Rotación de ejes en dos dimensiones

En matemáticas , una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de un eje a otro.${\displaystyle xy}$- Sistema de coordenadas cartesianas a un${\displaystyle x'y'}$-Sistema de coordenadas cartesianas en el que el origen se mantiene fijo y el${\displaystyle x'}$y${\displaystyle y'}$Los ejes se obtienen girando el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$ejes en sentido antihorario a través de un ángulo${\displaystyle \theta }$Un punto${\displaystyle P}$tiene coordenadas${\displaystyle (x,y)}$con respecto al sistema y coordenadas originales${\displaystyle (x',y')}$con respecto al nuevo sistema. ^{[ 1 ]} En el nuevo sistema de coordenadas, el punto${\displaystyle P}$parecerá haber sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj a través del ángulo${\displaystyle \theta }$. Una rotación de ejes en más de dos dimensiones se define de manera similar. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Una rotación de ejes es un mapeo lineal ^{[ 4 ] [ 5 ]} y una transformación rígida .

Los sistemas de coordenadas son esenciales para estudiar las ecuaciones de curvas mediante los métodos de la geometría analítica . Para utilizar el método de geometría de coordenadas, los ejes se colocan en una posición conveniente con respecto a la curva en estudio. Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas , los focos suelen ubicarse en uno de los ejes y se sitúan simétricamente con respecto al origen. Si la curva (hipérbola, parábola , elipse, etc.) no se encuentra en una posición conveniente con respecto a los ejes, se debe cambiar el sistema de coordenadas para colocar la curva en una ubicación y orientación convenientes y familiares. Este proceso se denomina transformación de coordenadas . ^{[ 6 ]}

Las soluciones a muchos problemas pueden simplificarse rotando los ejes de coordenadas para obtener nuevos ejes que pasen por el mismo origen.

Las ecuaciones que definen la transformación en dos dimensiones, que rota el${\displaystyle xy}$ejes en sentido antihorario a través de un ángulo${\displaystyle \theta }$en el${\displaystyle x'y'}$Los ejes se derivan de la siguiente manera.

En el${\displaystyle xy}$sistema, dejemos el punto${\displaystyle P}$tener coordenadas polares${\displaystyle (r,\alpha )}$. Luego, en el${\displaystyle x'y'}$sistema,${\displaystyle P}$tendrá coordenadas polares${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$.

Utilizando funciones trigonométricas , tenemos

y utilizando las fórmulas trigonométricas estándar para diferencias , tenemos

Sustituyendo las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) en las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), obtenemos ^{[ 7 ]}

Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) pueden representarse en forma matricial como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

que es la ecuación matricial estándar de una rotación de ejes en dos dimensiones. ^{[ 8 ]}

La transformación inversa es ^{[ 9 ]}

o $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

La ecuación más general de segundo grado tiene la forma

Mediante un cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traslación de ejes ), la ecuación ( 9 ) se puede expresar en una forma estándar , que suele ser más fácil de manejar. Siempre es posible rotar las coordenadas en un ángulo específico para eliminar la${\displaystyle x'y'}$término. Sustituyendo las ecuaciones ( 7 ) y ( 8 ) en la ecuación ( 9 ), obtenemos

dónde

Si${\displaystyle \theta }$se selecciona de modo que${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$tendremos${\displaystyle B'=0}$y el${\displaystyle x'y'}$El término en la ecuación ( 10 ) desaparecerá. ^{[ 11 ]}

Cuando surge un problema con${\displaystyle B}$,${\displaystyle D}$y${\displaystyle E}$todos distintos de cero, pueden eliminarse realizando sucesivamente una rotación (eliminando${\displaystyle B}$) y una traducción (eliminando la${\displaystyle D}$y${\displaystyle E}$términos). ^{[ 12 ]}

Supongamos que es rectangular${\displaystyle xyz}$-el sistema de coordenadas gira alrededor de su${\displaystyle z}$eje en sentido antihorario (mirando hacia abajo el eje positivo)${\displaystyle z}$eje) a través de un ángulo${\displaystyle \theta }$, es decir, lo positivo${\displaystyle x}$El eje gira inmediatamente hacia el lado positivo.${\displaystyle y}$eje. El${\displaystyle z}$La coordenada de cada punto permanece sin cambios y la${\displaystyle x}$ y${\displaystyle y}$Las coordenadas se transforman como se indicó anteriormente. Las coordenadas antiguas${\displaystyle (x,y,z)}$de un punto${\displaystyle Q}$están relacionadas con sus nuevas coordenadas${\displaystyle (x',y',z')}$por ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

Generalizando a cualquier número finito de dimensiones, una matriz de rotación${\displaystyle A}$es una matriz ortogonal que difiere de la matriz identidad en como máximo cuatro elementos. Estos cuatro elementos son de la forma

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$    y    ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

para algunos${\displaystyle \theta }$y algunos${\displaystyle i\neq j}$. ^{[ 15 ]}

• Rotación
• Rotación (matemáticas)

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª  ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: With Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5.ª  ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª  ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN 76087042