Axiom of choice

In mathematics, the axiom of choice, abbreviated AC or AoC, is an axiom of set theory. Informally put, the axiom of choice says that given any collection of non-empty sets, one can identify another set containing one element chosen from each set, even if the collection is infinite. Formally, the axiom establishes existence rather than a construction; it states that for every set ${\displaystyle I}$ and every ${\displaystyle I}$-indexed family${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ of nonempty sets, there exists an ${\displaystyle I}$-indexed set ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ of elements of ${\displaystyle \cup _{i\in I}S_{i}}$ such that ${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$ for every ${\displaystyle i\in I}$. The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem.^[1]

In many cases, a set created by choosing elements can be made without invoking the axiom of choice, particularly if the number of sets from which to choose the elements is finite (in which induction can be applied), or if a canonical rule on how to choose the elements is available – some distinguishing property that happens to hold for exactly one element in each set. An illustrative example is sets picked from the natural numbers. From such sets, one may always select the smallest number, e.g. given the sets {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}}, the set containing each smallest element is {4, 10, 1}. In this case, "select the smallest number" is a choice function. Even if infinitely many sets are collected from the natural numbers, it will always be possible to form a choice function from choosing the smallest element from each set to produce a set; the axiom of choice is not needed here. On the other hand, for the collection of all non-empty subsets of the real numbers, there is no known canonical rule by which one can choose one element from each of these subsets. In that case, the axiom of choice must be invoked to construct the desired choice function.

Bertrand Russell coined an analogy: for any (even infinite) collection of unordered pairs of shoes, one can pick out the left shoe from each pair to obtain an appropriate collection (i.e. set) of shoes; this makes it possible to define a choice function without using the axiom of choice. However, for an infinite collection of unordered pairs of socks (assumed to have no distinguishing features such as being a left sock rather than a right sock), there is no natural (i.e., canonical) way of choosing one sock from each pair, so one must appeal to the axiom of choice to construct the desired choice function.^[2]

Although originally controversial, the axiom of choice is now used without reservation by most mathematicians,^[3] and is included in the standard form of axiomatic set theory, Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice (ZFC). One motivation for this is that a number of generally accepted mathematical results, such as Tychonoff's theorem, require the axiom of choice for their proofs. Contemporary set theorists also study axioms that are not compatible with the axiom of choice, such as the axiom of determinacy. While some varieties of constructive mathematics avoid the axiom of choice, others embrace it.

A choice function (also called selector or selection) is a function ${\displaystyle f}$, defined on a collection ${\displaystyle X}$de conjuntos no vacíos, de tal manera que para cada conjunto${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$,${\displaystyle f(A)}$es un elemento de${\displaystyle A}$Con este concepto, se puede enunciar el axioma:

Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera:

$${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \in X\lor \exists f\left[\mathrm {dom} \ f=X\land \forall A\in X\left[f\left(A\right)\in A\right]\right]\right].}$$

Cada función de elección en una familia${\displaystyle X}$de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los conjuntos en${\displaystyle X}$y viceversa. Por lo tanto, una forma equivalente del axioma de elección es:

Esta forma implica una forma más general donde el producto cartesiano es de una familia general de conjuntos indexados (que pueden contener duplicados), ya que siempre se puede seleccionar el mismo elemento de los factores duplicados.

Variantes

Existen muchas otras formulaciones equivalentes del axioma de elección. Estas son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y, a su vez, se derivan de él.

Una variante evita el uso de funciones de elección, sustituyendo, en efecto, cada función de elección por su rango:

Dado cualquier conjunto${\displaystyle X}$, si el conjunto vacío no es un elemento de${\displaystyle X}$y los elementos de${\displaystyle X}$son disjuntos por pares , entonces existe un conjunto${\displaystyle C}$de tal manera que su intersección con cualquiera de los elementos de${\displaystyle X}$contiene exactamente un elemento. ^{[ 5 ]}

Esto se puede formalizar en lógica de primer orden como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x(&\\&\exists e(e\in x\land \lnot \exists y(y\in e))\lor \\&\exists a\,\exists b\,\exists c\,(a\in x\land b\in x\land c\in a\land c\in b\land \lnot (a=b))\lor \\&\exists c\,\forall e\,(e\in x\implies \exists a\,(a\in e\land a\in c\land \forall b\,((b\in e\land b\in c)\implies a=b))))\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle P\lor Q\lor R}$es lógicamente equivalente a${\displaystyle (\lnot P\land \lnot Q)\implies R}$En inglés, esta oración de primer orden se lee:

Dado cualquier conjunto${\displaystyle X}$,

${\displaystyle X}$contiene el conjunto vacío como un elemento o

los elementos de${\displaystyle X}$no son disjuntos por pares o

existe un conjunto${\displaystyle C}$de tal manera que su intersección con cualquiera de los elementos de${\displaystyle X}$contiene exactamente un elemento.

