Instanton BPST

El instantón BPST es una solución clásica esencialmente no perturbativa de las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Se encuentra al minimizar la densidad lagrangiana SU(2) de Yang-Mills :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

con F _μν ^a = ∂ _μ A _ν ^a – ∂ _ν A _μ ^a + g ε ^abc A _μ ^b A _ν ^c la intensidad del campo . El instantón es una solución con acción finita, de modo que F _μν debe tender a cero en el infinito espacio-temporal, lo que significa que A _μ tiende a una configuración de gauge pura. El infinito espacio-temporal de nuestro mundo de cuatro dimensiones es S ³ . El grupo de gauge SU(2) tiene exactamente la misma estructura, por lo que las soluciones con A _μ gauge puro en el infinito son mapeos de S ³ sobre sí mismo. ^{[ 1 ]} Estos mapeos pueden ser etiquetados por un número entero q , el índice de Pontryagin (o número de enrollamiento ). Los instantones tienen q = 1 y, por lo tanto, corresponden (en el infinito) a transformaciones de gauge que no pueden ser deformadas continuamente a la unidad. ^{[ 3 ]} La solución BPST es, por lo tanto, topológicamente estable.

Se puede demostrar que las configuraciones autoduales que obedecen la relación F _μν ^a = ± ⁠ 1 / 2 ⁠ ε ^μναβ F _αβ ^a minimizan la acción. ^{[ 4 ]} Las soluciones con signo positivo se denominan instantones, y las que tienen signo negativo, antiinstantones.

Se puede demostrar que los instantones y anti-instantones minimizan la acción localmente de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$, dónde${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$.

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

El primer término se minimiza mediante configuraciones autoduales o anti-autoduales, mientras que el último término es una derivada total y, por lo tanto, depende únicamente del límite (es decir,${\displaystyle x\rightarrow \infty }$) de la solución; por lo tanto, es un invariante topológico y se puede demostrar que es un número entero multiplicado por alguna constante (la constante aquí es${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$). El número entero se llama número instantón (véase Grupo de homotopía ).

Explícitamente, la solución instantónica viene dada por ^{[ 5 ].}

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}}$

donde z _μ es el centro y ρ la escala del instantón. η ^a _μν es el símbolo de 't  Hooft :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{casos}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{casos}}.}$

Para valores grandes de x ² , ρ se vuelve despreciable y el campo de gauge se aproxima al de la transformación de gauge pura:${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$En efecto, la intensidad del campo es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

y se aproxima a cero tan rápido como r ⁻⁴ en el infinito.

Un anti-instantón se describe mediante una expresión similar, pero con el símbolo 't Hooft reemplazado por el símbolo  anti-'t Hooft. ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}}$, que es igual al  símbolo 't Hooft ordinario, excepto que los componentes con uno de los índices de Lorentz igual a cuatro tienen signo opuesto.

La solución BPST posee numerosas simetrías. ^{[ 6 ]} Las traslaciones y dilataciones transforman una solución en otras. La inversión de coordenadas ( x ^μ → x ^μ / x ² ) transforma un instantón de tamaño ρ en un antiinstantón de tamaño 1/ρ y viceversa. Las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones y las transformaciones conformes especiales dejan la solución invariante (salvo una transformación de calibre).

La acción clásica de un instantón es igual a ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

Dado que esta cantidad aparece como una exponencial en el formalismo de la integral de trayectoria, este es un efecto esencialmente no perturbativo, ya que la función e ^{−1/ x^2} tiene una serie de Taylor nula en el origen, a pesar de ser distinta de cero en cualquier otro lugar.

La expresión para el instantón BPST dada anteriormente está en el llamado calibre de Landau regular . Existe otra forma, que es equivalente en calibre a la expresión dada anteriormente, en el calibre de Landau singular . En ambos calibres, la expresión satisface ∂ _μ A ^μ = 0. En el calibre singular el instantón es

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(xz)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

En el calibre singular, la expresión tiene una singularidad en el centro del instantón, pero tiende a cero más rápidamente cuando x tiende a infinito.

Cuando se trabaja con otros sistemas de galgas distintos al de Landau, se pueden encontrar expresiones similares en la bibliografía.

Se espera que los instantones tipo BPST desempeñen un papel importante en la estructura del vacío de la QCD . De hecho, se encuentran instantones en cálculos de red . Los primeros cálculos realizados con instantones utilizaron la aproximación de gas diluido. Los resultados obtenidos no resolvieron el problema infrarrojo de la QCD, lo que provocó que muchos físicos se alejaran de la física de instantones. Sin embargo, posteriormente se propuso un modelo de líquido de instantones , que resultó ser un enfoque más prometedor. ^{[ 8 ]}

El modelo de gas de instantones diluido parte de la suposición de que el vacío de QCD consiste en un gas de instantones BPST. Aunque solo se conocen con exactitud las soluciones con uno o pocos instantones (o antiinstantones), un gas diluido de instantones y antiinstantones puede aproximarse considerando una superposición de soluciones de un instantón a grandes distancias entre sí. 't  Hooft calculó la acción efectiva para dicho conjunto, ^{[ 5 ]} y encontró una divergencia infrarroja para instantones grandes, lo que significa que una cantidad infinita de instantones infinitamente grandes poblaría el vacío.

Posteriormente, se estudió un modelo de líquido de instantones . Este modelo parte de la suposición de que un conjunto de instantones no puede describirse mediante una simple suma de instantones individuales. Se han propuesto varios modelos, introduciendo interacciones entre instantones o utilizando métodos variacionales (como la "aproximación del valle") que buscan aproximar la solución exacta de múltiples instantones lo más fielmente posible. Se han alcanzado numerosos éxitos fenomenológicos. ^{[ 8 ]} El confinamiento parece ser el mayor problema en la teoría de Yang-Mills, para el cual los instantones no tienen respuesta alguna.

La interacción débil se describe mediante SU(2), por lo que cabe esperar que los instantones también desempeñen un papel importante. De ser así, inducirían una violación del número bariónico . Debido al mecanismo de Higgs , los instantones ya no son soluciones exactas, sino que se pueden utilizar aproximaciones. Una de las conclusiones es que la presencia de una masa de bosón de gauge suprime los instantones grandes, lo que confirma la consistencia de la aproximación del gas de instantones.

Debido a la naturaleza no perturbativa de los instantones, todos sus efectos se suprimen por un factor de e ^{−16π 2 / g 2} , que, en la teoría electrodébil, es del orden de 10 ⁻¹⁷⁹ .