Certificado de barrera

Un certificado de barrera ^{[ 1 ]} o función de barrera se utiliza para demostrar que una región dada es invariante hacia adelante para una ecuación diferencial ordinaria o un sistema dinámico híbrido dado . ^{[ 2 ]} Es decir, una función de barrera puede utilizarse para demostrar que si una solución comienza en un conjunto dado , entonces no puede salir de ese conjunto.

Demostrar que un conjunto es invariante hacia adelante es un aspecto de la seguridad , que es la propiedad donde se garantiza que un sistema evitará obstáculos especificados como un conjunto inseguro .

Los certificados de barrera asignan el estado del sistema (por ejemplo, su posición) a un valor escalar para el cual ciertos rangos deben corresponder al conjunto seguro o inseguro; los detalles varían según el tipo de función de barrera utilizada. Suponiendo una función${\displaystyle h}$del tipo de puesta a cero, la cuestión de seguridad se convierte en la de determinar si${\displaystyle {\dot {h}}}$es no negativo para cualquier estado donde${\displaystyle h=0}$. Como el conjunto inseguro corresponde a todos los valores negativos de${\displaystyle h}$Su incapacidad para alcanzar un valor inferior a 0 implica que el sistema no puede cruzar el límite de seguridad establecido hacia afuera.

Los certificados de barrera desempeñan un papel análogo en seguridad al que desempeñan las funciones de Lyapunov en estabilidad. Para cada ecuación diferencial ordinaria que cumple de forma robusta una propiedad de seguridad de cierto tipo, existe un certificado de barrera correspondiente. ^{[ 3 ]}

El primer resultado en el campo de los certificados de barrera fue el teorema de Nagumo de Mitio Nagumo en 1942. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El término "certificado de barrera" se introdujo más tarde basándose en un concepto similar en optimización convexa llamado funciones de barrera . ^{[ 4 ]}

Los certificados de barrera fueron generalizados a los sistemas híbridos en 2004 por Stephen Prajna y Ali Jadbabaie . ^{[ 6 ]}

Existen varios tipos diferentes de funciones de barrera. Un factor distintivo es el comportamiento de la función de barrera en el límite del conjunto invariante hacia adelante.${\displaystyle S}$. Una función de barrera que tiende a cero a medida que la entrada se acerca al límite de${\displaystyle S}$Se denomina función de barrera de anulación. ^{[ 7 ]} Una función de barrera que tiende al infinito a medida que la entrada se acerca al límite se denomina función de barrera recíproca . Las funciones de barrera de anulación pueden ser preferibles en aplicaciones embebidas, ya que no crean valores no acotados cerca del límite establecido. ^{[ 7 ]} Aquí, "recíproca" se refiere al hecho de que una función de barrera recíproca puede definirse como la inversa multiplicativa de una función de barrera de anulación.