Equilibrio del momento angular

La balanza del momento angular o segunda ley de Euler en mecánica clásica es una ley de la física , que establece que para alterar el momento angular de un cuerpo se le debe aplicar un torque .

Un ejemplo de uso es el tiovivo del patio de recreo de la imagen. Para ponerlo a girar hay que empujarlo. Técnicamente, se genera un par que alimenta el momento angular del tiovivo. Sin embargo, el par de las fuerzas de fricción en el cojinete y la fricción crean un par de resistencia que reducirá gradualmente el momento angular y, finalmente, detendrá la rotación.

La formulación matemática establece que la tasa de cambio del momento angular alrededor de un punto , es igual a la suma de los pares externos que actúan sobre ese cuerpo alrededor de ese punto: ${\displaystyle {\dot {\vec {L}}}_{c}}$ ${\displaystyle {\vec {L}}_{c}}$${\displaystyle {\vec {c}}}$ ${\displaystyle {\vec {M}}_{c}}$

${\displaystyle {\vec {M}}_{c}={\dot {\vec {L}}}_{c}}$

El punto es un punto fijo en un sistema inercial o el centro de masa del cuerpo. En el caso especial, cuando los pares externos desaparecen, se demuestra que el momento angular se conserva. La fuerza de D'Alembert que contrarresta el cambio del momento angular se manifiesta como un efecto giroscópico . ${\displaystyle {\vec {c}}}$

Del equilibrio del momento angular se deduce la igualdad de las tensiones cortantes correspondientes o la simetría del tensor de tensiones de Cauchy . Lo mismo se deduce del axioma de Boltzmann, según el cual las fuerzas internas en un medio continuo están libres de torque. ^[1] Por lo tanto, el equilibrio del momento angular, la simetría del tensor de tensiones de Cauchy y el axioma de Boltzmann en mecánica de medios continuos son términos relacionados.

En particular, en la teoría de la peonza, el equilibrio del momento angular desempeña un papel decisivo. En la mecánica de medios continuos, sirve para determinar con precisión la parte antisimétrica del tensor de tensión. ^[2]

El equilibrio del momento angular es, además de las leyes newtonianas , un principio fundamental e independiente y fue introducido por primera vez por el matemático y físico suizo Leonhard Euler en 1775. ^[2]

El matemático suizo Jakob I Bernoulli aplicó la ley del momento angular en 1703 –sin formularla explícitamente– para hallar el centro de oscilación de un péndulo, algo que ya había hecho de manera un tanto incorrecta en 1686. La ley del momento angular precedió así a las leyes de Newton, publicadas por primera vez en 1687. ^[2]

En 1744, Euler fue el primero en utilizar los principios del momento y del momento angular para enunciar las ecuaciones de movimiento de un sistema. En 1750, en su tratado "Descubrimiento de un nuevo principio de mecánica" ^[3] publicó las ecuaciones de Euler de la dinámica de cuerpos rígidos , que hoy se derivan del equilibrio del momento angular, que Euler, sin embargo, pudo deducir para el cuerpo rígido a partir de la segunda ley de Newton . Después de estudios sobre los continuos elásticos planos, que son indispensables para el equilibrio de los momentos, Euler elevó el equilibrio del momento angular a un principio independiente para el cálculo del movimiento de los cuerpos en 1775. ^[2]

En 1822, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy introdujo el tensor de tensiones cuya simetría en combinación con el equilibrio del momento lineal aseguraba el cumplimiento del equilibrio del momento angular en el caso general del cuerpo deformable. La interpretación del equilibrio del momento angular fue señalada por primera vez por MP Saint-Guilhem en 1851. ^{[4] [5]}${\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}$

La cinética se ocupa de estados que no están en equilibrio mecánico. Según la segunda ley de Newton, una fuerza externa provoca un cambio en la velocidad ( aceleración ) de un cuerpo. Análogamente, un par externo significa un cambio en la velocidad angular que resulta en una aceleración angular . La inercia relacionada con la rotación no solo depende de la masa de un cuerpo sino también de su distribución espacial. Con un cuerpo rígido esto se expresa por el momento de inercia . Con una rotación alrededor de un eje fijo , el par es proporcional a la aceleración angular con el momento de inercia como factor de proporcionalidad . Aquí el momento de inercia no solo depende de la posición del eje de rotación (ver Teorema de Steiner ) sino también de su dirección. Si la ley anterior se formula de manera más general para cualquier eje de rotación, entonces debe usarse el tensor de inercia .