Esto garantiza cualquier partición de un conjunto.${\displaystyle X}$la existencia de un subconjunto${\displaystyle C}$de${\displaystyle X}$que contiene exactamente un elemento de cada parte de la partición.

Otro axioma equivalente solo considera colecciones.${\displaystyle X}$que son esencialmente conjuntos potencia de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, el conjunto de potencias de${\displaystyle A}$(con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en${\displaystyle A}$, pero esta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto potencia de${\displaystyle A}$(con el conjunto vacío eliminado), y por lo tanto tiene sentido para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, whereas with the definition used elsewhere in this article, the domain of a choice function on a collection of sets is that collection, and so only makes sense for sets of sets. With this alternate notion of choice function, the axiom of choice can be compactly stated as

Every set has a choice function.^[6]

which is equivalent to

For any set ${\displaystyle A}$ there is a function ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(A)\setminus \{\emptyset \}\to A}$ such that for any non-empty subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle f(B)}$ lies in ${\displaystyle B}$.

The negation of the axiom can thus be expressed as:

There is a set ${\displaystyle A}$ such that for all functions ${\displaystyle f}$ (on the set of non-empty subsets of ${\displaystyle A}$), there is a subset ${\displaystyle B}$ such that ${\displaystyle f(B)}$ does not lie in ${\displaystyle B}$.

Until the late 19th century, the axiom of choice was often used implicitly, although it had not yet been formally stated. For example, after having established that the set X contains only non-empty sets, a mathematician might have said "let F(s) be one of the members of s for all s in X" to define a function F. In general, it is impossible to prove that F exists without the axiom of choice, but this seems to have gone unnoticed until Zermelo.

A proof requiring the axiom of choice may establish the existence of an object without canonicallydefining the object in the language of set theory. For example, while the axiom of choice implies that there is a well-ordering of the real numbers, there are models of set theory with the axiom of choice in which no individual well-ordering of the reals is definable. Similarly, although a subset of the real numbers that is not Lebesgue measurable can be proved to exist using the axiom of choice, it is consistent that no such set is definable.^[8]

The axiom of choice asserts the existence of these intangibles (objects that are proved to exist, but which cannot be constructed in any canonical way), which may conflict with some philosophical principles.^[9] Because there is no canonical well-ordering of all sets, a construction that relies on a well-ordering may not produce a canonical result, even if a canonical result is desired (as is often the case in category theory). This has been used as an argument against the use of the axiom of choice.

Another argument against the axiom of choice is that it implies the existence of objects that may seem counterintuitive.^[10] One example is the Banach–Tarski paradox, which says that it is possible to decompose the 3-dimensional solid unit ball into finitely many pieces and, using only rotations and translations, reassemble the pieces into two solid balls each with the same volume as the original. The pieces in this decomposition, constructed using the axiom of choice, are non-measurable sets.

Despite these seemingly paradoxical results, most mathematicians accept the axiom of choice as a valid principle for proving new results in mathematics. But the debate is interesting enough that it is considered notable when a theorem in ZFC (ZF plus AC) is logically equivalent (with just the ZF axioms) to the axiom of choice, and mathematicians look for results that require the axiom of choice to be false, though this type of deduction is less common than the type that requires the axiom of choice to be true.

Los teoremas de ZF son válidos en cualquier modelo de dicha teoría, independientemente de la veracidad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. Las implicaciones de elección que se presentan a continuación, incluyendo versiones más débiles del propio axioma, se enumeran porque no son teoremas de ZF. La paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no se puede demostrar ni refutar únicamente con ZF: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible demostrar que no existe tal descomposición. Tales afirmaciones se pueden reformular como enunciados condicionales; por ejemplo, «Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski». Dichos enunciados condicionales se pueden demostrar en ZF cuando los enunciados originales se pueden demostrar con ZF y el axioma de elección.

