Topologías en espacios de aplicaciones lineales

Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de topologías en espacios de aplicaciones lineales. Para cualquier subconjunto${\displaystyle G\subseteg T}$y${\displaystyle N\subseteq Y,}$dejar $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

La familia $${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$ forma una base de vecindad ^{[ 1 ]} en el origen para una topología única invariante a la traslación en${\displaystyle F,}$donde esta topología no es necesariamente una topología vectorial (es decir, podría no ser suficiente)${\displaystyle F}$en un TVS). Esta topología no depende de la base de vecindad${\displaystyle {\mathcal {N}}}$que fue elegida y se conoce como la topología de convergencia uniforme en los conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$o como el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología . ^{[ 2 ]} Sin embargo, este nombre cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que la componen.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(p. ej., la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta", véase la nota al pie para más detalles ^{[ 3 ]} ).

Un subconjunto${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Se dice que es fundamental con respecto a${\displaystyle {\mathcal {G}}}$si cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$es un subconjunto de algún elemento en${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ En este caso, la colección${\displaystyle {\mathcal {G}}}$puede ser reemplazado por${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$sin cambiar la topología en${\displaystyle F.}$^{[ 2 ]} También se puede reemplazar${\displaystyle {\mathcal {G}}}$con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$sin cambiar el resultado${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F.}$^{[ 4 ]}

Llamar subconjunto${\displaystyle B}$de${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$-limitado si${\displaystyle f(B)}$es un subconjunto acotado de${\displaystyle Y}$por cada${\displaystyle f\in F.}$^{[ 5 ]}

Propiedades

Ahora se describirán las propiedades de los conjuntos abiertos básicos, así que supongamos que${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$y${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ Entonces${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$es un subconjunto absorbente de${\displaystyle F}$si y solo si para todos${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle N}$absorbe${\displaystyle f(G)}$. ^{[ 6 ]} Si${\displaystyle N}$es equilibrado ^{[ 6 ]} (respectivamente, convexo ) entonces también lo es${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

La igualdad ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ Siempre se cumple. Si${\displaystyle s}$entonces es un escalar${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$de modo que, en particular,${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$^{[ 6 ]} Además, ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,NN)}$$ y de manera similar ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

Para cualquier subconjunto${\displaystyle G,H\subseteq X}$y cualquier subconjunto no vacío${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$ lo cual implica:

• si${\displaystyle M\subseteq N}$entonces${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$^{[ 6 ]}
• si${\displaystyle G\subseteq H}$entonces${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• Para cualquier${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$y subconjuntos${\displaystyle G,H,K}$de${\displaystyle T,}$si${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$entonces${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

Para cualquier familia${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de subconjuntos de${\displaystyle T}$y cualquier familia${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de barrios del origen en${\displaystyle Y,}$^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

Para cualquier${\displaystyle G\subseteq T}$y${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$ser cualquier séquito de${\displaystyle Y}$(dónde${\displaystyle Y}$está dotada de su uniformidad canónica ), $${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$ Dado${\displaystyle G\subseteq T,}$la familia de todos los conjuntos${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$como${\displaystyle U}$abarca cualquier sistema fundamental de séquitos de${\displaystyle Y}$forma un sistema fundamental de séquitos para una estructura uniforme en${\displaystyle Y^{T}}$llamada la uniformidad de uniforme converge en${\displaystyle G}$o simplemente el${\displaystyle G}$-estructura uniforme de convergencia . ^{[ 7 ]} La${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-La estructura uniforme de convergencia es el límite superior más bajo de todos.${\displaystyle G}$-estructuras uniformes de convergencia como${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$abarca${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$^{[ 7 ]}

Redes y convergencia uniforme

Dejar${\displaystyle f\in F}$y dejar${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ser una red en${\displaystyle F.}$Entonces, para cualquier subconjunto${\displaystyle G}$de${\displaystyle T,}$decir que${\displaystyle f_{\bullet }}$converge uniformemente a${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$si por cada${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$existe algo${\displaystyle i_{0}\in I}$de tal manera que para cada${\displaystyle i\in I}$satisfactorio${\displaystyle i\geq i_{0},I}$${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$(o equivalentemente,${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$por cada${\displaystyle g\in G}$). ^{[ 5 ]}

convexidad local

Si${\displaystyle Y}$Si es localmente convexa, entonces también lo es.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F}$y si${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en${\displaystyle Y}$entonces el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$La topología está inducida por la siguiente familia de seminormas: $${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$ como${\displaystyle G}$varía a lo largo de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$y${\displaystyle i}$varía a lo largo de${\displaystyle I}$. ^{[ 8 ]}

Hausdorffness

Si${\displaystyle Y}$es Hausdorff y${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$entonces el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F}$es Hausdorff. ^{[ 5 ]}

Supongamos que${\displaystyle T}$es un espacio topológico. Si${\displaystyle Y}$es Hausdorff y${\displaystyle F}$es el subespacio vectorial de${\displaystyle Y^{T}}$que consiste en todos los mapas continuos que están acotados en cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$y si${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$es denso en${\displaystyle T}$entonces el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F}$es Hausdorff.

