Esquema axiomático de reemplazo

En teoría de conjuntos , el esquema axiomático de reemplazo es un esquema de axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier aplicación definible también es un conjunto. Es necesario para la construcción de ciertos conjuntos infinitos en ZF.

El esquema axiomático se basa en la idea de que el hecho de que una clase sea un conjunto depende únicamente de su cardinalidad , no del rango de sus elementos. Por lo tanto, si una clase es lo suficientemente pequeña como para ser un conjunto, y existe una sobreyección de esa clase a una segunda clase, el axioma establece que la segunda clase también es un conjunto. Sin embargo, dado que ZFC solo habla de conjuntos, no de clases propiamente dichas, el esquema se enuncia únicamente para sobreyecciones definibles, las cuales se identifican con sus fórmulas definitorias .

Suponer${\displaystyle P}$es una relación binaria definible (que puede ser una clase propia ) tal que para cada conjunto${\displaystyle x}$Hay un conjunto único${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle P(x,y)}$se cumple. Existe una función definible correspondiente.${\displaystyle F_{P}}$, dónde${\displaystyle F_{P}(x)=y}$si y solo si${\displaystyle P(x,y)}$. Consideremos la clase (posiblemente propia)${\displaystyle B}$definido de tal manera que para cada conjunto${\displaystyle y}$,${\displaystyle y\in B}$si y solo si hay una${\displaystyle x\in A}$con${\displaystyle F_{P}(x)=y}$.${\displaystyle B}$se llama la imagen de${\displaystyle A}$bajo${\displaystyle F_{P}}$y denotado${\displaystyle F_{P}[A]}$o (usando la notación de construcción de conjuntos )${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$.

El esquema axiomático de reemplazo establece que si${\displaystyle F}$es una función de clase definible, como se indicó anteriormente, y${\displaystyle A}$es cualquier conjunto, entonces la imagen${\displaystyle F[A]}$también es un conjunto. Esto puede verse como un principio de pequeñez: el axioma establece que si${\displaystyle A}$es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto, entonces${\displaystyle F[A]}$también es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto. Esto se deduce del axioma más fuerte de limitación de tamaño .

Dado que es imposible cuantificar sobre funciones definibles en lógica de primer orden , se incluye una instancia del esquema para cada fórmula.${\displaystyle \phi }$en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$; pero${\displaystyle B}$no es gratis en${\displaystyle \phi }$En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema axiomático es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

Para el significado de${\displaystyle \exists$ !} , ver cuantificación de unicidad .

Para mayor claridad, en caso de que no haya variables${\displaystyle w_{i}}$, esto se simplifica a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

Así que siempre que${\displaystyle \phi }$especifica un único${\displaystyle x}$-a-${\displaystyle y}$correspondencia, similar a una función${\displaystyle F}$en${\displaystyle A}$, entonces todos${\displaystyle y}$alcanzado de esta manera se puede recopilar en un conjunto${\displaystyle B}$, similar a${\displaystyle F[A]}$.

El esquema axiomático de reemplazo no es necesario para las demostraciones de la mayoría de los teoremas de las matemáticas ordinarias. De hecho, la teoría de conjuntos de Zermelo (Z) ya puede interpretar la aritmética de segundo orden y gran parte de la teoría de tipos en tipos finitos, lo cual, a su vez, es suficiente para formalizar la mayor parte de las matemáticas. Si bien el esquema axiomático de reemplazo es un axioma estándar en la teoría de conjuntos actual, a menudo se omite en los sistemas de teoría de tipos y en los sistemas de fundamentos de la teoría de topos .

En cualquier caso, el esquema axiomático aumenta drásticamente la fuerza de ZF, tanto en términos de los teoremas que puede demostrar —por ejemplo, los conjuntos cuya existencia se ha demostrado— como en términos de su consistencia teórica de demostración , en comparación con Z. A continuación se presentan algunos ejemplos importantes:

• Utilizando la definición moderna debida a von Neumann , demostrando la existencia de cualquier límite ordinal mayor que${\displaystyle \omega }$requiere el axioma de reemplazo. El número ordinal${\displaystyle \omega +\omega }$es el primero de esos ordinales. De hecho, el axioma del infinito afirma la existencia de un conjunto infinito.${\displaystyle \omega =\{0,1,2,\dots \}}$Uno podría esperar definir${\displaystyle \omega +\omega }$como la unión de la secuencia${\displaystyle \{\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}}$Sin embargo, tales clases arbitrarias de ordinales no tienen por qué ser conjuntos; por ejemplo, la clase de todos los ordinales no es un conjunto. El reemplazo ahora permite reemplazar cada número finito${\displaystyle n}$en${\displaystyle \omega }$con el correspondiente${\displaystyle \omega +n}$y, por lo tanto, garantiza que esta clase es un conjunto. Como aclaración, tenga en cuenta que se puede construir fácilmente un conjunto bien ordenado que sea isomorfo a${\displaystyle \omega +\omega }$sin recurrir a la sustitución: simplemente tome la unión disjunta de dos copias de${\displaystyle \omega }$, con la segunda copia mayor que la primera; sin embargo, eso no es un ordinal ya que no está totalmente ordenado por inclusión.

• Los ordinales más grandes dependen menos directamente del reemplazo. Por ejemplo,${\displaystyle \omega _{1}}$, el primer ordinal no numerable , se puede construir de la siguiente manera: el conjunto de órdenes de pozo numerables existe como un subconjunto de${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$por los axiomas de separación y conjunto potencia (una relación en${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle A\times A}$y por lo tanto un elemento de${\displaystyle P(A\times A)}$. Un conjunto de relaciones es, por lo tanto, un subconjunto de${\displaystyle P(A\times A)}$). Reemplaza cada conjunto bien ordenado con su ordinal. Este es el conjunto de ordinales contables.${\displaystyle \omega _{1}}$, que puede demostrarse que es incontable. La construcción utiliza la sustitución dos veces; una para asegurar una asignación ordinal para cada conjunto bien ordenado y otra para reemplazar los conjuntos bien ordenados por sus ordinales. Este es un caso especial del resultado del número de Hartogs , y el caso general puede demostrarse de forma similar.

• En vista de lo anterior, la existencia de una asignación de un ordinal a cada conjunto bien ordenado también requiere reemplazo. De manera similar, la asignación cardinal de von Neumann , que asigna un número cardinal a cada conjunto, requiere reemplazo, así como el axioma de elección .

• Para conjuntos de tuplas definidas recursivamente como${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$y para grandes${\displaystyle A}$, el conjunto${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$tiene un rango demasiado alto para que su existencia pueda probarse a partir de la teoría de conjuntos con solo el axioma de conjunto potencia, elección y sin reemplazo.

• De manera similar, Harvey Friedman demostró que se requieren al menos algunos casos de reemplazo para demostrar que los juegos de Borel están determinados . El resultado demostrado es el teorema de determinabilidad de Borel de Donald A. Martin . Un análisis posterior y más cuidadoso realizado por Martin del resultado demostró que solo requiere reemplazo para funciones con dominio un ordinal contable arbitrario .

• ZF (que incluye reemplazo) demuestra la consistencia de Z, como el conjunto${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$es un modelo de Z cuya existencia puede probarse en ZF. El número cardinal${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el cardinal más pequeño que se puede demostrar que existe en ZF pero no en Z. Para mayor claridad, tenga en cuenta que el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cada una de estas teorías contiene una oración, que "expresa" la consistencia de la propia teoría , que es indemostrable en esa teoría, si esa teoría es consistente; este resultado a menudo se expresa de forma imprecisa como la afirmación de que ninguna de estas teorías puede probar su propia consistencia, si es consistente.