Como se mencionó anteriormente, en la teoría clásica de ZFC, el axioma de elección permite demostraciones no constructivas en las que se prueba la existencia de un tipo de objeto sin una construcción canónica explícita de una instancia de dicho tipo. De hecho, en la teoría de conjuntos y la teoría de topos , el teorema de Diaconescu demuestra que el axioma de elección implica la ley del tercero excluido . Por lo tanto, este principio no está disponible en la teoría constructiva de conjuntos , donde se emplea la lógica no clásica.

La situación es diferente cuando el principio se formula en la teoría de tipos de Martin-Löf . Allí, y en la aritmética de Heyting de orden superior , la formulación apropiada del axioma de elección se incluye (según el enfoque) como un axioma o se puede demostrar como un teorema. ^{[ 11 ]} Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que sí tiene el axioma de elección en la teoría constructiva de conjuntos. ^{[ 12 ]} El contexto de la teoría de tipos se analiza más adelante.

Se han estudiado exhaustivamente diferentes principios de elección en contextos constructivos, y el estatus de estos principios varía entre las distintas escuelas y variedades de las matemáticas constructivas. Algunos resultados en la teoría constructiva de conjuntos utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no implican la ley del tercero excluido. Errett Bishop , conocido por desarrollar un marco para el análisis constructivo , argumentó que un axioma de elección era constructivamente aceptable, afirmando:

En matemáticas constructivas existe una función de elección, porque la elección está implícita en el significado mismo de la existencia. ^{[ 13 ]}

Aunque el axioma de elección contable en particular se usa comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado. ^{[ 14 ]}

Se sabe desde 1922 que el axioma de elección puede fallar en una variante de ZF con urelementos , a través de la técnica de modelos de permutación introducida por Abraham Fraenkel _{[15] y desarrollada posteriormente por Andrzej Mostowski. [16] La técnica básica se puede ilustrar de la siguiente manera: Sean x n e y n} ^{urelementos distintos para} n = 1 ^{, 2 ,} 3 ... _, y construyamos un modelo donde cada conjunto es simétrico bajo el intercambio x _n ↔ y _n para todos excepto un número finito de n . Entonces el conjunto X = {{ x ₁ , y ₁ }, { x ₂ , y ₂ }, { x ₃ , y ₃ }, ...} puede estar en el modelo, pero conjuntos como { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} no pueden, y por lo tanto X no puede tener una función de elección.

En 1938, ^{[ 17 ]} Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF mediante la construcción de un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC, demostrando así que ZFC es consistente si ZF mismo es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica de forzamiento , desarrollada para este propósito, para demostrar que, suponiendo que ZF es consistente, el axioma de elección mismo no es un teorema de ZF. Lo hizo construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadida como axioma) y demostrando así que ZF¬C es consistente. El modelo de Cohen es un modelo simétrico , similar a los modelos de permutación, pero utiliza subconjuntos "genéricos" de los números naturales (justificados por forzamiento) en lugar de urelementos. ^{[ 18 ]}

En conjunto, estos resultados demuestran que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva, ya que añadir otro axioma a un sistema ya inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a esta independencia, la decisión de usar el axioma de elección (o su negación) en una demostración no puede basarse en otros axiomas de la teoría de conjuntos, sino en otros fundamentos.

Un argumento a favor del uso del axioma de elección es su conveniencia, ya que permite demostrar proposiciones simplificadoras que de otro modo serían imposibles. Muchos teoremas demostrables mediante el axioma de elección poseen un elegante carácter general: las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables, todo anillo unitario no trivial tiene un ideal maximal , todo espacio vectorial tiene una base , todo grafo conexo tiene un árbol generador y todo producto de espacios compactos es compacto, entre muchos otros. Con frecuencia, el axioma de elección permite generalizar un teorema a objetos de mayor envergadura. Por ejemplo, se puede demostrar sin el axioma de elección que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, pero la generalización a todos los espacios vectoriales requiere dicho axioma. Del mismo modo, se puede demostrar que un producto finito de espacios compactos es compacto sin el axioma de elección, pero la generalización a productos infinitos ( teorema de Tychonoff ) requiere su uso.

