S5 (lógica modal)

En lógica y filosofía , S5 es uno de los cinco sistemas de lógica modal propuestos por Clarence Irving Lewis y Cooper Harold Langford en su libro de 1932, Lógica simbólica . Es una lógica modal normal y uno de los sistemas de lógica modal más antiguos de cualquier tipo. Está formado con fórmulas de cálculo proposicional y tautologías , y aparatos de inferencia con sustitución y modus ponens , pero extendiendo la sintaxis con el operador modal necesariamente${\displaystyle \Box }$y su dual posiblemente${\displaystyle \Diamond }$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

A continuación se utilizan los operadores modales.${\displaystyle \Box }$("necesariamente") y${\displaystyle \Diamond }$("probablemente").

S5 se caracteriza por los siguientes axiomas:

• K :${\displaystyle \Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)}$;
• T :${\displaystyle \Box A\to A}$,

y cualquiera de las siguientes opciones:

• 5 :${\displaystyle \Diamond A\to \Box \Diamond A}$;
• o ambas de las siguientes: ^{[ 3 ]}

• 4 :${\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}$, y
• B :${\displaystyle A\to \Box \Diamond A}$.

El axioma (5) restringe la relación de accesibilidad.${\displaystyle R}$del marco de Kripke para ser euclidiano , es decir${\displaystyle (wRv\land wRu)\implica vRu}$, confundiendo así la necesidad con la posibilidad bajo la idempotencia .

En términos de la semántica de Kripke , S5 se caracteriza por marcos donde la relación de accesibilidad es una relación de equivalencia : es reflexiva , transitiva y simétrica .

Determinar la satisfacibilidad de una fórmula S5 es un problema NP-completo . La prueba de dificultad es trivial, ya que S5 incluye la lógica proposicional . La pertenencia se demuestra mostrando que cualquier fórmula satisfacible tiene un modelo de Kripke donde el número de mundos es, como máximo, lineal con respecto al tamaño de la fórmula.

S5 es útil porque evita la repetición superflua de calificadores de distintos tipos. Por ejemplo, según S5, si X es necesariamente, posiblemente, necesariamente, posiblemente verdadero, entonces X es posiblemente verdadero. Los calificadores sin negrita que preceden al "posiblemente" final se eliminan en S5. Si bien esto es útil para mantener las proposiciones razonablemente cortas, también puede parecer contraintuitivo, ya que, según S5, si algo es posiblemente necesario, entonces es necesario.

Alvin Plantinga ha argumentado que esta característica de S5 no es, de hecho, contraintuitiva. Para justificarlo, razona que si X es posiblemente necesario , lo es en al menos un mundo posible ; por lo tanto, es necesario en todos los mundos posibles y, en consecuencia, es verdadero en todos ellos. Este razonamiento sustenta las formulaciones «modales» del argumento ontológico .

S5 es equivalente a la adjunción${\displaystyle \Diamond \dashv \Box }$. ^{[ 4 ]}

Leibniz propuso un argumento ontológico para la existencia de Dios utilizando este axioma. En sus palabras: «Si un ser necesario es posible, se deduce que existe realmente». ^{[ 5 ]}

S5 es también el sistema modal para la metafísica de Santo Tomás de Aquino y, en particular, para las Cinco Vías . ^{[ 6 ]}

Sin embargo, estas aplicaciones requieren que cada operador esté en una disposición serial de una sola modalidad. ^{[ 7 ]} Bajo la lógica multimodal , por ejemplo, "X es posiblemente (en la modalidad epistémica, según los datos de uno) necesario (en la modalidad alética)", ya no se sigue que el hecho de que X sea necesario en al menos un mundo epistémicamente posible signifique que sea necesario en todos los mundos epistémicamente posibles. Esto concuerda con la intuición de que proponer una cierta entidad necesaria no significa que sea real.

• Lógica modal
• Lógica modal normal
• Semántica de Kripke

• http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/s5.html Archivado el 22 de abril de 2006 en Wayback Machine
• Lógica modal en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford