Transformación de Darboux

En matemáticas , la transformación de Darboux , que recibe su nombre de Gaston Darboux (1842-1917), es un método para generar una nueva ecuación y su solución a partir de ecuaciones conocidas. Se utiliza ampliamente en la teoría de la dispersión inversa , en la teoría de polinomios ortogonales [ ^{1 ] [ 2 ]} y como método para construir soluciones solitónicas de la jerarquía de KdV ^{[ 3 ]} . Desde el punto de vista de la teoría de operadores , este método corresponde a la factorización del operador diferencial inicial de segundo orden en un producto de expresiones diferenciales de primer orden y el posterior intercambio de estos factores, por lo que a veces se le denomina ^método de conmutación simple en la literatura matemática ^{[ 4 ]} . La transformación de Darboux tiene aplicaciones en mecánica cuántica supersimétrica ^{[ 5 ] [ 6 ]} .

La idea se remonta a Carl Gustav Jacob Jacobi . ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle y=y(x)}$ser una solución de la ecuación

${\displaystyle -y''(x)+q(x)y(x)=\lambda y(x)}$

y${\displaystyle y=z(x)}$sea ​​una solución fija estrictamente positiva de la misma ecuación para algún${\displaystyle \lambda =\lambda _ {0}}$. Luego para${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{0}}$,

${\displaystyle Y(x):=y'(x)-{\frac {z'(x)}{z(x)}}y(x)=z(x)\left({\frac {y(x)}{z(x)}}\right)'}$

es una solución de la ecuación

${\displaystyle -Y''(x)+Q(x)Y(x)=\lambda Y(x),}$

dónde ${\displaystyle Q(x)=q(x)-2\left({\frac {z'(x)}{z(x)}}\right)'.}$Además, para${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$, una solución de la última ecuación diferencial es${\displaystyle 1/z(x)}$y su solución general se puede encontrar mediante el método de d'Alembert :

${\displaystyle Y(x)={\frac {1}{z(x)}}\left(C_{1}+C_{2}\int ^{x}z^{2}(x)dx\right),}$

dónde${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$son constantes arbitrarias.

La transformación de Darboux modifica no solo la ecuación diferencial, sino también las condiciones de contorno. Esta transformación permite reducir las condiciones de contorno dependientes de los autoparámetros a condiciones de contorno independientes del parámetro del autovalor: una de las condiciones de Dirichlet , Neumann o Robin . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Por otro lado, también permite convertir singularidades de cuadrado inverso en condiciones de contorno de Dirichlet y viceversa. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Así, las transformaciones de Darboux relacionan las condiciones de contorno dependientes de los autoparámetros con singularidades de cuadrado inverso. ^{[ 14 ]}