La demostración del resultado de independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluyendo todos los enunciados que pueden formularse en el lenguaje de la aritmética de Peano , son demostrables en ZF si y solo si son demostrables en ZFC. ^{[ 19 ]} Los enunciados de esta clase incluyen el enunciado de que P = NP , la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Al intentar resolver problemas de esta clase, no importa si se emplea ZF o ZFC si la única cuestión es la existencia de una demostración. Sin embargo, es posible que exista una demostración más corta de un teorema en ZFC que en ZF.

El axioma de elección no es la única afirmación significativa independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizado (HCG) no solo es independiente de ZF, sino también de ZFC. Sin embargo, ZF más HCG implica AC, lo que convierte a HCG en una afirmación estrictamente más fuerte que AC, aunque ambas sean independientes de ZF.

El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizado implican el axioma de elección y son estrictamente más fuertes que él. En teorías de clases como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , existe un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección para conjuntos porque también se aplica a clases propias. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño . El axioma de Tarski, que se usa en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck y establece (en lenguaje común) que todo conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck , es más fuerte que el axioma de elección.

Hay afirmaciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF pero no los de AC ni los de ¬AC, son equivalentes al axioma de elección (es decir, sus valores de verdad en ZF, aunque indecidibles, son los mismos que los de AC). ^{[ 20 ]} Las más importantes entre ellas son el lema de Zorn y el teorema del buen ordenamiento . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección para formalizar su demostración del teorema del buen ordenamiento.

