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BDDC

En análisis numérico , BDDC (descomposición de dominio balanceada por restricciones) es un método de descomposición de dominio para resolver grandes sistemas de ecuaciones linea...

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En análisis numérico , BDDC (descomposición de dominio balanceada por restricciones) es un método de descomposición de dominio para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simétricas y definidas positivas que surgen del método de elementos finitos . BDDC se utiliza como precondicionador para el método del gradiente conjugado . Una versión específica de BDDC se caracteriza por la elección de grados de libertad gruesos, que pueden ser valores en las esquinas de los subdominios o promedios sobre las aristas o las caras de la interfaz entre los subdominios. Una aplicación del precondicionador BDDC combina la solución de problemas locales en cada subdominio con la solución de un problema grueso global con los grados de libertad gruesos como incógnitas. Los problemas locales en diferentes subdominios son completamente independientes entre sí, por lo que el método es adecuado para la computación paralela . Con una selección adecuada de los grados de libertad gruesos (esquinas en 2D, esquinas más aristas o esquinas más caras en 3D) y con formas de subdominio regulares, el número de condición del método se mantiene acotado al aumentar el número de subdominios, y crece muy lentamente con el número de elementos por subdominio. Por lo tanto, el número de iteraciones también se mantiene acotado, y el método se adapta bien al tamaño del problema y al número de subdominios.

Historia

BDDC fue introducido por diferentes autores y diferentes enfoques casi al mismo tiempo, es decir, por Cros, [ 1 ] Dohrmann, [ 2 ] y Fragakis y Papadrakakis, [ 3 ] como una alternativa primal al método de descomposición de dominio FETI-DP de Farhat et al. [ 4 ] [ 5 ] Véase [ 6 ] para una prueba de que todos estos son en realidad el mismo método que BDDC. El nombre del método fue acuñado por Mandel y Dohrmann, [ 7 ] porque puede entenderse como un desarrollo posterior del método BDD ( descomposición de dominio de equilibrio ). [ 8 ] Mandel, Dohrmann y Tezaur [ 9 ] demostraron que los autovalores de BDDC y FETI-DP son idénticos, excepto por el autovalor igual a uno, que puede estar presente en BDDC pero no en FETI-DP, y por lo tanto su número de iteraciones es prácticamente el mismo. Pruebas mucho más sencillas de este hecho fueron obtenidas posteriormente por Li y Widlund [ 10 ] y por Brenner y Sung. [ 11 ]

Espacio grueso

El espacio grueso de BDDC consiste en funciones de energía mínima con los valores dados de los grados de libertad gruesos. Este es el mismo espacio grueso que se usa para esquinas en una versión de BDD para placas y láminas . [ 12 ] La diferencia es que en BDDC, el problema grueso se usa de forma aditiva, mientras que en BDD se usa de forma multiplicativa.

Una descripción mecánica

El método BDDC se utiliza frecuentemente para resolver problemas de elasticidad lineal y se explica mejor en términos de la deformación de una estructura elástica. El problema de elasticidad consiste en determinar la deformación de una estructura sometida a desplazamientos y fuerzas prescritas. Tras aplicar el método de elementos finitos, se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos de los elementos y el término independiente proviene de las fuerzas (y de desplazamientos prescritos distintos de cero en el contorno, pero, para simplificar, se asume que estos son cero).

Un precondicionador toma el lado derecho y proporciona una solución aproximada. Supongamos que tenemos una estructura elástica dividida en subestructuras que no se superponen y, para simplificar, supongamos que los grados de libertad gruesos son solo las esquinas de los subdominios. Supongamos que se conocen las fuerzas aplicadas a la estructura.

El primer paso del método BDDC es la corrección interna, que consiste en calcular la deformación de cada subdominio por separado, considerando las fuerzas aplicadas a cada uno, excepto en la interfaz con sus vecinos. Dado que el interior de cada subdominio se mueve de forma independiente y la interfaz permanece sin deformación, se producen irregularidades en dicha interfaz. Las fuerzas necesarias en la interfaz para equilibrar estas irregularidades se suman a las fuerzas ya aplicadas. Posteriormente, las fuerzas en la interfaz se distribuyen entre los subdominios (ya sea de forma equitativa o con ponderaciones proporcionales a la rigidez del material, de modo que los subdominios más rígidos reciben mayor fuerza).

El segundo paso, denominado corrección de subdominio, consiste en calcular la deformación debida a estas fuerzas de interfaz en cada subdominio por separado, sujeta a la condición de desplazamientos nulos en las esquinas del subdominio. Cabe destacar que los valores de la corrección de subdominio varían a lo largo de la interfaz.

