Bäcklund transforma

En matemáticas , las transformaciones de Bäcklund (llamadas así en honor al matemático sueco Albert Victor Bäcklund ) relacionan ecuaciones diferenciales parciales con sus soluciones. Son una herramienta importante en la teoría de solitones y sistemas integrables . Una transformación de Bäcklund es típicamente un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que relaciona dos funciones y, a menudo, depende de un parámetro adicional. Esto implica que ambas funciones satisfacen ecuaciones diferenciales parciales por separado, y se dice entonces que cada una de ellas es una transformación de Bäcklund de la otra.

Una transformada de Bäcklund que relaciona soluciones de una misma ecuación se denomina transformada de Bäcklund invariante o auto-transformada de Bäcklund . Si se encuentra dicha transformada, se puede deducir mucho sobre las soluciones de la ecuación, especialmente si la transformada de Bäcklund contiene un parámetro. Sin embargo, no se conoce ningún método sistemático para encontrar transformadas de Bäcklund.

Las transformaciones de Bäcklund tienen su origen en la geometría diferencial : el primer ejemplo no trivial es la transformación de superficies pseudoesféricas introducida por L. Bianchi y A. V. Bäcklund en la década de 1880. Se trata de una construcción geométrica de una nueva superficie pseudoesférica a partir de una superficie inicial de este tipo, utilizando la solución de una ecuación diferencial lineal . Las superficies pseudoesféricas pueden describirse como soluciones de la ecuación de Sine-Gordon , y por lo tanto, la transformación de Bäcklund de superficies puede considerarse como una transformación de soluciones de dicha ecuación.

El ejemplo prototípico de una transformación de Bäcklund es el sistema de Cauchy-Riemann.

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad u_{y}=-v_{x},\,}$

que relaciona las partes reales e imaginarias${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$de una función holomorfa . Este sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden tiene las siguientes propiedades.

1. Si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son soluciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces${\displaystyle u}$es una solución de la ecuación de Laplace${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0}$ (es decir, una función armónica ), y por lo tanto es${\displaystyle v}$Esto se deduce directamente al diferenciar las ecuaciones con respecto a${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y utilizando el hecho de que${\displaystyle u_{xy}=u_{yx},\quad v_{xy}=v_{yx}.\,}$
2. Por el contrario, si${\displaystyle u}$es una solución de la ecuación de Laplace, entonces existen funciones${\displaystyle v}$que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann junto con${\displaystyle u}$.

Así, en este caso, una transformación de Bäcklund de una función armónica es simplemente una función armónica conjugada . Las propiedades anteriores significan, más precisamente, que la ecuación de Laplace para${\displaystyle u}$y la ecuación de Laplace para${\displaystyle v}$son las condiciones de integrabilidad para resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Estas son las características de una transformada de Bäcklund. Si tenemos una ecuación diferencial parcial en${\displaystyle u}$y una transformación de Bäcklund desde${\displaystyle u}$a${\displaystyle v}$, podemos deducir una ecuación diferencial parcial que satisface${\displaystyle v}$.

Este ejemplo es bastante trivial, porque las tres ecuaciones (la ecuación para${\displaystyle u}$, la ecuación para${\displaystyle v}$y la transformada de Bäcklund que las relaciona) son lineales. Las transformadas de Bäcklund son más interesantes cuando solo una de las tres ecuaciones es lineal.

Supongamos que u es una solución de la ecuación de seno-Gordon.

${\displaystyle u_{xy}=\sin u.\,}$

Entonces el sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {v+u}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {vu}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

donde a es un parámetro arbitrario, se puede resolver para una función v que también satisfaga la ecuación de seno-Gordon. Este es un ejemplo de una transformada de Bäcklund automática.

Mediante el uso de un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada de Bäcklund lineal para soluciones de la ecuación de seno-Gordon.

Una transformación de Bäcklund puede convertir una ecuación diferencial parcial no lineal en una ecuación diferencial parcial lineal más simple.

Por ejemplo, si u y v están relacionadas mediante la transformada de Bäcklund.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\exp {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}-{\frac {1}{a}}\exp {\Bigl (}{\frac {uv}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

donde a es un parámetro arbitrario, y si u es una solución de la ecuación de Liouville

${\displaystyle u_{xy}=\exp u\,\!}$

entonces v es una solución de la ecuación mucho más simple,${\displaystyle v_{xy}=0}$y viceversa.

Podemos entonces resolver la ecuación de Liouville (no lineal) trabajando con una ecuación lineal mucho más simple.

• Sistema integrable
• ecuación de Korteweg-de Vries
• Transformación de Darboux

• "Transformación de Bäcklund" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Transformación de Bäcklund" . MundoMatemático .