• teoría de conjuntos
  • Tricotomía: Las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables entre sí. Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera, existe una inyección desde (al menos) uno de ellos hacia el otro.
  • Teorema de Tarski sobre la elección : Para cada conjunto infinito${\displaystyle A}$, los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle A\times A}$tienen la misma cardinalidad ; es decir, existe una biyección entre ellas.
  • Cada sobreyección${\displaystyle f:S\to T}$tiene una inversa derecha ; es decir, existe una función${\displaystyle g:T\to S}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{T}}$.
  • Por cada colección inconexa${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos no vacíos, existe un conjunto${\displaystyle C\subseteq \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$que interseca a cada miembro de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en exactamente un elemento. Es decir, cada partición de un conjunto tiene una transversal . ^{[ 21 ]}
  • Si una relación${\displaystyle R}$de un conjunto${\displaystyle X}$a un conjunto${\displaystyle Y}$tiene la propiedad de que para cada${\displaystyle x\in X}$, hay un${\displaystyle y\in Y}$con${\displaystyle xRy}$, entonces existe una función${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle xRf(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$.
  • El producto cartesiano de cualquier familia indexada de conjuntos no vacíos es no vacío. Es decir, para cualquier conjunto${\displaystyle I}$y cualquier${\displaystyle I}$-familia indexada${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$de conjuntos no vacíos, existe un${\displaystyle I}$-conjunto indexado${\displaystyle (s_{i})_{i\in I}}$de elementos en${\displaystyle \cup _{i\in I}(S_{i})}$de tal manera que${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$.
  • En cualquier colección${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de conjuntos no vacíos, existe una subcolección disjunta${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos cuya unión${\displaystyle \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$interseca a todos los miembros de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$(Nótese que dicha subcolección disjunta es precisamente aquella que es máxima con respecto a la inclusión de conjuntos).
  • Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, existe una colección máxima (bajo inclusión de conjuntos)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ of subsets of ${\displaystyle X}$ for which every finite subcollection ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ has a nonempty intersection ${\displaystyle \cap _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$. (This statement is key to a standard proof of Tychonoff's theorem.)
  • Well-ordering theorem: Every set ${\displaystyle A}$ has a well-ordering (i.e., a total ordering in which every nonempty subset of ${\displaystyle A}$ has a minimum element). Consequently, every cardinal has an initial ordinal.
  • For every ordinal${\displaystyle \alpha }$, the powerset (i.e., the set of all subsets) of ${\displaystyle \alpha }$ has a well-ordering.
  • Hausdorff maximal principle: Every partially ordered set has a maximal chain (with respect to inclusion). Equivalently, in a partially ordered set, every chain can be extended to a maximal chain.
  • Antichain principle: Every partially ordered set has a maximal antichain (with respect to inclusion). Equivalently, in any partially ordered set, every antichain can be extended to a maximal antichain.
  • Zorn's lemma: If ${\displaystyle (A,<)}$ is any partially ordered set in which every chain has an upper bound in ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle (A,<)}$ has at least one maximal element.
  • Kuratowski's lemma: If ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is any family of sets with the property that for any subfamily ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ totally ordered by set inclusion, the union ${\displaystyle \cup _{A\in {\mathcal {C}}}(A)}$ is an element of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, then ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ has at least one element maximal with respect to inclusion.
  • Tukey's lemma: If ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is any family of subsets of a set ${\displaystyle X}$ with the property that a set ${\displaystyle B\subseteq X}$ is an element of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ iff every finite subset of ${\displaystyle B}$ is an element of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, then ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ has at least one element maximal with respect to inclusion.
  • König's theorem: Informally, the sum of a sequence of cardinals is strictly less than the product of a sequence of larger cardinals. (The reason for the term "informally" is that the sum or product of a "sequence" of cardinals cannot itself be defined without some aspect of the axiom of choice.)
• Abstract algebra
  • Every vector space has a basis; equivalently, every linearly independent subset of a vector space can be extended to a basis, while every spanning subset contains a basis. In the language of module theory, all vector spaces are free modules.^[22]
  • Krull's theorem: Every nontrivial unital ring contains a maximal ideal; equivalently, every proper ideal of a unital ring can be extended to a maximal ideal.
  • For every non-empty set ${\displaystyle S}$ there is a binary operation defined on ${\displaystyle S}$eso le da una estructura de grupo . ^{[ 23 ]} (Una operación binaria cancelativa es suficiente; véase Estructura de grupo y el axioma de elección ).
  • Todo grupo abeliano libre es proyectivo . ^{[ 24 ]}
  • Criterio de Baer: Todo grupo abeliano divisible es inyectivo . ^{[ 24 ]}
  • Todo conjunto es un objeto proyectivo en la categoría de conjuntos . ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• Análisis funcional
  • La bola unitaria cerrada del dual de un espacio vectorial normado sobre los números reales tiene un punto extremo .
• Topología de conjuntos de puntos
  • Teorema de Tychonoff : El producto de cualquier familia indexada de espacios topológicos compactos es compacto.
  • La clausura del producto de cualquier familia indexada de subconjuntos de un espacio topológico es igual al producto de las clausuras de esos subconjuntos.
• Lógica matemática
  • Si${\displaystyle S}$es un conjunto de oraciones de lógica de primer orden y${\displaystyle B}$es un subconjunto consistente de${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle B}$está incluido en un conjunto que es máximo entre subconjuntos consistentes de${\displaystyle S}$. El caso especial donde${\displaystyle S}$es el conjunto de todas las sentencias de primer orden en una signatura dada es más débil, equivalente al teorema del ideal primo booleano ; véase la sección "Formas más débiles" a continuación.
  • Teorema de Löwenheim-Skolem : Si una teoría de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo infinito de cada cardinalidad posible mayor o igual que la cardinalidad del lenguaje de esta teoría.
• teoría de grafos
  • Todo grafo conexo tiene un árbol de expansión ; equivalentemente, todo árbol en un grafo conexo puede extenderse a un árbol de expansión, mientras que todo subgrafo de expansión contiene un árbol de expansión. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

There are several weaker statements unprovable in ZF that are logically implied by the axiom of choice (AC) within ZF but are not equivalent to AC. One example is the axiom of dependent choice (DC). A still weaker example is the axiom of countable choice (AC_ω or CC), which states that a choice function exists for any countable family of nonempty sets. These axioms are sufficient for many proofs in elementary mathematical analysis, and are consistent with some principles, such as the Lebesgue measurability of all subsets of real numbers, that are disprovable from the full axiom of choice.

Given an ordinal parameter α ≥ ω+2 – for every set S with rank less than α, S is well-orderable. Given an ordinal parameter α ≥ 1 – for every set S with Hartogs number less than ω_α, S is well-orderable. As the ordinal parameter is increased, these approximate the full axiom of choice more and more closely.

Other choice axioms weaker than axiom of choice include the Boolean prime ideal theorem and the axiom of uniformization. The former is equivalent in ZF to Tarski's 1930 ultrafilter lemma: every filter is a subset of some ultrafilter.

