Automorfismo

En matemáticas , un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático consigo mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto y una forma de mapearlo a sí mismo conservando toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo , llamado grupo de automorfismos . En términos generales, es el grupo de simetrías del objeto.

En una estructura algebraica como un grupo , un anillo o un espacio vectorial , un automorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo de un objeto en sí mismo. (La definición de homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véanse, por ejemplo, el homomorfismo de grupos , el homomorfismo de anillos y el operador lineal ).

De manera más general, para un objeto en alguna categoría , un automorfismo es un morfismo del objeto a sí mismo que tiene un morfismo inverso; es decir, un morfismo${\displaystyle f:X\to X}$es un automorfismo si existe un morfismo${\displaystyle g:X\to X}$de tal manera que${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$dónde${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$es el morfismo identidad de X. Para estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes; en este caso, el morfismo identidad es simplemente la función identidad , y a menudo se le llama automorfismo trivial .

Los automorfismos de un objeto X forman un grupo bajo la composición de morfismos , que se denomina grupo de automorfismos de X. Esto se deduce directamente de la definición de una categoría.

El grupo de automorfismos de un objeto X en una categoría C se suele denotar Aut _C ( X )., o simplemente Aut( X ) si la categoría es clara por el contexto.

• En teoría de conjuntos , una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismos de X también se denomina grupo simétrico en X.
• En aritmética elemental , el conjunto de los números enteros ,${\displaystyle \mathbb {Z} }$Considerado como un grupo bajo la adición, posee un único automorfismo no trivial: la negación. Sin embargo, considerado como un anillo, solo posee el automorfismo trivial. En general, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano , pero no de un anillo ni de un cuerpo.
• Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo a sí mismo. De manera informal, es una permutación de los elementos del grupo tal que la estructura permanece inalterada. Para cada grupo G existe un homomorfismo de grupo natural G → Aut( G ) cuya imagen es el grupo Inn( G ) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G . Por lo tanto, si G tiene un centro trivial , puede incrustarse en su propio grupo de automorfismos. ^{[ 1 ]}
• En álgebra lineal , un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V. Un automorfismo es un operador lineal invertible sobre V. Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismos de V es el mismo que el grupo lineal general GL( V ). (La estructura algebraica de todos los endomorfismos de V es en sí misma un álgebra sobre el mismo cuerpo base que V , cuyos elementos invertibles consisten precisamente en GL( V )).
• Un automorfismo de cuerpo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un cuerpo en sí mismo.
  • El campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales no tiene otro automorfismo que la identidad, ya que un automorfismo debe fijar la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 ; la suma de un número finito de 1 debe estar fija, así como los inversos aditivos de estas sumas (es decir, el automorfismo fija todos los enteros ); finalmente, dado que todo número racional es el cociente de dos enteros, todos los números racionales deben estar fijados por cualquier automorfismo.
  • El campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de los números reales no tiene otros automorfismos aparte de la identidad. De hecho, los números racionales deben estar fijados por cada automorfismo, como se indicó anteriormente; un automorfismo debe preservar las desigualdades ya que${\displaystyle x<y}$es equivalente a${\displaystyle \exists z\mid yx=z^{2},}$y esta última propiedad se conserva en todo automorfismo; finalmente, todo número real debe ser fijo ya que es la menor cota superior de una secuencia de números racionales.
  • El campo${\displaystyle \mathbb {C} }$de los números complejos tiene un automorfismo no trivial único que fija los números reales. Es la conjugación compleja , que mapea${\displaystyle i}$a${\displaystyle -i.}$El axioma de elección implica la existencia de una cantidad incontable de automorfismos que no fijan los números reales. ^{[ 2 ] [ 3 ]}
  • El estudio de los automorfismos de extensiones de cuerpos algebraicos es el punto de partida y el objeto principal de la teoría de Galois .
• El grupo de automorfismos de los cuaterniones ( ⁠${\displaystyle \mathbb {H} }$⁠ ) ​​como un anillo son los automorfismos internos, por el teorema de Skolem-Noether : aplicaciones de la forma a ↦ bab ⁻¹ . ^{[ 4 ]} Este grupo es isomorfo a SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional.
• El grupo de automorfismos de los octoniones ( ⁠${\displaystyle \mathbb {O} }$⁠ ) ​​es el grupo de Lie excepcional G ₂ .
• En teoría de grafos, un automorfismo de un grafo es una permutación de los nodos que conserva las aristas y los nodos que no lo son. En particular, si dos nodos están unidos por una arista, sus imágenes también lo están bajo dicha permutación.
• En geometría , un automorfismo puede denominarse movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada:
  • En geometría métrica, un automorfismo es una autoisometría . El grupo de automorfismos también se denomina grupo de isometrías .
  • En la categoría de superficies de Riemann , un automorfismo es una aplicación biholomorfa (también llamada aplicación conforme ) de una superficie a sí misma. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones de Möbius .
  • Un automorfismo de una variedad diferenciable M es un difeomorfismo de M en sí misma. El grupo de automorfismos a veces se denota como Diff( M ).
  • En topología , los morfismos entre espacios topológicos se denominan aplicaciones continuas , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio consigo mismo, o autohomeomorfismo (véase grupo de homeomorfismos ). En este ejemplo, no basta con que un morfismo sea biyectivo para que sea un isomorfismo.

Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , donde descubrió un automorfismo de orden dos, ^{[ 5 ]} escribiendo:

de modo que${\displaystyle \mu }$es una nueva quinta raíz de la unidad, conectada con la antigua quinta raíz${\displaystyle \lambda }$por relaciones de perfecta reciprocidad.

En algunas categorías —en particular grupos , anillos y álgebras de Lie— es posible separar los automorfismos en dos tipos, llamados automorfismos "internos" y "externos".

En el caso de los grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones por los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G , la conjugación por a es la operación φ _a  : G → G dada por φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (o a ⁻¹ ga ; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn( G ); esto se conoce como el lema de Goursat .

Los demás automorfismos se denominan automorfismos externos . El grupo cociente Aut( G ) / Inn( G ) se suele denotar por Out( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.

La misma definición es válida en cualquier anillo o álgebra unitaria donde a sea cualquier elemento invertible . Para las álgebras de Lie, la definición es ligeramente diferente.

• Antiautomorfismo
• Automorfismo (en los rompecabezas de Sudoku)
• Subgrupo característico
• Anillo de endomorfismo
• automorfismo de Frobenius
• Morfismo
• Automorfismo de orden (en teoría del orden ).
• Automorfismo que preserva las relaciones
• Transformada fraccional de Fourier

• Automorfismo en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Automorfismo" . MundoMatemático .