Limitación

Un subconjunto${\displaystyle H}$de${\displaystyle F}$está delimitado en el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología si y solo si para cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$está delimitado en${\displaystyle Y.}$^{[ 8 ]}

Convergencia puntual

Si dejamos${\displaystyle {\mathcal {G}}}$sea ​​el conjunto de todos los subconjuntos finitos de${\displaystyle T}$entonces el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F}$se denomina topología de convergencia puntual . La topología de convergencia puntual en${\displaystyle F}$es idéntica a la topología de subespacio que${\displaystyle F}$hereda de${\displaystyle Y^{T}}$cuando${\displaystyle Y^{T}}$está dotado de la topología de producto habitual .

Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular no trivial y${\displaystyle C(X)}$es el espacio de todas las funciones continuas con valores reales (o complejos) en${\displaystyle X,}$la topología de convergencia puntual en${\displaystyle C(X)}$es metrizable si y solo si${\displaystyle X}$es contable. ^{[ 5 ]}

Supuestos que garantizan una topología vectorial

• (${\displaystyle {\mathcal {G}}}$está dirigido):${\displaystyle {\mathcal {G}}}$será una colección no vacía de subconjuntos de${\displaystyle X}$dirigido por la inclusión (de subconjuntos). Es decir, para cualquier${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$existe${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$de tal manera que${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$.

La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$forma una base de filtro . La siguiente suposición garantizará que los conjuntos${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$están equilibrados . Cada TVS tiene una base vecinal en 0 que consiste en conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es onerosa.

• (${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$están equilibrados):${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es una base de vecindarios del origen en${\displaystyle Y}$que consiste enteramente en conjuntos equilibrados .

La siguiente suposición se hace con mucha frecuencia porque garantizará que cada conjunto${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$es absorbente en${\displaystyle L(X;Y).}$

• (${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$están limitados):${\displaystyle {\mathcal {G}}}$se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de${\displaystyle X.}$

El siguiente teorema da formas en las que${\displaystyle {\mathcal {G}}}$puede modificarse sin cambiar el resultado${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle Y.}$

Supuestos comunes

Algunos autores (por ejemplo Narici) requieren que${\displaystyle {\mathcal {G}}}$satisfacer la siguiente condición, lo que implica, en particular, que${\displaystyle {\mathcal {G}}}$está dirigido por la inclusión de subconjuntos:

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$se supone que es cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$pertenece a${\displaystyle {\mathcal {G}}}$).

Algunos autores (por ejemplo, Trèves ^{[ 9 ]} ) requieren que${\displaystyle {\mathcal {G}}}$debe estar dirigido bajo la inclusión de subconjuntos y que cumpla la siguiente condición:

Si${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$y${\displaystyle s}$es un escalar entonces existe un${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$de tal manera que${\displaystyle sG\subseteq H.}$

Si${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una bornología en${\displaystyle X,}$lo cual suele ser el caso, entonces se cumplen estos axiomas.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una familia saturada de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$Entonces, estos axiomas también se cumplen.

Hausdorffness

Un subconjunto de un TVS${\displaystyle X}$cuyo intervalo lineal es un subconjunto denso de${\displaystyle X}$Se dice que es un subconjunto total de${\displaystyle X.}$ Si${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una familia de subconjuntos de un TVS${\displaystyle T}$entonces${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Se dice que es total en${\displaystyle T}$si el intervalo lineal de${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$es denso en${\displaystyle T.}$^{[ 10 ]}

Si${\displaystyle F}$es el subespacio vectorial de${\displaystyle Y^{T}}$que consiste en todas las aplicaciones lineales continuas que están acotadas en cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$entonces el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle F}$es Hausdorff si${\displaystyle Y}$es Hausdorff y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es total en${\displaystyle T.}$^{[ 6 ]}