Simultáneamente a la corrección del subdominio, se calcula la corrección gruesa, que consiste en el desplazamiento en todas las esquinas del subdominio, interpolado entre las esquinas de cada subdominio por separado, bajo la condición de que el subdominio adopte la misma forma que tendría sin ninguna fuerza aplicada. Luego, se aplican las fuerzas de interfaz, al igual que para la corrección del subdominio, para hallar los valores de la corrección gruesa en las esquinas del subdominio. De esta manera, se promedian las fuerzas de interfaz y se obtiene la solución gruesa mediante el método de Galerkin . Nuevamente, los valores de la corrección gruesa en las interfaces de los subdominios son, en general, discontinuos a través de la interfaz.

Finalmente, se suman las correcciones de subdominio y la corrección gruesa, y se promedia la suma en las interfaces de los subdominios, con los mismos pesos que se utilizaron previamente para distribuir las fuerzas en cada subdominio. Esto proporciona el valor de la salida de BDDC en las interfaces entre los subdominios. Los valores de la salida de BDDC en el interior de los subdominios se obtienen repitiendo la corrección interna.

En una implementación práctica, el lado derecho y la aproximación inicial para las iteraciones se preprocesan de manera que todas las fuerzas dentro de los subdominios sean cero. Esto se logra mediante una aplicación de la corrección interna, como se describió anteriormente. De esta forma, las fuerzas dentro de los subdominios permanecen cero durante las iteraciones de gradientes conjugados, por lo que se puede omitir la primera corrección interna en cada aplicación de BDDC.

Referencias

  1. ↑ J.-M. Cros, Un precondicionador para el método de descomposición de dominio del complemento de Schur , en Métodos de descomposición de dominio en ciencia e ingeniería, I. Herrera, DE Keyes y OB Widlund, eds., Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), México, 2003, pp. 373–380. 14.ª Conferencia Internacional sobre Métodos de Descomposición de Dominio, Cocoyoc, México, 6-12 de enero de 2002.
  2. ↑ CR Dohrmann, Un precondicionador para subestructuración basado en minimización de energía restringida , SIAM J. Sci. Comput., 25 (2003), pp. 246–258.
  3. ↑ Y. Fragakis y M. Papadrakakis, El mosaico de métodos de descomposición de dominio de alto rendimiento para mecánica estructural: Formulación, interrelación y eficiencia numérica de métodos primales y duales , Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 192 (2003), pp. 3799–3830.
  4. ↑ C. Farhat, M. Lesoinne, P. LeTallec, K. Pierson y D. Rixen, FETI-DP: un método FETI unificado dual-primal. I. Una alternativa más rápida al método FETI de dos niveles , Internat. J. Numer. Methods Engrg., 50 (2001), pp. 1523–1544.
  5. ↑ C. Farhat, M. Lesoinne y K. Pierson, Un método escalable de descomposición de dominio dual-primal , Numer. Linear Algebra Appl., 7 (2000), págs. 687–714. Técnicas de precondicionamiento para problemas de matrices dispersas grandes en aplicaciones industriales (Minneapolis, MN, 1999).
  6. ↑ J. Mandel y B. Sousedík, BDDC y FETI-DP bajo supuestos minimalistas , Computing, 81 (2007), pp. 269–280.
  7. ↑ J. Mandel y CR Dohrmann, Convergencia de una descomposición de dominio de equilibrio mediante restricciones y minimización de energía , Numer. Linear Algebra Appl., 10 (2003), pp. 639–659.
  8. ↑ J. Mandel, Descomposición de dominio de equilibrio , Comm. Numer. Methods Engrg., 9 (1993), pp. 233–241.
  9. ↑ J. Mandel, CR Dohrmann y R. Tezaur, Una teoría algebraica para métodos de subestructuración primal y dual mediante restricciones , Appl. Numer. Math., 54 (2005), págs. 167–193.
  10. ↑ J. Li y OB Widlund, FETI-DP, BDDC y métodos de Cholesky por bloques , Internat. J. Numer. Methods Engrg., 66 (2006), pp. 250–271.
  11. ↑ SC Brenner y L.-Y. Sung, BDDC y FETI-DP sin matrices ni vectores , Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196 (2007), pp. 1429–1435.
  12. ^ Le Tallec, Patricio; Mandel, enero; Vidrascu, Marina, Un algoritmo de descomposición de dominios de Neumann-Neumann para resolver problemas de placas y capas. SIAM J. Número. Anal. 35 (1998), núm. 2, 836–867
  • Entrevista con Jan Mandel, Clark Dohrmann y Radek Tezaur sobre "Una teoría algebraica para métodos de subestructuración primal y dual mediante restricciones".
  • Entrevista con Olof Widlund y Jing Li sobre "FETI-DP, BDDC y los métodos de Cholesky por bloques".