de Fermat en ser probada o refutada. La primera prueba fue presentada por Andrew Wiles en 1994.

Otra generalización consiste en buscar secuencias de n + 1 enteros positivos para las cuales la enésima potencia del último término sea la suma de las enésimas potencias de los términos anteriores. Las secuencias más pequeñas para valores conocidos de n son:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}.
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Para el caso n = 3 , en el que${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$Denominada ecuación cúbica de Fermat , existe una fórmula general que proporciona todas las soluciones.

Una generalización ligeramente diferente permite que la suma de las potencias ( k + 1) n sea igual a la suma de las potencias ( n − k ) n . Por ejemplo:

• ( n = 3 ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , hecho famoso por el recuerdo de Hardy de una conversación con Ramanujan sobre el número 1729 como el número más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos de dos maneras distintas.

También pueden existir n − 1 enteros positivos cuyas potencias n -ésimas suman una potencia n -ésima (aunque, por el último teorema de Fermat , no para n = 3) ; estos son contraejemplos a la conjetura de Euler sobre la suma de potencias . Los contraejemplos conocidos más pequeños son ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 14 ]}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

Un triángulo heroniano se define comúnmente como aquel cuyos lados son enteros y cuya área también es entera. Las longitudes de los lados de dicho triángulo forman una terna heroniana ( a, b, c ) para a ≤ b ≤ c . Toda terna pitagórica es una terna heroniana, ya que al menos uno de los catetos a o b debe ser par en una terna pitagórica, por lo que el área ab /2 es un número entero. Sin embargo, no toda terna heroniana es una terna pitagórica, como lo demuestra el ejemplo (4, 13, 15) con un área de 24.

Si ( a , b , c ) es una terna heroniana, también lo es ( ka , kb , kc ) , donde k es cualquier entero positivo; su área será el entero que es k ² veces el área entera del triángulo ( a , b , c ) . La terna heroniana ( a , b , c ) es primitiva siempre que a , b , c sean coprimos por conjuntos . (Con las ternas pitagóricas primitivas, también se aplica la afirmación más fuerte de que son coprimas por pares , pero con los triángulos heronianos primitivos, la afirmación más fuerte no siempre se cumple, como con (7, 15, 20) ). Aquí hay algunas de las ternas heronianas primitivas más simples que no son ternas pitagóricas:

(4, 13, 15) con área 24

(3, 25, 26) con área 36

(7, 15, 20) con área 42

(6, 25, 29) con área 60

(11, 13, 20) con área 66

(13, 14, 15) con área 84

(13, 20, 21) con área 126

Según la fórmula de Herón , la condición adicional para que una terna de enteros positivos ( a , b , c ) con a < b < c sea heroniana es que

( a ² + b ² + c ² ) ² − 2( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

o equivalentemente

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

sea ​​un cuadrado perfecto distinto de cero divisible por 16.

Las ternas pitagóricas primitivas se han utilizado en criptografía como secuencias aleatorias y para la generación de claves. ^{[ 47 ]}