BPST instanton

The BPST instanton is an essentially non-perturbative classical solution of the Yang–Mills field equations. It is found when minimizing the Yang–Mills SU(2) Lagrangian density:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

with F_μν^a = ∂_μA_ν^a – ∂_νA_μ^a + gε^abcA_μ^bA_ν^c the field strength. The instanton is a solution with finite action, so that F_μν must go to zero at space-time infinity, meaning that A_μ goes to a pure gauge configuration. Space-time infinity of our four-dimensional world is S³. The gauge group SU(2) has exactly the same structure, so the solutions with A_μ pure gauge at infinity are mappings from S³ onto itself.^[1] These mappings can be labelled by an integer number q, the Pontryagin index (or winding number). Instantons have q = 1 and thus correspond (at infinity) to gauge transformations which cannot be continuously deformed to unity.^[3] The BPST solution is thus topologically stable.

It can be shown that self-dual configurations obeying the relation F_μν^a = ± ⁠1/2⁠ ε^μναβF_αβ^a minimize the action.^[4] Solutions with a plus sign are called instantons, those with the minus sign are anti-instantons.

Instantons and anti-instantons can be shown to minimise the action locally as follows:

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$, where ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$.

${\displaystyle S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}}$

The first term is minimised by self-dual or anti-self-dual configurations, whereas the last term is a total derivative and therefore depends only on the boundary (i.e. ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$) of the solution; it is therefore a topological invariant and can be shown to be an integer number times some constant (the constant here is ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}$). The integer is called instanton number (see Homotopy group).

Explicitly the instanton solution is given by^[5]

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}}$

with z_μ the center and ρ the scale of the instanton. η^a_μν is the 't Hooft symbol:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{casos}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{casos}}.}$

For large x², ρ becomes negligible and the gauge field approaches that of the pure gauge transformation: ${\displaystyle {\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}}$. Indeed, the field strength is:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}}$

and approaches zero as fast as r⁻⁴ at infinity.

Un anti-instantón se describe mediante una expresión similar, pero con el símbolo 't Hooft reemplazado por el símbolo  anti-'t Hooft. ${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}}$, que es igual al  símbolo 't Hooft ordinario, excepto que los componentes con uno de los índices de Lorentz igual a cuatro tienen signo opuesto.

La solución BPST posee numerosas simetrías. ^{[ 6 ]} Las traslaciones y dilataciones transforman una solución en otras. La inversión de coordenadas ( x ^μ → x ^μ / x ² ) transforma un instantón de tamaño ρ en un antiinstantón de tamaño 1/ρ y viceversa. Las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones y las transformaciones conformes especiales dejan la solución invariante (salvo una transformación de calibre).

La acción clásica de un instantón es igual a ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.}$

Dado que esta cantidad aparece como una exponencial en el formalismo de la integral de trayectoria, este es un efecto esencialmente no perturbativo, ya que la función e ^{−1/ x^2} tiene una serie de Taylor nula en el origen, a pesar de ser distinta de cero en cualquier otro lugar.

La expresión para el instantón BPST dada anteriormente está en el llamado calibre de Landau regular . Existe otra forma, que es equivalente en calibre a la expresión dada anteriormente, en el calibre de Landau singular . En ambos calibres, la expresión satisface ∂ _μ A ^μ = 0. En el calibre singular el instantón es

${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(xz)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(xz)_{\nu }}{(xz)^{2}+\rho ^{2}}}.}$

En el calibre singular, la expresión tiene una singularidad en el centro del instantón, pero tiende a cero más rápidamente cuando x tiende a infinito.

Cuando se trabaja con otros sistemas de galgas distintos al de Landau, se pueden encontrar expresiones similares en la bibliografía.

Se espera que los instantones tipo BPST desempeñen un papel importante en la estructura del vacío de la QCD . De hecho, se encuentran instantones en cálculos de red . Los primeros cálculos realizados con instantones utilizaron la aproximación de gas diluido. Los resultados obtenidos no resolvieron el problema infrarrojo de la QCD, lo que provocó que muchos físicos se alejaran de la física de instantones. Sin embargo, posteriormente se propuso un modelo de líquido de instantones , que resultó ser un enfoque más prometedor. ^{[ 8 ]}

El modelo de gas de instantones diluido parte de la suposición de que el vacío de QCD consiste en un gas de instantones BPST. Aunque solo se conocen con exactitud las soluciones con uno o pocos instantones (o antiinstantones), un gas diluido de instantones y antiinstantones puede aproximarse considerando una superposición de soluciones de un instantón a grandes distancias entre sí. 't  Hooft calculó la acción efectiva para dicho conjunto, ^{[ 5 ]} y encontró una divergencia infrarroja para instantones grandes, lo que significa que una cantidad infinita de instantones infinitamente grandes poblaría el vacío.

Posteriormente, se estudió un modelo de líquido de instantones . Este modelo parte de la suposición de que un conjunto de instantones no puede describirse mediante una simple suma de instantones individuales. Se han propuesto varios modelos, introduciendo interacciones entre instantones o utilizando métodos variacionales (como la "aproximación del valle") que buscan aproximar la solución exacta de múltiples instantones lo más fielmente posible. Se han alcanzado numerosos éxitos fenomenológicos. ^{[ 8 ]} El confinamiento parece ser el mayor problema en la teoría de Yang-Mills, para el cual los instantones no tienen respuesta alguna.

La interacción débil se describe mediante SU(2), por lo que cabe esperar que los instantones también desempeñen un papel importante. De ser así, inducirían una violación del número bariónico . Debido al mecanismo de Higgs , los instantones ya no son soluciones exactas, sino que se pueden utilizar aproximaciones. Una de las conclusiones es que la presencia de una masa de bosón de gauge suprime los instantones grandes, lo que confirma la consistencia de la aproximación del gas de instantones.

Debido a la naturaleza no perturbativa de los instantones, todos sus efectos se suprimen por un factor de e ^{−16π 2 / g 2} , que, en la teoría electrodébil, es del orden de 10 ⁻¹⁷⁹ .