Lo completo

Para los siguientes teoremas, supongamos que${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico y${\displaystyle Y}$es un espacio de Hausdorff localmente convexo y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una colección de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$que cubre${\displaystyle X,}$está dirigida por la inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$y${\displaystyle s}$es un escalar entonces existe un${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$de tal manera que${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$está completo si
  1. ${\displaystyle X}$es localmente convexa y Hausdorff,
  2. ${\displaystyle Y}$está completo y
  3. cuando sea${\displaystyle u:X\to Y}$entonces es un mapa lineal${\displaystyle u}$restringido a cada conjunto${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$es continuo implica que${\displaystyle u}$es continuo,
• Si${\displaystyle X}$entonces es un espacio Mackey${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$está completa si y solo si ambos${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$y${\displaystyle Y}$están completos.
• Si${\displaystyle X}$entonces está en barril${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$es Hausdorff y cuasi-completa .
• Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser TVS con${\displaystyle Y}$cuasi-completo y suponemos que (1)${\displaystyle X}$está en barril , o de lo contrario (2)${\displaystyle X}$es un espacio Baire y${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son localmente convexas. Si${\displaystyle {\mathcal {G}}}$cubiertas${\displaystyle X}$entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de${\displaystyle L(X;Y)}$está completo en${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$y${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$es cuasi-completo. ^{[ 11 ]}
• Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio bornológico ,${\displaystyle Y}$un espacio localmente convexo y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$una familia de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$de tal manera que el rango de cada secuencia nula en${\displaystyle X}$está contenido en algunos${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$Si${\displaystyle Y}$es cuasi-completo (respectivamente, completo ) entonces también lo es${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$. ^{[ 12 ]}

Limitación

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios vectoriales topológicos y${\displaystyle H}$ser un subconjunto de${\displaystyle L(X;Y).}$ Entonces, los siguientes son equivalentes: ^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle H}$está delimitado en${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$;
2. Por cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$está delimitado en${\displaystyle Y}$; ^{[ 8 ]}
3. Para cada vecindario${\displaystyle V}$del origen en${\displaystyle Y}$el conjunto${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$absorbe cada${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Si${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es una colección de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$cuya unión es total en${\displaystyle X}$entonces cada subconjunto equicontinuo de${\displaystyle L(X;Y)}$está delimitado en el${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología. ^{[ 11 ]} Además, si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios de Hausdorff localmente convexos entonces

• si${\displaystyle H}$está delimitado en${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$(es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado) entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos, equilibrados, acotados y completos de${\displaystyle X.}$^{[ 13 ]}
• si${\displaystyle X}$es cuasi-completo (lo que significa que los subconjuntos cerrados y acotados son completos), entonces los subconjuntos acotados de${\displaystyle L(X;Y)}$son idénticos para todos${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topologías donde${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es cualquier familia de subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$cubierta${\displaystyle X.}$^{[ 13 ]}

Si${\displaystyle X}$es un TVS cuyos subconjuntos acotados son exactamente los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados (por ejemplo, si${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces un${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle X^{\prime }}$(tal como se define en este artículo) es una topología polar y, a la inversa, toda topología polar si una${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología. En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo pueden aplicarse a topologías polares.

Sin embargo, si${\displaystyle X}$es un TVS cuyos subconjuntos acotados no son exactamente iguales a sus subconjuntos débilmente acotados, entonces la noción de "acotado en${\displaystyle X}$" es más fuerte que la noción de "${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$-limitado en${\displaystyle X}$" (es decir, delimitado en${\displaystyle X}$implica${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$-limitado en${\displaystyle X}$) para que un${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topología en${\displaystyle X^{\prime }}$(tal como se define en este artículo) no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares son siempre localmente convexas, mientras que${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-las topologías no tienen por qué serlo.

Las topologías polares ofrecen resultados más sólidos que las topologías de convergencia uniforme más generales descritas en este artículo. Para más información, consulte el artículo principal: Topología polar . A continuación, enumeramos algunas de las topologías polares más comunes.

Supongamos que${\displaystyle X}$es un TVS cuyos subconjuntos acotados son los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados.

Notación : Si${\displaystyle \Delta (Y,X)}$denota una topología polar en${\displaystyle Y}$entonces${\displaystyle Y}$dotado de esta topología se denotará por${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$o simplemente${\displaystyle Y_{\Delta }}$(por ejemplo, para${\displaystyle \sigma (Y,X)}$hubiéramos tenido${\displaystyle \Delta =\sigma }$de modo que${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$y${\displaystyle Y_{\sigma }}$todos denotan${\displaystyle Y}$dotado de${\displaystyle \sigma (Y,X)}$).

Suppose that ${\displaystyle X,Y,}$ and ${\displaystyle Z}$ are locally convex spaces and let ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$ and ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$ be the collections of equicontinuous subsets of ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X^{\prime }}$, respectively. Then the ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$-topology on ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ will be a topological vector space topology. This topology is called the ε-topology and ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ with this topology it is denoted by ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ or simply by ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

Part of the importance of this vector space and this topology is that it contains many subspace, such as ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$ which we denote by ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ When this subspace is given the subspace topology of ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ it is denoted by ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

In the instance where ${\displaystyle Z}$ is the field of these vector spaces, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is a tensor product of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y.}$ In fact, if ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are locally convex Hausdorff spaces then ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is vector space-isomorphic to ${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$ which is in turn is equal to ${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

These spaces have the following properties:

• If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are locally convex Hausdorff spaces then ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is complete if and only if both ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are complete.
• If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are both normed (respectively, both Banach) then so is ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$