En el caso especial bidimensional, un par de torsión solo produce una aceleración o una desaceleración de una rotación. Sin embargo, en el caso tridimensional general, también puede alterar la dirección del eje ( precesión ).

• En la dinámica de cuerpos rígidos, el equilibrio del momento angular conduce a las ecuaciones de Euler .
• En mecánica de medios continuos, el equilibrio del momento angular conduce a la segunda ley de Cauchy del movimiento , que establece la simetría del tensor de tensiones de Cauchy. El axioma de Boltzmann tiene la misma consecuencia.

En 1905, el físico austríaco Ludwig Boltzmann señaló que, al reducir un cuerpo a elementos de volumen infinitesimalmente más pequeños , las reacciones internas deben cumplir todas las condiciones estáticas para el equilibrio mecánico . El teorema de tensión de Cauchy maneja el equilibrio en términos de fuerza. Para la afirmación análoga en términos de par, el matemático alemán Georg Hamel acuñó el nombre de Axioma de Boltzmann . ^{[6] [7]}

Este axioma es equivalente a la simetría del tensor de tensiones de Cauchy. Para que las resultantes de las tensiones no ejerzan un par sobre el elemento de volumen, la fuerza resultante debe pasar por el centro del elemento de volumen. La línea de acción de las fuerzas de inercia y las resultantes de las tensiones normales σ _xx ·dy y σ _yy ·dx pasan por el centro del elemento de volumen. Para que las resultantes de las tensiones cortantes τ _xy ·dy y τ _yx ·dx pasen por el centro del elemento de volumen

${\displaystyle {\frac {\tau _{xy}\mathrm {d} y}{\tau _{yx}\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\quad \rightarrow \quad \tau _{yx}=\tau _{xy}}$

Debe cumplirse. En realidad, esta es la afirmación de la igualdad de las tensiones cortantes correspondientes en el plano xy .

Además del continuo clásico libre de torque con un tensor de tensión simétrico, también se han definido continuos cosserat (continuos polares) que no están libres de torque. ^[8] Una aplicación de dicho continuo es la teoría de capas . Los continuos cosserat no solo son capaces de transportar un flujo de momento sino también un flujo de momento angular. Por lo tanto, también puede haber fuentes de momento y momento angular dentro del cuerpo. Aquí el axioma de Boltzmann no se aplica y el tensor de tensión puede ser antisimétrico. ^[9]

Si se tratan estos flujos como es habitual en la mecánica de medios continuos, surgen ecuaciones de campo en las que la parte antisimétrica del tensor de tensiones no tiene importancia energética. El equilibrio del momento angular se vuelve independiente del equilibrio de la energía y se utiliza para determinar la parte antisimétrica del tensor de tensiones. El matemático estadounidense Clifford Truesdell vio en esto el "verdadero sentido básico de la segunda ley de Euler". ^[2]

La regla del área es un corolario de la ley del momento angular en la forma: El momento resultante es igual al producto del doble de la masa por la derivada temporal de la velocidad del área . ^[10]

Se refiere al rayo a una masa puntual con masa m . Este tiene el momento angular con la velocidad y el momento.${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}$${\displaystyle {\vec {p}}=m{\dot {\vec {r}}}}$

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=m{\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=m{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t}$.

En el tiempo infinitesimal d t la trayectoria recorre un triángulo cuyo contenido es , ver imagen, velocidad de área y producto vectorial "×" . Así es como resulta: ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\vec {L}}=m{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t=2m\,\mathrm {d} {\vec {A}}/\mathrm {d} t=2m{\dot {\vec {A}}}}$.

Con la segunda ley de Euler esto se convierte en:

${\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}=2m{\ddot {\vec {A}}}}$.

El caso especial del movimiento de fuerza central libre de momento plano se trata mediante la segunda ley de Kepler , también conocida como regla del área .