Si abreviamos por BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , entonces BP es más fuerte que ¬AC, que afirma la no existencia de cualquier función de elección en tal vez solo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Las negaciones reforzadas pueden ser compatibles con formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC ^{[ 39 ]} + BP es consistente, si ZF lo es.

También es consistente con ZF + DC que todo conjunto de números reales sea medible según Lebesgue , pero este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay , no puede probarse en ZFC mismo, sino que requiere una suposición de cardinal grande leve (la existencia de un cardinal inaccesible ). El axioma de determinatividad mucho más fuerte , o AD, implica que todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad de conjunto perfecto (estos tres resultados son refutados por AC mismo). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma de cardinal grande suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardinales de Woodin ).

El sistema de teoría axiomática de conjuntos de Quine , New Foundations (NF), toma su nombre del título ("New Foundations for Mathematical Logic") del artículo de 1937 que lo introdujo. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede refutarse. ^{[ 40 ]}

Existen modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" como ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible validar la negación de algunos teoremas estándar de ZFC. Dado que cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, para cada una de las siguientes afirmaciones existe un modelo de ZF en el que dicha afirmación es verdadera.

• La negación del principio de partición débil : Existe un conjunto que puede particionarse en más clases de equivalencia que elementos tiene el conjunto original, y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su rango. De hecho, esto se cumple en todos los modelos conocidos .
• Existe una función f de los números reales a los números reales tal que f no es continua en a , pero f es secuencialmente continua en a , es decir, para cualquier secuencia { x _n } que converge a a , lim _n f( x _n )=f(a).
• Existe un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto infinito numerable.
• Los números reales son una unión numerable de conjuntos numerables. ^{[ 41 ]} Esto no implica que los números reales sean numerables: como se señaló anteriormente, para demostrar que una unión numerable de conjuntos numerables es en sí misma numerable se requiere el axioma de elección numerable .
• Existe un cuerpo sin clausura algebraica.
• Existe un cuerpo con dos clausuras algebraicas no isomorfas.
• En todos los modelos de ZF¬C existe un espacio vectorial sin base.
• Existe un espacio vectorial con dos bases de cardinalidades diferentes.
• Existe un álgebra booleana completa y libre sobre una cantidad numerable de generadores. ^{[ 42 ]}
• Existe un conjunto que no puede ordenarse linealmente .
• Existe un modelo de ZFC en el que todo conjunto en R ⁿ es medible . Por lo tanto, es posible excluir resultados contraintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski , que son demostrables en ZFC. Además, esto es posible asumiendo el Axioma de elección dependiente , que es más débil que el AC pero suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis real .
• En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis del continuo generalizado no se cumple.

Para ver las demostraciones, consulte Jech (2008) .

Además, al imponer condiciones de definibilidad a los conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos ), a menudo se pueden demostrar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación de Moschovakis .

En la teoría de tipos , existe un tipo diferente de enunciado conocido como axioma de elección. Esta formulación comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe un y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces existe una función f de objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) se cumple para todo x de tipo σ:

$${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$$

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos se suele enunciar como un esquema axiomático , en el que R varía sobre todas las fórmulas o sobre todas las fórmulas de una forma lógica particular.