El esquema axiomático de reemplazo no formaba parte de la axiomatización de la teoría de conjuntos de Ernst Zermelo de 1908 ( Z ). Existía una aproximación informal al mismo en las obras inéditas de Cantor , y apareció de nuevo de forma informal en Mirimanoff (1917). ^{[ 5 ]}

Su publicación por Abraham Fraenkel en 1922 es lo que define la teoría moderna de conjuntos como la teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel ( ZFC ). El axioma fue descubierto y anunciado independientemente por Thoralf Skolem más tarde ese mismo año (y publicado en 1923). El propio Zermelo incorporó el axioma de Fraenkel en su sistema revisado, publicado en 1930, que también incluía como nuevo axioma el axioma de fundación de von Neumann . ^{[ 6 ]} Aunque es la versión de primer orden de la lista de axiomas de Skolem la que usamos hoy, ^{[ 7 ]} generalmente no se le reconoce el mérito, ya que cada axioma individual fue desarrollado previamente por Zermelo o Fraenkel. La frase «teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel» fue utilizada por primera vez en una publicación impresa por von Neumann en 1928. ^{[ 8 ]}

Zermelo y Fraenkel mantuvieron una intensa correspondencia en 1921; el axioma de reemplazo fue un tema central de este intercambio. ^{[ 7 ]} Fraenkel inició la correspondencia con Zermelo en algún momento de marzo de 1921. Sin embargo, sus cartas anteriores a la fechada el 6 de mayo de 1921 se han perdido. Zermelo admitió por primera vez una laguna en su sistema en una respuesta a Fraenkel fechada el 9 de mayo de 1921. El 10 de julio de 1921, Fraenkel completó y envió para su publicación un artículo (publicado en 1922) que describía su axioma como capaz de permitir reemplazos arbitrarios: «Si M es un conjunto y cada elemento de M es reemplazado por [un conjunto o un urelemento], entonces M vuelve a ser un conjunto» (completado entre paréntesis y traducción de Ebbinghaus). La publicación de Fraenkel de 1922 agradeció a Zermelo sus útiles argumentos. Antes de esta publicación, Fraenkel anunció públicamente su nuevo axioma en una reunión de la Sociedad Matemática Alemana celebrada en Jena el 22 de septiembre de 1921. Zermelo estuvo presente en dicha reunión; en el debate posterior a la charla de Fraenkel, aceptó el axioma de reemplazo en términos generales, pero expresó reservas respecto a su alcance. ^{[ 7 ]}

Thoralf Skolem hizo público su descubrimiento de la brecha en el sistema de Zermelo (la misma brecha que había encontrado Fraenkel) en una charla que dio el 6 de julio de 1922 en el 5.º Congreso de Matemáticos Escandinavos , celebrado en Helsinki ; las actas de este congreso se publicaron en 1923. Skolem presentó una resolución en términos de reemplazos definibles de primer orden: «Sea U una proposición definida que se cumple para ciertos pares ( a , b ) en el dominio B ; supongamos además que para cada a existe como máximo un b tal que U es verdadera. Entonces, cuando a recorre los elementos de un conjunto M _a , b recorre todos los elementos de un conjunto M _b ». Ese mismo año, Fraenkel escribió una reseña del artículo de Skolem, en la que simplemente afirmó que las consideraciones de Skolem se correspondían con las suyas. ^{[ 7 ]}

El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem del esquema axiomático de reemplazo. ^{[ 7 ]} En un momento dado, denominó al enfoque de Skolem «teoría de conjuntos empobrecida». Zermelo concibió un sistema que permitiría cardinales grandes . ^{[ 9 ]} También se opuso firmemente a las implicaciones filosóficas de los modelos contables de la teoría de conjuntos , que se derivaban de la axiomatización de primer orden de Skolem. ^{[ 8 ]} Según la biografía de Zermelo escrita por Heinz-Dieter Ebbinghaus , la desaprobación de Zermelo al enfoque de Skolem marcó el fin de su influencia en el desarrollo de la teoría de conjuntos y la lógica. ^{[ 7 ]}

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007). Ernst Zermelo: Un acercamiento a su vida y obra . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-49553-6.
• Halmos, Paul R. (1974) [1960]. Teoría de conjuntos ingenua . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos: Tercera edición del milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth (1980). Teoría de conjuntos: Una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.