Juego de barriles

En el análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina barril o conjunto barrilizado si es cerrado, convexo , equilibrado y absorbente .

Los conjuntos barril desempeñan un papel importante en las definiciones de varias clases de espacios vectoriales topológicos, como los espacios barril .

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial topológico (TVS). Un subconjunto de${\displaystyle X}$Se llama barril si es cerrado, convexo, equilibrado y absorbente .${\displaystyle X.}$ Un subconjunto de${\displaystyle X}$se denomina bornívoro ^{[ 1 ]} y bornívoro si absorbe cada subconjunto limitado de${\displaystyle X.}$Cada subconjunto bornívoro de${\displaystyle X}$es necesariamente un subconjunto absorbente de${\displaystyle X.}$

Dejar${\displaystyle B_{0}\subseteteq X}$ser un subconjunto de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X.}$Si${\displaystyle B_{0}}$es un subconjunto absorbente equilibrado de${\displaystyle X}$y si existe una secuencia${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$de subconjuntos absorbentes equilibrados de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}}$a pesar de${\displaystyle i=0,1,\ldots ,}$entonces${\displaystyle B_{0}}$se denomina suprabarril ^{[ 2 ]} en${\displaystyle X,}$donde además,${\displaystyle B_{0}}$Se dice que es un(a):

• suprabarril bornívoro si además cada${\displaystyle B_{i}}$es un subconjunto cerrado y bornívoro de${\displaystyle X}$por cada${\displaystyle i\geq 0.}$^{[ 2 ]}
• ultrabarril si además cada${\displaystyle B_{i}}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$por cada${\displaystyle i\geq 0.}$^{[ 2 ]}
• barril ultraborrego si además cada${\displaystyle B_{i}}$es un subconjunto cerrado y bornívoro de${\displaystyle X}$por cada${\displaystyle i\geq 0.}$^{[ 2 ]}

En este caso,${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$se denomina secuencia definitoria para${\displaystyle B_{0}.}$^{[ 2 ]}

Tenga en cuenta que todo ultrabarril bornívoro es un ultrabarril y que todo suprabarril bornívoro es un suprabarril.

• En un espacio vectorial seminormado, la bola unitaria cerrada es un barril.
• Todo espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base de vecindad formada por conjuntos barril, aunque el espacio en sí no tiene por qué ser un espacio barril.

• Espacio de barril – Tipo de espacio vectorial topológico 
• Espacio de mapas lineales
• espacio ultrabarrilado

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional . Ámsterdam: North-Holland Publishing Co. pp.  xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. MR 0500064 . 
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol.  936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6OCLC 8588370 .​ 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• HH Schaefer (1970). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  3. Springer-Verlag . ISBN 0-387-05380-8.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  936. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag . pp. 29–33 , 49, 104. ISBN  9783540115656.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global . Encuestas y monografías matemáticas. Sociedad Matemática Americana . ISBN 9780821807804.