• Blass, Andreas (1979). "Inyectividad, proyectividad y el axioma de elección" . Transactions of the American Mathematical Society . 255 : 31–59 . doi : 10.2307/1998165 . JSTOR 1998165 . 
• Dawson, JW (agosto de 2006). "¿Cimientos tambaleantes o realineamiento revolucionario? Una evaluación centenaria del impacto de Kurt Gödel en la lógica, las matemáticas y la informática". Actas del 21.º Simposio Anual del IEEE sobre Lógica en Informática (LICS 2006) . págs. 339-341 . doi : 10.1109/LICS.2006.47 . ISBN  978-0-7695-2631-7. S2CID 15526447 . 
• Fraenkel, Abraham (1922), "Der Begriff "definit" und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 253– 257, JFM 48.0199.02 
• Fraenkel, Abraham A.; Bar -Hillel, Yehoshua ; Lévy, Azriel (1973). Fundamentos de la teoría de conjuntos (2.ª  ed.). Ámsterdam-Londres: North-Holland Publishing Co. pp. 69–70 . ISBN  9780080887050MR 0345816 .​ 
• Hajnal, A .; Kertész, A. (1972). "Algunos nuevos equivalentes algebraicos del axioma de elección". Publ. Matemáticas. Debrecen . 19 ( 1– 4): 339– 340. doi : 10.5486/PMD.1972.19.1-4.37 .
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría ingenua de conjuntos . The University Series in Undergraduate Mathematics. Princeton, NJ: van Nostrand Company. Zbl 0087.04403 . 
• Herrlich, Horst (2006). Axioma de elección . Apuntes de clases de matemáticas. 1876. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-30989-5.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998), Consecuencias del axioma de elección , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  59, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 9780821809778
• Jech, Thomas (2008) [1973]. El axioma de la elección . Mineola, Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Jech, Thomas (1977). "Sobre el axioma de elección". En John Barwise (ed.). Manual de lógica matemática .
• Lévy, Azriel (1958). "La independencia de varias definiciones de finitud" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 46 : 1–13 . doi : 10.4064/fm-46-1-1-13 . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022.
• Mac Lane, Saunders (1986). Matemáticas, forma y función . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96217-4.
• Martin-Löf, Per (2008). «100 años del axioma de elección de Zermelo: ¿Cuál era el problema?». En Lindström, Sten; Palmgren, Erik; Segerberg, Krister; Stoltenberg-Hansen, Viggo (eds.). Logicismo, intuicionismo y formalismo: ¿Qué ha sido de ellos? Springer. ISBN 978-1-4020-8925-1.
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la lógica matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Moore, Gregory H. (1982). El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Springer . ISBN 978-0-387-90670-6., disponible como reimpresión de Dover Publications , 2013, ISBN 0-486-48841-1.
• Mostowski, Andrzej (1938), "Über den Begriff einer Endlichen Menge", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III , 31 (8): 13– 20
• Moore, Gregory H (2013) [1982]. El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Rosenberg, Steven (21 de diciembre de 2021). Una invitación al álgebra abstracta . CRC Press. ISBN 9781000516333.
• Rosenbloom, Paul C. (2005). Los elementos de la lógica matemática . Courier Dover Publications. ISBN 9780486446172.
• Rubin, Herman ; Rubin, Jean E. (abril de 1970) [1963]. Equivalentes del axioma de elección (2.ª  ed. impresa). North Holland / Elsevier. ISBN 9780720422252.
• Rubin, Herman ; Rubin, Jean E. (julio de 1985). Equivalentes del axioma de elección II . North Holland / Elsevier. ISBN 0-444-87708-8.
• Russell, Bertrand (1993) [1919]. Introducción a la filosofía matemática . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-27724-0.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• Suppes, Patrick (1972) [1960]. Teoría axiomática de conjuntos . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8.
• Tourlakis, George (2003). Lecciones de lógica y teoría de conjuntos. Vol. II: Teoría de conjuntos . Cambridge University Press . ISBN 0-511-06659-7.
• Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (reimpresión) . Annalen Matemáticas . 59 (4): 514–16.doi : 10.1007 / BF01445300 . S2CID 124189935 . 
• Zermelo, Ernst (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" (PDF) . Annalen Matemáticas . 65 (2): 261– 281. doi : 10.1007/BF01449999 . Consultado el 15 de mayo de 2025 .

Traducido en: Jean van Heijenoort , 2002. De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 . Nueva edición. Harvard University Press . ISBN 0-674-32449-8

• 1904. "Prueba de que todo conjunto puede estar bien ordenado", 139-41.
• 1908. "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I," 199–215.

• Entrada sobre el axioma de elección en la Enciclopedia de Matemáticas de Springer .
• Entrada sobre el Axioma de Elección y sus Equivalentes en ProvenMath. Incluye la formulación formal del Axioma de Elección, el Principio Maximal de Hausdorff, el Lema de Zorn y demostraciones formales de su equivalencia hasta el más mínimo detalle.
• Consecuencias del axioma de elección Archivado el 15 de mayo de 2021 en Wayback Machine , basado en el libro de Paul Howard Archivado el 26 de febrero de 2021 en Wayback Machine y Jean Rubin.
• Entrada "El axioma de la elección"Por John Lane Bell en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .