Con destino a Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield

En el sector bosónico clásico de una teoría de campos supersimétrica , la cota de Bogomolnyi-Prasad-Sommerfield (BPS) (nombrada en honor a Evgeny Bogomolny, MK Prasad y Charles Sommerfield ^[¹^]^[²^] ) proporciona un límite inferior para la energía de las configuraciones de campo estáticas, dependiendo de sus cargas topológicas o condiciones de contorno en el infinito espacial. Esta cota se manifiesta como una serie de desigualdades para las soluciones de las ecuaciones de campo bosónicas clásicas. La saturación de esta cota, es decir, cuando la energía de la configuración es igual a la cota, conduce a un conjunto simplificado de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden conocidas como ecuaciones de Bogomolny. Las soluciones clásicas que saturan la cota BPS se denominan "estados BPS". Estos estados BPS no solo son soluciones importantes dentro de la teoría bosónica clásica, sino que también desempeñan un papel crucial en la teoría cuántica supersimétrica completa, correspondiendo a menudo a estados estables y no perturbativos tanto en la teoría de campos como en la teoría de cuerdas. Su existencia y propiedades están profundamente ligadas a la supersimetría subyacente de la teoría, aunque el límite en sí mismo puede formularse únicamente dentro del sector bosónico.

En física teórica, específicamente en teorías con supersimetría extendida, el límite BPS es un límite inferior para la masa de un estado físico en términos de sus cargas. Los estados que saturan este límite se conocen como estados BPS y poseen propiedades especiales, como ser invariantes bajo una fracción de las transformaciones de supersimetría. El acrónimo BPS corresponde a Bogomol'nyi, Prasad y Sommerfield, quienes derivaron por primera vez este límite en el contexto de monopolos magnéticos en la teoría de Yang-Mills en 1975.

Descripción general

La supersimetría es un marco teórico que relaciona bosones y fermiones, partículas con espín entero y semientero, respectivamente. La supersimetría extendida implica múltiples generadores de supersimetría, denotados por $Q_{\alpha }^{I}$ , dónde $\alpha$ es un índice espinorial y $I=1,\dots ,N$ Etiqueta los diferentes generadores de supersimetría. El álgebra de supersimetría incluye anticonmutadores de estos generadores, que normalmente involucran el hamiltoniano (operador de energía). $H$ operadores de momento $P_{i}$ y cargos centrales $Z^{I}$ y $Z^{IJ}$ Las cargas centrales son operadores que conmutan con todos los demás operadores en el álgebra de supersimetría y son típicamente cargas topológicas . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

La cota BPS surge de la positividad de la norma de estados en el espacio de Hilbert. Consideremos el siguiente anticonmutador del álgebra de supersimetría:

$\{Q_{\alpha }^{I},(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }\}=\delta ^{IJ}\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+\delta _{\alpha \beta }Z^{IJ}+\dots$

dónde $\sigma ^{\mu }$ son las matrices de Pauli (o sus generalizaciones de dimensiones superiores), $P_{\mu }$ es el cuadrimomento, y $Z^{IJ}$ son las cargas centrales. Tomando el valor esperado de este anticonmutador en un estado físico $|\psi \rangle$ , obtenemos:

$\langle \psi |\{Q_{\alpha }^{I},(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }\}|\psi \rangle =\langle \psi |Q_{\alpha }^{I}(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }|\psi \rangle +\langle \psi |(Q_{\beta }^{J})^{\dagger }Q_{\alpha }^{I}|\psi \rangle \geq 0$

Dado que la norma de cualquier estado es no negativa, esto conduce a la desigualdad:

$M\geq |Z|$

dónde $M$ es la masa del estado (en el marco de referencia en reposo, donde $P_{\mu }=(M,0,0,0)$ ) y $Z$ es una combinación lineal de las cargas centrales. Esta desigualdad es el límite BPS .

Estados BPS

Estados que satisfacen el límite BPS, es decir, $M=|Z|$ Se denominan estados BPS . Tienen las siguientes propiedades importantes:

Multipletes cortos: Los estados BPS forman representaciones irreducibles más cortas del álgebra de supersimetría en comparación con los estados genéricos. Esto se debe a que algunos de los generadores de supersimetría aniquilan los estados BPS, reduciendo así el número de estados en el multiplete.
Estabilidad: Los estados BPS suelen ser estables frente a correcciones cuánticas. Su masa está protegida de la renormalización, lo que significa que no cambia al variar los parámetros de la teoría. Esta estabilidad hace que los estados BPS sean cruciales para el estudio de aspectos no perturbativos de las teorías supersimétricas.
Preservación de la supersimetría: Los estados BPS preservan una fracción de la supersimetría. Específicamente, si un estado satura el límite BPS, alguna combinación lineal de los generadores de supersimetría debe aniquilar el estado: $(Q_{\alpha }^{I}+\eta _{\alpha I}(Q_{\beta }^{J})^{\dagger })|\psi \rangle =0$ para algún espino $\eta _{\alpha I}$ El número de generadores de supersimetría independientes que aniquilan el estado determina la fracción de supersimetría preservada.

Ejemplos

Los límites y estados BPS aparecen en diversos contextos de la física teórica:

Monopolos magnéticos: El límite BPS original se derivó para monopolos magnéticos en la teoría de Yang-Mills. La masa del monopolo está limitada por su carga magnética.
Solitones y D-branas: En la teoría de cuerdas, los estados BPS incluyen solitones como las D-branas. La masa de una D-brana está determinada por su tensión, que a su vez está relacionada con su carga bajo los campos de Ramond-Ramond.
Teorías de gauge supersimétricas: Los estados BPS desempeñan un papel crucial en la comprensión de la dinámica de las teorías de gauge supersimétricas, como la teoría de Super Yang-Mills N=4. Proporcionan información sobre el comportamiento no perturbativo de estas teorías y están relacionados con el concepto de dualidad S.
Agujeros negros: En la supergravedad y la teoría de cuerdas, los agujeros negros extremos pueden ser estados BPS. Su masa está relacionada con su carga y momento angular.

Significado

Los estados ligados y BPS son herramientas poderosas para el estudio de las teorías supersimétricas. Proporcionan una ventana al régimen no perturbativo de estas teorías y permiten cálculos exactos de ciertas magnitudes. Los estados BPS han desempeñado un papel crucial en el desarrollo de la teoría de cuerdas, la correspondencia AdS/CFT y nuestra comprensión de la física de los agujeros negros.

Ejemplo

Monopolos y diones

El concepto de límite BPS surgió inicialmente en el estudio de monopolos magnéticos en teorías de gauge no abelianas. En concreto, se demostró que la masa de un monopolo de 't Hooft-Polyakov y de un díon de Julia-Zee está acotada inferiormente por una cantidad proporcional a su carga topológica. Las soluciones que saturan este límite se denominan monopolos BPS o díones BPS, y poseen propiedades especiales, desempeñando un papel importante tanto en la teoría clásica como en la teoría cuántica de campos.

Monopolio 't Hooft-Polyakov

El monopolo de 't Hooft-Polyakov es una solución estática de energía finita en una teoría de gauge no abeliana, típicamente SU(2), que se rompe espontáneamente a U(1) por un campo de Higgs escalar en la representación adjunta. El lagrangiano para el sector bosónico viene dado por:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }+{\frac {1}{2}}(D_{\mu }\phi )^{a}(D^{\mu }\phi )^{a}-V(\phi )$

dónde $F_{\mu \nu }^{a}$ es el tensor de intensidad de campo, $D_{\mu }$ es la derivada covariante, $\phi ^{a}$ es el campo de Higgs en la representación adjunta, y $V(\phi )$ es el potencial de Higgs, a menudo tomado como $V(\phi )={\frac {\lambda }{4}}(|\phi |^{2}-v^{2})^{2}$ , dónde $v$ es el valor esperado en el vacío del campo de Higgs.

La energía de una configuración de campo estático viene dada por:

$E=\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}B_{i}^{a}B_{i}^{a}+{\frac {1}{2}}(D_{i}\phi )^{a}(D_{i}\phi )^{a}+V(\phi )\right]$

dónde $B_{i}^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _ijk}F_{jk}^{a}$ es el campo magnético.

En el límite donde el autoacoplamiento de Higgs $\lambda$ Cuando tiende a cero (el límite BPS), se puede demostrar que la energía está limitada por la carga magnética:

$E\geq |Q_{M}|v$

dónde $Q_{M}={\frac {1}{4\pi }}\int dS_{i}B_{i}^{a}{\hat {\phi }}^{a}$ es la carga magnética, con ${\hat {\phi }}^{a}=\phi ^{a}/|\phi |$ Esta desigualdad es la cota BPS para el monopolo.

El límite BPS se satura cuando se cumplen las siguientes ecuaciones de Bogomolny:

$B_{i}^{a}=\pm D_{i}\phi ^{a}$

Las soluciones a estas ecuaciones de primer orden son los monopolos BPS, que poseen la energía mínima para una carga magnética dada. La elección del signo en la ecuación de Bogomolny determina si el monopolo es un monopolo regular o un antimonopolo.

Julia–Zee dyon

El dyon de Julia-Zee es una generalización del monopolo de 't Hooft-Polyakov que también transporta carga eléctrica. Esto se logra agregando un término proporcional a $\theta F_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}^{a\mu \nu }$ al lagrangiano, donde $\theta$ es el ángulo de vacío y ${\tilde {F}}^{a\mu \nu }$ es el tensor de intensidad de campo dual. Este término introduce un acoplamiento entre los campos eléctrico y magnético.

La energía de una configuración estática de diones está limitada por:

$E\geq {\sqrt {Q_{M}^{2}v^{2}+Q_{E}^{2}}}$

dónde $Q_{E}$ es la carga eléctrica. Este es el límite BPS para el dión. El límite se satura cuando se satisfacen las siguientes ecuaciones generalizadas de Bogomolny:

$B_{i}^{a}=\pm D_{i}\phi ^{a}$ $E_{i}^{a}=\mp {\frac {Q_{E}}{Q_{M}v}}D_{i}\phi ^{a}$

dónde $E_{i}^{a}=F_{0i}^{a}$ es el campo eléctrico. Las soluciones a estas ecuaciones son los diones BPS, que tienen la energía mínima para cargas eléctricas y magnéticas dadas.

Significado

Los monopolos y diones BPS son importantes porque constituyen soluciones estables de energía finita que saturan un límite de energía clásico. Su existencia y propiedades están estrechamente relacionadas con la topología del grupo de gauge y el campo de Higgs. Además, estas soluciones clásicas tienen contrapartes cuánticas, y el límite BPS desempeña un papel crucial en la comprensión del espectro de la teoría cuántica. En las extensiones supersimétricas de la teoría, los estados BPS corresponden a representaciones cortas del álgebra de supersimetría y están protegidos de las correcciones cuánticas.

agujeros negros de Reissner-Nordström extremos

La métrica de Reissner-Nordström describe la geometría del espaciotiempo alrededor de un agujero negro con carga eléctrica y simetría esférica. La métrica se caracteriza por dos parámetros: la masa $M$ y la carga eléctrica $Q$ del agujero negro. La masa ADM, un concepto de la relatividad general que define la masa-energía total de un espaciotiempo asintóticamente plano, es simplemente $M$ para la solución de Reissner-Nordström.

El/los horizonte(s) de sucesos del agujero negro de Reissner-Nordström se encuentran en las coordenadas radiales donde el componente métrico $g_{tt}$ desaparece. Esto lleva a la ecuación:

$r^{2}-2Mr+Q^{2}=0$

Las soluciones se dan de la siguiente manera:

$r_{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}$

Cuando $M>|Q|$ Hay dos horizontes: un horizonte de sucesos exterior $r_{+}$ y un horizonte de Cauchy interior $r_{-}$ . Cuando $M<|Q|$ , no hay horizontes, y la singularidad está desnuda, lo cual generalmente se considera no físico. El caso crítico, donde $M=|Q|$ , se conoce como el agujero negro de Reissner-Nordström extremal, y en este caso, los dos horizontes coinciden:

$r_{+}=r_{-}=M=|Q|$

En el contexto de las teorías de supergravedad (extensiones supersimétricas de la relatividad general), los agujeros negros de Reissner-Nordström extremales pueden interpretarse como estados BPS. Esta conexión surge del hecho de que la condición de extremalidad $M=|Q|$ puede considerarse como una saturación de una desigualdad clásica, análoga al límite BPS en las teorías de campos supersimétricas.

Desigualdades clásicas y condiciones energéticas

En la relatividad general, se imponen diversas condiciones energéticas al tensor de energía-impulso. $T_{\mu \nu }$ para asegurar un comportamiento físicamente razonable de la materia y la energía. Una de esas condiciones es la condición de energía débil , que establece que para cualquier vector de tipo temporal $V^{\mu }$ Se cumple la siguiente desigualdad:

$T_{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\geq 0$

Esto significa esencialmente que la densidad de energía medida por cualquier observador es no negativa. Para el campo electromagnético, que es la fuente de la carga del agujero negro de Reissner-Nordström, la condición de energía débil se traduce en:

${\frac {1}{4\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)\geq 0$

dónde $E$ y $B$ son las intensidades de los campos eléctricos y magnéticos.

Para la solución de Reissner-Nordström, la energía total, que es la masa del ADM $M$ , puede descomponerse en contribuciones del campo gravitatorio y del campo electromagnético. Se puede demostrar que la contribución electromagnética es precisamente igual a $|Q|$ , el valor absoluto de la carga. La condición de energía débil implica entonces que la contribución gravitacional debe ser no negativa. Esto conduce a la desigualdad:

$M\geq |Q|$

Esta desigualdad es sorprendentemente similar al límite BPS, donde la masa ADM desempeña el papel de la energía y la carga eléctrica el de la carga central. El agujero negro de Reissner-Nordström extremal, con $M=|Q|$ , satura esta desigualdad, convirtiéndola en un análogo clásico de un estado BPS.

Supersimetría y agujeros negros extremales

En el contexto de $N=2$ La supergravedad, el agujero negro de Reissner-Nordström extremal, no es solo una analogía, sino un verdadero estado BPS. El álgebra de supersimetría en esta teoría incluye cargas centrales que son proporcionales a las cargas eléctricas y magnéticas del agujero negro. El límite BPS se convierte entonces en:

$M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}}$

dónde $P$ es la carga magnética (que es cero para la solución de Reissner-Nordström que estamos considerando). El agujero negro extremal, con $M=|Q|$ , satura este límite y conserva la mitad de la supersimetría. Esto significa que algunas de las transformaciones de supersimetría dejan invariante la solución del agujero negro.

El hecho de que los agujeros negros extremos puedan ser estados BPS tiene profundas implicaciones. Sugiere una conexión profunda entre la gravedad, la supersimetría y la naturaleza cuántica del espaciotiempo. Los agujeros negros BPS son estables frente a las correcciones cuánticas y proporcionan información valiosa sobre la estructura microscópica de los agujeros negros y la naturaleza de la gravedad cuántica.

Véase también

Referencias

↑ EB Bogomolny, "Estabilidad de las soluciones clásicas", Sov. J. Nucl. Phys. 24 (1976), 449; Yad. Fiz. 24 (1976), 861.
↑ Prasad, MK; Sommerfield, Charles M. (22 de septiembre de 1975). "Solución clásica exacta para el monopolo de 't Hooft y el dión de Julia-Zee". Physical Review Letters . 35 (12). American Physical Society (APS): 760– 762. Bibcode : 1975PhRvL..35..760P . doi : 10.1103/physrevlett.35.760 . ISSN 0031-9007 .
↑ Witten, Edward; Olive, D. (1978). "Álgebras de supersimetría que incluyen cargas topológicas". Physics Letters B . 78 (1): 97– 101. Bibcode : 1978PhLB...78...97W . doi : 10.1016/0370-2693(78)90357-X .
↑ Weinberg, Steven (2000). La teoría cuántica de campos: Volumen 3, pág. 53. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521660009.

[1] EB Bogomolny, "Estabilidad de las soluciones clásicas", Sov. J. Nucl. Phys. 24 (1976), 449; Yad. Fiz. 24 (1976), 861.

[2] Prasad, MK; Sommerfield, Charles M. (22 de septiembre de 1975). "Solución clásica exacta para el monopolo de 't Hooft y el dión de Julia-Zee". Physical Review Letters . 35 (12). American Physical Society (APS): 760– 762. Bibcode : 1975PhRvL..35..760P . doi : 10.1103/physrevlett.35.760 . ISSN 0031-9007 .

[3] Witten, Edward; Olive, D. (1978). "Álgebras de supersimetría que incluyen cargas topológicas". Physics Letters B . 78 (1): 97– 101. Bibcode : 1978PhLB...78...97W . doi : 10.1016/0370-2693(78)90357-X .

[4] Weinberg, Steven (2000). La teoría cuántica de campos: Volumen 3, pág. 53. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521660009.

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